Урок по теме "Теорема Пифагора"

Геометрия обладает двумя великими сокровищами.
Первое - это теорема Пифагора, которую можно
сравнить с мерой золота: Кеплер.

Цель урока: совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора.

Задачи урока:

• образовательные: закрепить навыки решения задач на применение теоремы Пифагора;
• развивающие: развивать умения в применении знаний в конкретной и проблемной ситуации, самостоятельность в решении задач;
• воспитательные: воспитывать интерес к геометрии через содержание учебного материала.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, плакаты, карточки с заданиями.

Подготовительная работа: Из класса выбрать 2 ученика, которые в течение урока помогут группам учащимся вести поисковую работу, проведут консультации по решению задач по карточкам. Эти учащиеся заранее готовят на ватманах доказательство теоремы Пифагора двумя способами. При входе в класс каждый ученик получает карточку красного, желтого или зеленого цвета. Ребята рассаживаются за парты в любом порядке. Во время урока учитель предлагает собраться группам по цвету карточек и начать поисковую работу. Для усиления драматизации урока класс попадает в детективное агентство, на урок приглашены Пифагор (ученик 11 класса), его дочь Теорема Пифагора (ученица 5 класса), пират Джек-Воробей (ученик 11 класса).Все герои появляются в ходе урока и вносят оживление и неожиданный поворот урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель: Добрый день, ребята! Сегодня мы находимся в детективном агентстве " Истина". Его президент - я, у меня в штате - два помощника. Они у меня грамотные и умные специалисты. Сейчас у доски оба помощника подготовят доказательство теоремы Пифагора. Но мне бы хотелось пополнить свой штат новыми сотрудниками и поэтому хочу узнать, готовы ли вы к проверке своих возможностей. У нас сегодня присутствуют представители Детективного агентства "Мудрость" (учителя, родители) и они так же хотят выяснить: насколько вы грамотные и компетентные ребята. Итак, у нас урок решения задач по теореме Пифагора, а цель урока - закрепить знания, умения и навыки при решении задач с использованием теоремы Пифагора, а также решение старинных математических задач с использованием теоремы Пифагора..

II. Итак, устная разминка. (презентация на интерактивной доске)

1. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны? (катеты, гипотенуза лежит против угла в 90°)

2. Продолжите предложение: В прямоугольном треугольнике любой катет

а) равен гипотенузе;

б) меньше гипотенузы;

в) больше гипотенузы;

г) определить нельзя.

3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 20°.Найдите второй острый угол. (90°-20°=70°)

4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, острые углы равны:

а) 60° и 30°;

б) по 45°;

в) однозначно определить нельзя.

5. Сформулируйте теорему Пифагора.(В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов).

6. Решите устно задачи по чертежу.

Найдите неизвестную сторону треугольника.

(Как иначе называют треугольник со сторонами 3, 4 и 5? (египетским).

ответ к задаче 2: v13²-5² = v144=12 )

Учитель: Молодцы, а сейчас с вами заслушаем два доказательства теоремы Пифагора.

1 ученик. Теорема Пифагора гласит "в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". На сегодняшний день в мире известно около 150 способов доказательства этого утверждения. Я докажу теорему способом, предложенным в учебнике геометрии Атанасяна.

Теорема: Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:  АВС, угол С=90°. АС, СВ - катеты, АВ - гипотенуза.

АС=b; СВ=а; АВ=с.

Доказать: а² +b² =с²

Доказательство: Достроим АВС до квадрата.

Получим четыре равных прямоугольных треугольника (по 2-м катетам), отсюда следует, что гипотенузы равны. Четырехугольник АВМК - ромб.

т.к. r АВС - прямоугольный.

^l, следовательно,

Если у ромба есть угол 90°, то такой ромб является квадратом: АВМК -квадрат.

S_б.кв.=(a+b)²=a²+2ab+b²

S_б.кв.=4Sr +S_ABKM= 4Y l/2Y aY b +c² =2ab+c².

Имеем: a²+2ab+b²=2ab+c², т.е. a²+b²=c²

Теорема доказана.

2 ученик. Я расскажу о другом способе доказательства теоремы Пифагора.

Пусть дан треугольник АВС с прямым углом С, гипотенузой с и катетами a и b, такими, что b>a. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой СD и, кроме того, BD=b, <BDM =90⁰, DM = a, тогда треугольники BMD и ABC равны по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезком АМ. Имеем МD+СD и AС+CD, прямая АС параллельна прямой МD. Так как МD<AC, то прямые CD и AM не параллельны. Следовательно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD <1 + <2 =90⁰ и <3+<4=90⁰, но так как <1 = <3, то <3 + <2 = 90⁰; тогда <ABM = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей имеем S_ABC + S _ABM + S _BMD = S_трап , или

1/2 ab + 1/2 с² + 1/2 ab = 1/2 (a+b)(a+b).

Умножив обе части равенства на 2, получим

ab + c² + ab = (a + b)², 2ab + c²= a² + 2ab + b², откуда c² = a² + b². (5 минут)

Учитель: Откройте тетради. Запишите число и тему урока.

III этап урока. Решение исторических задач.

Стук в дверь. Входит Пифагор.

Пифагор. Это детективное агенство "Истина"?

Учитель. Да. А вы кто и что вас к нам привело?

Пифагор. Кто я? Неважно! Главное то - что пропало мое любимое дитя. Я сколько лет был с ней рядом, и она мне во всем помогала, а теперь её нет. Что мне делать и как я вернусь к своим ученикам без неё?!

Учитель: Ребята, как вы думаете, кто к нам пришел?

Ученик: Я думаю, что к нам пришел Пифагор, и он потерял теорему Пифагора.

Учитель: Уважаемый Пифагор, присядьте, не волнуйтесь, мы немедленно отправляемся в путь на поиски вашей любимицы.Ребята, я отправляю вас в разные страны: Китай, Индию и Россию. Прошу всех занять места по цветам карточек.

Прошу каждую группу получить задание. (группа - по 1 задаче с чертежом)

1) Индийская задача.В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Я предлагаю вам решить одну из таких задач.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
"Как озера вода здесь глубока?"

Решение: Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² - AC² = BC²,

(Х + 0,5 )² - Х² = 2²,

Х² + Х + 0,25 - Х² = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.(Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

3, 75 * 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

2) Китайская задача.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?

Решение: 1) Выполним чертеж к задаче и обозначим высоту бамбука после сгибания ВС= х чи. Тогда ВD=АВ=10-х(чи).

Из треугольника АВС по теореме Пифагора имеем АВ²=АС²+ВС²

(10-х)² =х²+3² ,

100-20х+ х²= х² + 9,

-20х=9-100,

-20х=-91,

х=4,55

2) 10-4,55=5,45.

Таким образом, высота бамбука после сгибания равна 5,45 чи.

Задача №3 Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник "Арифметика".

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

Задача 4 Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой - 20 локтей. Расстояние между их основаниями - 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение. Пусть АD=Х, тогда АЕ= 50-Х

Итак, в треугольнике АDВ: АВ² =ВD² +АD² =30² +Х²=900+Х²;

в треугольнике АЕС: АС²= СЕ²+АЕ² =202+(50 - Х)² =400+2500 - 100Х+Х²=2900 - 100Х+Х².

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ² =АС² ,

900+Х² =2900 - 100Х+Х²,

100Х=2000,

Х=20,

АD=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Учитель. Уважаемый Пифагор. К нам поступило сообщение, что видели вашу дочь в тридевятом царстве, тридесятом государстве. Внимание, мы отправляемся в сказку!

Сказка-клип на интерактивной доске.

Задача - сказка.

Давным-давно в некоторой стране жила прекрасная принцесса. Она затмевала красотой всех подруг и свою старшую сестру, которая красотой не блистала. Старшая сестра решила ей отомстить. Она пошла к ведьме и попросила ее заколдовать принцессу. Ведьма не смогла ей отказать, и придумала усыпить принцессу в башне до той поры, пока какой-нибудь принц не посмотрит на окно башни с такого места, чтобы расстояние от глаз принца до окна было 50 шагов.

Принцесса заснула крепким сном. Прошло много лет, но никто мне смог расколдовать принцессу. И вот, в один прекрасный день в этом городе появляется на белом прекрасном коне молодой принц. Узнав, какое несчастье произошло с принцессой, молодой принц берется расколдовать ее. Для этого он измеряет длину от основания башни до окна, за которым скрывается принцесса. У него получается 30 шагов. Затем что-то прикидывает в уме и отходит на несколько шагов, поднимает голову и вдруг...башня озаряется светом и через мгновенье навстречу принцу выбегает еще более прекрасная принцесса... На сколько же шагов отошел принц от башни?

Решение:

50²-30²=40²

2500-900=1600

v1600=40(шагов)

Учитель: Пифагор, видно ваша дочь побывала и здесь, но снова отправилась в путь. Мы подумаем, где её еще можно поискать. А пока проведем динамическую паузу.

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим -
И таким простым путем
К результату мы придем.

Учитель:Внимание, к нам прибыла шифровка. Ребята, помогите узнать, о чем идет речь. Самостоятельная работа: математическое лото. На обычной доске табло для каждой группы. Задание группа получает в конверте. Каждый ученик получает индивидуальное задание: решить задачу с применением теоремы Пифагора, найти ответ, с обратной стороны - буква, которую надо прикрепить в табло на доске. Кто решит раньше, помогает ребятам по команде.

(ответ: найдите остров сокровищ)

Учитель: Ребята, возможно, это подсказка, что теорема Пифагора на острове сокровищ. Вбегает в класс Джек-воробей.

Джек-воробей. Это детективное агентство?

Учитель. Да, а что вы хотели?

Джек-воробей. Я отправляюсь на остров сокровищ и хочу на нем поставить флагшток. Для этого я купил 50 метров троса. Как вы думаете, мне хватит троса, если флагшток высотой 12 метров, а растяжки на земле 5 метров.

Если поможете, я вам верну ваше сокровище-теорему Пифагора.(практическая задача, устно).

Решение:

12²+5²=144+25=169

=13

13*4=52 (м)

Ответ: Троса не хватит.

Учитель. Глупый ты Джек-воробей. Придется тебе отдать нашу теорему Пифагора. Где же она.

Джек-воробей. Да вот она.(Девочка весь урок сидела в классе у компьютера).

Выходит девочка-Теорема Пифагора , одетая в тунику, на голове треугольник и написано:а²+в²=с² .Она подбегает к Пифагору. Он благодарит всех ребят за помощь в поиске.

Учитель: Уважаемый Пифагор не уходите. Мы хотим подарить вам шуточную песню про прямоугольный треугольник.

Текст песни "Прямоугольный треугольник".
Это все так схоже с детскою игрой -
Сами треугольник мы сложили снова:
Первый катет - Витька, я второй,
А гипотенуза - Светка Иванова.

Припев:
И не можем мы поделать ничего.
Напрасно геометрию ругая,
Я люблю ее, она - его,
А ему, как видно, нравится другая.

Милый математик, добрый Пифагор,
Раз уж речь зашла у нас на эту тему,
Ты нас извини, но до сих пор
Мы твою понять не можем теорему.

Припев.

Ни один учебник так и не успел
Чуточку помочь нам в этом трудном деле.
Зря в руках крошился белый мел,
Зря в тетрадках наших перышки скрипели.

Припев.

Учитель: Ребята, вы отлично поработали на уроке, я вас всех возьму в штат агентства "Истина". Слово предоставляется детективному агентству "Мудрость".

Домашнее задание.

Фронтон Большого театра в Москве имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (размеры приближены). Вычислите площадь фронтона.

Даны отрезки a и b, а = 5 см, b = 7 см. Постройте отрезокvа²+в².

Найдите ещё одно доказательство теоремы Пифагора(по выбору). Урок окончен.

Литература:

1. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 2007