1. Какие из следующих событий:
А) футбольный матч команд «Локомотив» и «Динамо» закончится вничью;
Б) вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
В) на День рождения вам подарят говорящую лошадь;
Г) 1 сентября будет контрольная работа по математике;
Д) 30 февраля будет вьюга;
Е) вас, когда вы вырастите, выберут президентом России;
являются невозможными; достоверными; случайными?
Ответ: невозможные события – В, Г, Д; достоверное – Б; случайные – А, Е.
2. В школе учится N человек. При каких значениях N событие «в школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным; будет достоверным?
Ответ: при N < 366 данное событие случайное, при N > 366 – достоверное (по числу дней в году).
3. Назовите все двузначные числа, в записи которых встречаются только цифры 0, 1 и 2, при условии, что в записи чисел цифры: а) различны; б) могут повторяться.
Ответ: а) 10, 12, 20, 21; б) 10, 11, 12, 20, 21, 22.
4. Назовите все трёхзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 4 и 5.
Ответ: 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555.
5. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 4 и 5, при условии, что цифры в записи числа не повторяются.
Ответ: 6. (345, 354, 435, 453, 534, 543.)
6. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5?
Ответ: 120 различных чисел. (Задача сводится к подсчёту числа перестановок из 5 элементов. При этом первая цифра может занимать 5 позиций, вторая – 4, третья – 3, четвёртая – 2, а пятая – 1, следовательно, всего возможно 5х4х3х2х1=120 перестановок, а, значит, и 120 различных чисел.)
7. Папе, маме и их взрослому сыну подарили два билета в Большой театр. Сколько существует различных вариантов посещения театра?
Ответ: 3 варианта (ПМ, ПС, МС).
8. Ира и Оля пришли в магазин, где продавались в большом количестве шоколадки «Алёнка», «Бабаевский» и «Вдохновение». Каждая из них купила по одной плитке. Сколько существует способов покупки?
Ответ: 9. (Ира может купить плитку шоколадки любого из трёх видов, но и Оля также может выбрать один из трёх видов, значит, всего существует 3х3=9 способов покупки.)
9. У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить?
Ответ: 15. (3х5.)
10. Предположим, вам необходимо оценить вероятность исходов в экспериментах по подбрасыванию монеты, кнопки, кубика, пуговицы. В каких из этих ситуаций вы готовы дать ответ, не проводя самого эксперимента? Почему?
Ответ: только в ситуации подбрасывания монеты или кубика, так как они представляют собой симметричные математические объекты.
11. Найдите частоту событий:
А) при бросании кубика выпадет число 1;
Б) при бросании кубику выпадет число 6;
В) при бросании кубика выпадет чётное число очков;
Г) при бросании кубика выпадет нечётное число очков;
Д) при бросании кубика выпадет число 0;
Е) при бросании кубика выпадет любое натуральное число от 1 до 6.
Ответ: А) 1/6; Б) 1/6; В) 1/2; Г)1/2; Д) 0; Е) 1.
12. Сравните частоту наступления событий А и Г в задании №11.
Ответ: частота наступления события А меньше, чем частота события Г (так как 1/6 < 1/2).
13. Сравните между собой шансы наступления событий:
А) новый электрический чайник не сломается в течение месяца;
Б) новый электрический чайник не сломается в течение года.
Ответ: событие А более вероятно, чем событие Б. (Всякий раз наступление события Б означает, что наступило и событие А. Обратное же неверно: электрический чайник может исправно работать в течение ближайшего месяца, а в следующем – сломаться.)
14. Сравните между собой шансы наступления событий:
А) новый телевизор не сломается в течение пяти ближайших лет;
Б) новый компьютер не сломается в течение пяти ближайших лет.
Ответ: дать однозначный ответ в этой ситуации невозможно.
15. После десяти бросаний двух кубиков сумма 12 не была получена ни разу. Можно ли утверждать, что вероятность этого события равна нулю?
Ответ: нет, нельзя (слишком мало сделано испытаний).
16. О каком событии идёт речь? «Из 31 учащегося в классе хотя бы у одного День рождения 31 февраля».
Ответ: о невозможном событии. (В феврале не бывает 31 день).
17. Охарактеризуйте вероятность случайного события: «Купленная в магазине электролампа оказалась неисправной».
Ответ: событие маловероятное. (Как правило, исправность ламп продавец проверяет перед продажей.)
18. Теннисистки Динара Сафина и Елена Дементьева играют между собой одну партию. Шансы у каждой на победу и ничью одинаковые. Какова вероятность того, что победит Дементьева?
Ответ: 1/3. (Число всех возможных исходов равно 3, число благоприятных исходов равно 1, следовательно, вероятность победы Дементьевой равна 1/3.)
19. В непрозрачном пакете лежат 12 конфет «Мишка на Севере» и 8 конфет «Мишка косолапый». Какова вероятность того, что вынутая наугад конфета окажется «Мишкой на Севере»?
Ответ: 12/20=0,6. (Число всех возможных исходов равно 20, число благоприятных исходов 12, значит, вероятность данного события равна 0,6.)
20. В коробке лежат 15 красных и 35 белых шаров. Из неё наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет красным?
Ответ: всего в коробке 50 шаров (число всех равновозможных исходов), число благоприятных исходов равно 15, значит, вероятность равна 15/50= 0,3.
21. Из карточек с буквами русского алфавита произвольно достаётся одна карточка. Какова вероятность того, что на карточке будет изображена гласная буква?
Ответ: всего в русском алфавите 33 буквы (число всех равновозможных исходов), из них гласных букв 10 (число благоприятных исходов), следовательно, вероятность равна 10/33.
22. Из слова СОБЫТИЕ случайным способом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
Ответ: всего в данном слове 7 букв (число всех равновозможных исходов), из них согласных букв 3 (число благоприятных исходов), следовательно, вероятность того, что вытянутая буква окажется согласной, равна 3/7.
23. При наборе номера телефона абонент забыл последнюю цифру номера и набрал её наугад. Какова вероятность того, он правильно набрал нужный ему номер?
Ответ: 1/10=0,1. (Число всех равновозможных исходов равно 10, благоприятный исход только 1; следовательно, вероятность правильного выбора последней цифры равна 0,1.)
24. Бросают две монеты. Какова вероятность того, сто появятся: а) два «орла»; б) «орёл» и «решка»?
Ответ: а) 1/4=0,25; б) 2/4=0,5.
25. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. На класс выделили одно место на поездку в Англию. Решили разыграть поездку по жребию. Сравните вероятность наступления событий:
А) поездку выиграл мальчик;
Б) поездку выиграла девочка.
Ответ: вероятность события Б выше. (Всего в классе 30 человек (число всех равновозможных исходов), число благоприятных исходов события А равно 12, вероятность события А равна 12/30=0, 4; число благоприятных исходов события Б равно 18, вероятность этого события равна 18/30=0, 6. Так как 0, 6>0, 4, то вероятность события Б выше.)
26. В корзине лежат два яблока и одна груша. Из корзины одновременно достают два фрукта. Какова вероятность того, что оба фрукта яблоки?
Ответ: 1/3. (Из трёх равновозможных событий ЯЯ, ЯГ, ГЯ благоприятный исход только один - ЯЯ, значит, вероятность равна 1/3.)
27. В коробке находятся ручки с чёрной пастой (3шт.), красной (4шт.) и с синей (5шт.). Наугад вынимается одна ручка. Найдите вероятность того, что вынута:
А) ручка с чёрной пастой;
Б) ручка с красной пастой;
В) ручка с синей пастой;
Г) ручка;
Д) не ручка, а карандаш;
Е) ручка не с чёрной пастой;
Ж) ручка не с красной пастой;
З) ручка не с синей пастой;
И) ручка с чёрной, или красной, или с синей пастой;
К) ручка с зелёной пастой?
Ответ: А) 3/12=1/4=0,25; Б) 4/12=1/3; В) 5/12; Г) 1; Д) 0; Е) 1-1/4=3/4= 0,75; Ж) 2/3; З) 7/12; И) 1; К) 0.
28. Наугад называется натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число:
А) 10; Б) не 10; В) чётное; Г) нечётное; Д) простое; Е) составное; Ж) больше 28; З) не меньше 28; И) кратно 5; Л) не кратно 5.
Ответ: А)1/30; Б)29/30; В) 15/30=1/2=0,5; Г) 0,5; Д)10/30=1/3; Е) 19/30; Ж)2/30=1/15; З) 28/30=14/15; И) 6/30=1/5=0,2; К) 0,8.
29. Саша забыла две последние цифры номера телефона поликлиники и набрала их наугад. Какова вероятность того, что она сразу же дозвонилась до поликлиники?
Ответ: 0,01. (Каждую и двух последних цифр можно набрать одним из 10 способов, следовательно, вероятность правильного набора необходимого номера телефона равна 0,1х0,1=0,01.)
30. Три человека пришли в гости в одинаковых шляпах, положили их на полку, а уходя, надели их наугад. Какое множество исходов можно выбрать в таком эксперименте, чтобы они были равновозможными?
Ответ: всего 6 исходов, каждый из которых равновозможен. (Обозначим шляпу первого человека цифрой 1, второго – цифрой 2, третьего – цифрой 3, тогда исходом эксперимента можно считать любую перестановку из чисел 1, 2 и 3: 123, 132, 213, 231, 312, 321.)
31. Сколькими способами можно расставить на книжной полке четырёхтомник А.С. Пушкина? Какой из них предпочтителен?
Ответ: существует 24 способа расстановки данных книг. (Первую книгу можно расставить 4 способами, вторую уже тремя, третью – двумя, четвёртую – только одним, следовательно, всего существует 4х3х2х1=24 способов).
Предпочтительно поставить книги по номерам томов (№1, №2, №3, №4).
32. Вероятность попадания некоторым стрелком одним выстрелом по бегущей мишени равна 0,8. Какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся, сделав выстрел?
Ответ: 0,2. (Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то вероятность промаха может быть найдена как разность чисел 1 и 0,8.)
33. Могут ли быть противоположными события C и D>, если:
а) P(C)=0,12, а P(D)= 0,78; б) P(C)= 0,14, а P(D)=0,86.
Ответ: а) нет, т.к. в сумме вероятности не равны 1;
б) да, так как полученная сумма равна 1.
34. Найдите медиану ряда чисел: 14,7; 15,3; 15,4; 15,5; 16,1; 16,9; 18,4; 19,9; 20,2; 21,8; 25,1.
Ответ: числа записаны в порядке возрастания, их нечетное число (11), значит, медианой данного ряда чисел будет число, стоящее посередине ряда (6-ое по счёту), а именно 16,9.
35. Найдите медиану и среднее арифметическое ряда чисел: 9; 8; 5; 4; 2.
Ответ: медиана равна 5; среднее арифметическое 28:5=5,3.
36. Сравните медиану и среднее арифметическое ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: медиана равна 3,5 (среднее арифметическое двух средних чисел); среднее арифметическое тоже равно 3,5 (21:6=3,5).
37. Найдите моду ряда чисел:
А) 5; 2; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5; Б) 2, 3, 4, 5.
Ответ: А) мода равна 5; Б) данный ряд моды не имеет.
38. Найдите медиану, моду, размах и среднее арифметическое ряда чисел:
а) 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90;
б) 15; 18; 20; 26; 26; 27;
в) - 35; - 33; - 22; - 20; 35;
г) - 12; - 6; - 4; 0; 0; 0; 4; 6; 12.
Ответ:
а) медиана равна 50; данный ряд моды не имеет; размах равен 80 (90 – 10=80); среднее арифметическое равно 50 (450:9=50);
б) медиана равна 23; мода 26; размах равен 12; среднее арифметическое равно 22;
в) медиана равна -22; данный ряд моды не имеет; размах равен 70; среднее арифметическое равно – 25;
г) медиана равна 0; мода равна 0; размах равен 24; среднее арифметическое равно 0.
39. Температура на планете Меркурий колеблется от минус 150 градусов Цельсия до 350. Найдите размах изменения температуры на планете.
Ответ: 350 – (-150) =500 градусов Цельсия.
40. Размах некоторого числового ряда равен нулю. Что можно сказать про этот ряд?
Ответ: все числа этого ряда одинаковые.
41. Найдите размах, моду и медиану ряда чисел:
а) - 3; - 2; - 2; - 2; - 1; 0; 1; 1; 2; 3; 3; 4;
б) 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6.
Ответ: а) размах равен 7; мода равна – 25; медиана равна 0,5;
б) размах равен 5; данный ряд моды не имеет; медиана равна 3.
42. В ряду чисел 3; 8; 15; 24; 30; ____ пропущено последнее число. Найдите это число, если размах ряда равен 40.
Ответ: 43.
43. Известно, что ряд данных чисел состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом: а) мода; б) размах; в) медиана; г) среднее арифметическое?
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.
44. В ряду чисел ___; ___; 9; 12 пропущены два числа, одно из которых в два раза меньше другого. Найдите эти числа, если среднее арифметическое этого ряда чисел равно 6.
Ответ: 1 и 2. /(х + 2х +9 +12):4 =6; 3х+21=24; 3х=3; х=1./
45. Вычислите: а) 3!; б) 4!; в) 5!; г)1!
Ответ: а) 3!= 6 (1х2х3); б) 4!= 24 (1х2х3х4 или 3!х4=6х4); в) 5!=120 (1х2х3х4х5 или 4!х5=24х5); г) 1!=1.
46.Какой цифрой заканчивается 6!?
Ответ: цифрой 0.
47. Делится ли 11! на: а)2; б)3; в)5; г)6; д)9; е)10; ж) 100?
Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да; е) да; ж) да. (11! = 1х2х3х4х5х6х7х8х9х10х11. Числа 2, 3, 5, 6, 9 и 10 являются множителями данного числа, а число, делящееся на 100, можно получить, например умножением чисел 4, 5 и 10.)
48. Вычислите: а) 8!:7! б) 4!:3! в)8! : 6! г)14х6! :7! д) 3! – 2! е)3! +2! +1! ж) 3! :3
Ответ: а)8; б)4; в)56; г)2; д)4; е)9; ж)2.
49. Вычислите: а) 2!х5 б) 5!х2. Какой результат больше и во сколько раз?
Ответ: а) 10 (1х2х5=10); б) 240 (1х2х3х4х5х2=240) Второй результат больше в 24 раза.
50. В классе 7 учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двоих из них для участия в математической олимпиаде?
Ответ: 21. 7! (2!х5!)
51. Одновременно бросают 3 монеты.
а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?
б) С какой вероятностью все монеты выпадут на одну сторону?
в) С какой вероятностью выпадет хотя бы один «орёл»?
Ответ: а) 8 (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РРР, РОО, РОР, РРО); б)2/8=0,25; в)1 – 1/8 = 7/8=0,875.
52. Из коробки с двумя белыми и двумя красными шарами вынимают одновременно, не глядя, два шара. Какова вероятность того, что они оба красные?
Ответ: 1/6. (Число всех возможных исходов будет равно числу сочетаний из 4 по 2, т.е.6. Из них только один исход будет благоприятным.)
53. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется способов освещения коридора?
Ответ: 8. (Каждая из трёх лампочек может гореть или не гореть независимо друг от друга. Поэтому число возможных исходов можно найти по правилу умножения испытаний, а именно: 2х2х2=8.)
54. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий и красный. Сколько стран могут использовать такую символику государства при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?
Ответ: 6. (Первая страна может выбрать один из любых трёх возможных способов расположения цветовых полос на своём флаге, вторая – уже только два, а третья – только один. Следовательно, по правилу умножения можно найти число возможных исходов: 3х2х1=6.)
55. Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку своему другу. Сколько было сделано рукопожатий?
Ответ: 15. (Первый из друзей сделал 5 рукопожатий, второй – 4 (неучтённых ранее рукопожатий), третий – 3, четвёртый – 2, пятый – только одно, шестой – ни одного, так как все рукопожатия уже учтены. Следовательно, всего было сделано 5+4+3+2+1=15 рукопожатий.)
56. При встрече 8 человек обменялись друг с другом адресами. Сколько при этом было сделано обменов?
Ответ: 28. (8х7):2=28.
57. Четыре подруги решили обменяться фотографиями на память (причём каждая девочка подарила каждой подружке по одной фотографии). Сколько всего фотографий было подарено?
Ответ: 12. (Каждая из четырёх девочек подарила подружкам 3 фотографии, следовательно, всего было подарено 3х4=12 фотографий.)
58. На соревновании по шашкам прибыли 11 девочек и 6 мальчиков, и каждый участник сыграл по одной игре с каждым из остальных.
а) Сколько встреч было между девочками?
б) Сколько встреч было между девочками?
Ответ:
а) 55. (10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=55.)
б) 21. (6+5+4+3+2+1+0=21.)