Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место.
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, относятся, например, задачи, в которых отыскивается решение линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследуется количество их корней в зависимости от значений параметров.
Естественно, что такой небольшой класс задач не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами. В результате, у учащихся возникает психологический барьер уже при «первом» знакомстве с параметрами - это неизвестное и известное, переменная и постоянная. Выход из сложившейся ситуации - включать задачи с параметрами в каждую тему.
- Для решения задач с параметрами требуется:
а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.
- Что дают задачи с параметрами:
а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.
Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.
Пример №1.
1) Из формулы S=Vt выразить: а) V, через S и t; б) t, через S и V.
2) Из формулы P=2(a+b) выразить :а) a, через P иb; б) b, через P и a.
3) Из формулы S=ab выразить: а) a, через S и b; б) b, через S и a.
4) Из формулы V=abc выразить: а) a, через V, b и c; б) b, через V, a и c; в) c, через V, a и b.
При каких значениях переменных имеют смысл эти выражения (формулы)?
Пример №2.
Выразить х : а) ах = а-1; б) (а+2) х = а-1; в) а х = а -1.
Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение.
Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10.
Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа.
Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1.
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем
при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.
Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; 
а=0.
Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.
- Параметр -это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которой проводится анализ полученного решения.
- Решить уравнение с параметром - это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.
Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а
х=а+5 .
Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.
Пример №5.
Сравнить числа: а) а и 3а;
б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а < 0, то а > 3а; если а = 0, то а = 3а; если а > 0, то а < 3а;
б) естественно рассмотреть три случая:
если а < 0, то -а > 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а < 3а.
Пример №6. При каком значении параметра а х=2,5 является корнем уравнения х+2=а+7?
Решение.
Т.к. х= 2,5 – корень уравнения х+2=а+7, то при подстановке х= 2,5 в уравнение
получим верное равенство 2,5+2=а+7, откуда находим а =-2,5.
Ответ: при а=-2,5.
Пример №7. Имеет ли уравнение 3х+5 = 3х+а решение при а=1. Подберите значение а, при котором уравнение будет иметь корни.
Пример №8. Найдите множество корней уравнения ах = 4х+5
а) при а=4; б) при а≠4.
На простых примерах надо показать, что приемы, используемые для решения уравнений с параметрами, такие же, как и при решении уравнений, содержащих помимо неизвестной только числа.
Пример №9. Решить уравнение ах=1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: 
Однако, при а=0 данное уравнение решений не имеет и верный ответ записывается так:
если а=0, то нет решений; если а≠0, то
Пример №10. Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-1)х=12 является
a) натуральным числом; б) неправильной дробью.
Решение:
а≠1, то так как иначе уравнение не имеет решений;
а) если а≠1, то 
Перебором находим:
при а=13, х=1;при а=7, х=2;при а=5, х=3;при а=4, х=4;при а=3, х=6;при а=2, х=12.
Ответ: а є {13, 7, 5, 4, 3, 2}.
б) если а≠1, то
Перебором находим, что а є {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.
Пример №11. Решить уравнение |х|=|а|.
Пример №12. Решить уравнение ах+8=а.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде ах=а-8.
Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем подробного описания хода решения.
Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:
- коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0х=-8, полученное уравнение не имеет корней;
- коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент: а≠0,
ах=а-8, 
Ответ: при а=0, нет корней;
при а≠0,
Важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай теряют. Полезно обратить внимание учащихся на конструкцию записи ответа. В различных пособиях по математике встречаются две конструкции:
- при а …, х …;
- если а …, то х … .
Предложите учащимся решить самостоятельно (с последующей проверкой на доске) уравнение (а+2)х+2=а, где а – параметр.
Ответ: при а=-2, нет корней; при а≠-2, 
Таким образом любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В, где А и В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по схеме:
Пример № 13. При каких значениях а уравнение (а2-1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный корень.
Решение:
а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть 
Т.о., при а=1 уравнение не имеет решений.
б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть 
Т.о., при а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение, при а2-1≠0, то есть (а-1)(а+1)≠0, т.е. а≠±1.
Ответ:
- Уравнение не имеет решений, при а=1.
- Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.
- Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.
Пример №15. Предложить учащимся решить самостоятельно уравнение (а- параметр)
(а-1)х+2=а+1.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде
(а-1)х=а-1.
- Если а-1=0, т.е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0, т.е. х – любое число.
- Если а-1≠0, т.е. а≠1, то х=1.
Ответ:
при а=1, х – любое число; при а≠1, х=1.
Пример №19. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение
2 -1-х=а?
Решение. Преобразуем уравнение к виду 2|x| -1=х+а.
Рассмотрим функции f(х)=2|x| -1 и g(х,а)= х+а.
Графиком первой из них является ломаная (рис.1), графиком второй - семейство прямых, параллельных прямой у=х.
Эти прямые пересекаются с осью ординат в точках с координатами (0;а). Очевидно, что если а будет возрастать от - , то впервые графики пересекутся тогда, когда прямая пройдет через вершину ломаной, т.е. через точку (0;-1), т.е. при а=-1. В этом случае уравнение имеет единственное решение. Если дальше увеличивать параметр а, то точек пересечения будет ровно две – с каждой из ветвей ломаной. В результате этого анализа получаем ответ.
Ответ: при а<-1 уравнение не имеет корней; при а=-1 уравнение имеет единственный корень;
при а>-1 уравнение имеет два корня.
Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.
Задачи для самостоятельного решения.
Для всех значений параметров а и в решите уравнения:
- (5а+1)х+25а2+10а+1=0;
- ах-а=х-1;
- (а2-4)х=а2+а-2;
- (а2-1)х-а2+2а-1=0;
- (а-2в)х+а+в=3;
-
- каких значениях параметра а уравнение а2(х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?
- каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?
- каждого значения параметра а определить число корней уравнения |x-1| =а.
- каждого значения параметра а определить число корней уравнения|5x-3| =а.
Используемая литература.
- Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.; C.Неделяева, «Особенности решения задач с параметрами» №34, 1999 г.
- Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
- Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.
- Соколовская С.И., Духон М.Ю. Линейные уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.