Применение деятельностного подхода при решении задач по стереометрии

Разделы: Математика

Свойства точки, равноудалённой от вершин треугольника

Задача № 1. Точка M, не лежащая в плоскости , равноудалена от вершин равностороннего треугольника ABC. Сторона АВС равна 8. Расстояние от точки M до плоскости . равно 6. Постройте проекцию точки М на плоскость .  Найдите: МА.

Дано: М
AB =  ВС =  АС =  8;
МА = МВ = МС; (рис.1, 2) МО = 6.

Рис. 1

Рис. 2

1. Постройте проекцию точки М на плоскость .
2. Найдите: 1) МА,

Решение.

1) Опустим МО(АВС). МА = МВ = МС – наклонные,   АО = BO = СО =  R – проекции, где
R – радиус окружности, описанной около АВС (рис.3, 4).

Рис. 3

Рис. 4

2) АВС – равносторонний,  R = .

3) По теореме Пифагора из прямоугольного АMO:  МА =

Эту задачу целесообразно использовать при изучении площади поверхности пирамид, объема пирамид. Сначала предложить эту задачу для повторения ранее изученного материала. Затем, активизируя умственную деятельность учащихся, можно предложить им составить продолжение задания к данной задаче. Возможно, найти объем образовавшейся пирамиды или ее площадь поверхности.
Найдите: 2) Vпирамиды MABC 
4) Vпир = SоснН,

Vпир(куб. ед.)

Ответ: МА = 10, Vпир  =  96.

Задача № 2. Точка M, не лежащая в плоскости , равноудалена от вершин равнобедренного треугольника ABC на 26. Боковые стороны АВ и AС треугольника ABC равны по10. Угол при вершине треугольника равен 120°. Постройте проекцию точки М на плоскость ?.  Найдите расстояние от точки M до плоскости.

Дано:

MA = MC = MB = 26, AB = AC = 10, BAC = 120°. (Рис. 5, 6)

Рис. 5

Рис. 6

1. Постройте проекцию точки M на плоскость .

2. Найдите: 1) MO.

Решение.

1) MO(ABC),
MA = MB = MC – наклонные  = > OC = OB = OA – проекции,
OA = R – радиус описанной окружности (Рис. 7).

Рис. 7

2) CAB = 120°; OAC = 60° = >ACO – равнобедренный, равносторонний.  AC = OC = AO = R = 10

3) MCO – прямоугольный (Рис. 8), по теореме Пифагора: MO =  =  =   =  = 46 = 24.

Рис. 8

4) Sосн = SABC = ABACsinBAC =  1010 =  = 25(кв. ед.)

Как и при решении предыдущей задачи направляем деятельность учащихся на составление и решение дополнительного задания.

2. Найдите: 2) VпирMABC

5) Vпир  = SоснH = 2524 = 200(куб. ед.)

Ответ: MO = 24; VпирMABC = 200(куб. ед.)

Используемая литература:

1. О. Епишева «Приемы учебной деятельности в обучении математике», газета МАТЕМАТИКА, издательский дом Первое сентября, № 38 1999 г., стр. 3.
2. Н. Талызина «Деятельностный подход при обучении математике», газета МАТЕМАТИКА, издательский дом Первое сентября, № 19, 2005 г., стр. 2.

Приложение