Цели урока.
Образовательные: организация исследовательской работы учащихся с различными источниками информации, развитие умений анализировать и передавать информацию, присваивать ее, увязывая новое (на стадии осмысления) с уже имеющимися знаниями, представлениями; интерпретировать, применять информацию на стадии рефлексии.
Воспитательные: развитие коммуникативных способностей (умение вести диалог, дискутировать на уроке, работать в группах); усвоение этических норм межличностного общения; воспитание ответственного отношения к общему делу;
Развивающие: формирование навыков самостоятельной учебно-исследовательской деятельности; формирование умений работать с дополнительными источниками, в том числе интернет-источниками; развитие коммуникативных навыков личности; формирование этических и эстетических представлений учащихся; информационно-коммуникационное развитие старшеклассников.
Задачи урока:
– познакомить учащихся с последовательностью чисел Фибоначчи и её математическими свойствами;
– формировать навыки самостоятельной работы с большим объемом информации;
– формировать умение видеть проблему и находить пути ее решения; применять базовые знания для решения конкретных задач
– превратить работу над исследованием свойств последовательности Фибоначчи в увлекательный процесс поиска математических закономерностей в мире, который нас окружает;
– способствовать выработке нового научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии “золотого сечения”, открыть новые грани человеческой культуры, связанные с “золотым сечением” и числами Фибоначчи;
– научиться представлять результаты труда с использованием современных информационных технологий;
– формировать навыки научно-исследовательской и поисковой работы, в том числе в сети Интернет;
– создать творческую атмосферу, способствующую развитию познавательной активности учащихся;
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят ученики в ходе урока:
– приобретут знания о последовательности чисел Фибоначчи и её математических свойствах;
– приобретут знания в области теории Золотого Сечения и его приложений в различных сферах современной науки и искусства;
– актуализируют знания в области информационно-коммуникационных технологий, интернет-технологий, программирования;
– закрепят социально-коммуникативные навыки и навыки анализа математических и информационных исследований;
– разовьют креативные качества;
– научатся устанавливать междисциплинарные связи;
– приобретут опыт ведения тематической беседы, защиты своего видения проблемы;
– разовьют способность к рефлексии, диагностике и самодиагностике решений.
Необходимое оборудование и материалы: компьютерный класс, мультимедиа проектор.
Подробный конспект урока
Вступительное слово учителя информатики.
Уважаемые ребята! Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano, Леонардо из Пизы), которого иногда называют Леонардо Фибоначчи (Fibonacci, Filius Bonaccii, сын Боначчо) (1180-1240), был величайшим европейским математиком эпохи, предшествующей Возрождению. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики и способствовал передаче их на Запад. Он изучил работу аль-Хорезми (от имени которого происходит название "алгоритм"), великого персидского математика, основателя классической алгебры..
Основные труды Леонардо "Книга абака" ("Liber Abaci",1202) – трактат об арифметике (индийские цифры, числа Фибоначчи) и алгебре (до квадратных уравнений включительно), "Практика геометрии" (Practica Geometruae", 1220) – первые произведения, содержащими задачи на приложение алгебры и геометрии.
Последовательность чисел Фибонааччи, в которой каждое последующее число (начиная с 3-го) равно сумме двух предыдущих чисел, известна уже более 800 лет, но до сих пор эта последовательность и связанная с ней гармония Золотого Сечения остаются привлекательными для математиков, биологов, художников, архитекторов (Приложение 1, слайд 1). Интересно, что в 1963 г. в США математической Фибоначчи Ассоциацией начал издаваться ежеквартальный математический журнал The Fibonacci Quarterly, к сожалению, многие наши старшеклассники никогда не слышали о числах Фибоначчи.
Постановка цели.
Цель нашего урока – развить ваш познавательный интерес, расширить кругозор, сделать так, чтобы эти новые знания стали также существенными элементами вашего математического и общего образования.
Актуализация знаний и фронтальный опрос.
Один из учеников делает краткое сообщение о знаменитой “задаче о кроликах”.
Учитель информатики:
“Головоломка “Кролики и числа” привлекает математиков до сих пор. Конечно, их очаровывает не ответ сам по себе, а, скорее, последовательность чисел, которая возникает, когда пытаешься его найти. Еще более замечательно то, что эта последовательность встречается в самых неожиданных ситуациях. Та же самая последовательность появляется в работе Кеплера в 1611 г. в связи с изучением порядка расположения листьев на стебле. Кеплер, по-видимому, не знал о том, что Фибоначчи уже рассматривал эту последовательность. Числа Фибоначчи часто встречаются в природе, вероятно в результате действия факторов, аналогичных отмеченным в задаче о кроликах. Многие растения растут спиралями. Каждый новый стебель вырастает с внутренней стороны предыдущего, и растение как бы закручивается. Спирали роста можно обнаружить у сельдерея, у всех кактусов, у пальм, в сосновых шишках, в цветах маргаритки или подсолнуха и у многих других растений. Например, колючки ананаса образуют сразу два множества спиралей: 8 спиралей идут по часовой стрелке (если смотреть снизу) , а 13 спиралей идут против часовой стрелки.
Поразительно то, что эти два числа: число спиралей , идущих по часовой стрелке, и число спиралей, идущих против, – это соседние числа Фибоначчи (1 и 2 у сельдерея, 8 и 13 у ананаса, 21 и 34 у подсолнуха. Наиболее часто встречается пара 5 и 8, которую можно найти в сосновой шишке. Такова “математика растений”. Попробуйте поискать растения, в которых встречается пара 2 и 3 ; 3 и 5; 5 и 8; 13 и 21.
Труды Фибоначчи были переизданы в 1857 г. Задача о кроликах была приведена, безусловно, не как пример применения к биологии, это было просто упражнение на сложение. И до сих пор эта задача служит прекрасным упражнением на сложение для вычислителей. Фибоначчи писал: "Сложение в таком порядке можно продолжать бесконечное число месяцев" (Приложение 1, слайд 3). Посмотрев на схему, мы понимаем, что для определения количества пар кроликов в сентябре, нам необходимо вычислить 9-е число Фибоначчи. Если мы опишем массив, состоящий из 9 элементов, присвоим первым двум его элементам значение 1, то организовав цикл, изменяющий значение параметра от 3 до 9, сможем вычислить все элементы массива (т. е. числа Фибоначчи) по формуле Fi=Fi-1 + Fi-2, i=3,4,...,9.
Давайте вспомним всё, что мы изучили с вами на прошлом уроке, знакомясь с понятием “массивы”. Учащиеся отвечают на “Вопросы для повторения” (Приложение 1, слайд 2), а затем составляют программу для вычисления девятого числа Фибоначчи на языке программирования Pascal и проверяют алгоритм на компьютере. Учитель предлагает скорректировать алгоритм для вычисления двенадцатого, а затем N-го чисел Фибоначчи (Приложение 1, слайд 4).
Физкультминутка. Учащиеся выполняют гимнастику для глаз.
Слово учителя математики.
После нахождения n-го числа Фибоначчи по алгоритму перейдем к математике:
рассмотрим числовую последовательность: U1, U2, …, Un, … (1)
в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2
Un=Un-1+Un-2 (2)
Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными или возвратными последовательностями. Причем важным частным случаем после последовательности (1) является последовательность, у которой U1=1 и U2=1, а условия (2) дает нам возможность вычислить последовательно одним за другим все члены этого ряда. Вычислим несколько первых членов такой последовательности: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377 и т.д., которые уже встречались нам в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при U1=U2=1 называется рядом Фибоначчи, а члены ее – числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств. Рассмотрим некоторые из них.
- Сумма первых n чисел Фибоначчи можно вычислить по формуле:
- Сумму чисел Фибоначчи с нечетными номерами можно вычислить по формуле:
- Сумму чисел Фибоначчи с четными номерами можно вычислить по формуле:
- Формулы (3) и (4) были выведены при помощи почленного сложения целой серии очевидных равенств. Еще одним примером применения этого приема может служить вывод формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи.
U1+U2+…+Un=Un+2-1 (3)
Докажем это:
U1= U3– U2
U2= U4– U3
U3= U5– U4
……………
Un-1= Un+1– Un
Un= Un-2– Un+1
Сложив все эти равенства почленно, получим: U1+U2+ U3+…+Un=Un+2 – U2, вспомним, что U2=1, значит U1+U2+ U3+…+Un= Un+2 – 1
U1+U3+ U5+…+U2n-1=U2n (4)
Докажем это:
U1= U2
U3= U4– U2
U5= U6– U4
…………..
U2n-1=U2n– U2n-2
Сложив эти равенства почленно, получим:
U1+U3+ U5+…+U2n-1=U2n
U2+U4+ U6+…+U2n=U2n+1-1 (5)
Докажем это:
На основании 1-го свойства мы имеем:
U1+U2+ U3+…+ U2n=U2n+2-1
На основании 2-го свойства мы имеем:
U1+U3+ …+U2n-1=U2n
Вычитая почленно из равенства (3) равенство (4) мы получим:
U2+U4+ U6+…+U2n=U2n+2-1– U2n= U2n+1-1
Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи:
U12+U22+…+Un2=Un?Un+1 (6)
Заметим для этого, что
Uk+Uk+1– Uk-1 ·Uk = Uk(Uk+1– Uk-1)= Uk·Uk= Uk2
U12 =U1·U2
U22= U2·U3– U1· U2
U32= U3 U4– U2 U3
………………….
Un2=Un·Un+1– Un-1·Un
Сложив эти равенства почленно, мы получим
U12+U22+…+Un2=Un·Un+1
А теперь рассмотрим ещё одно замечательное свойство последовательности Фибоначчи и поговорим о её связи с гармонией Золотого сечения.
Второй ученик делает краткое сообщение о числах Фибоначчи и Золотом сечении.
Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, Парфенон в Афинах – это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.
Фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют так называемое золотое сечение. Слово "сечение" здесь употреблено в смысле "деления на части". Золотое сечение отрезка – это деление его на части длиной X и Y так, что (X+Y):X = X:Y. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза. Вычислить точное значение нельзя; греки умели строить золотые прямоугольники, но не умели находить длины сторон.
Современные компьютеры могут вычислить отношение длины к ширине с любой заданной точностью. С точностью до трех знаков после запятой оно равно 1,618 . Это значит, что прямоугольник шириной 1 метр должен иметь длину приблизительно 1,618 м, или 1 м 61 см 8 мм. Вещами, имеющими такую форму, оказывается удобно пользоваться. Поэтому многим “прямоугольным” предметам нашего обихода (книгам, спичечным коробкам, чемоданам и т.п.) часто придается именно такая форма. (Приложение 1, слайд 7)
В следующей таблице представлено несколько прямоугольников, стороны каждого из которых образуют золотое сечение.
| Ширина (в метрах) | Длина (в метрах) |
| 1 2 5 |
1,618 3,236 8,090 |
Древние греки считали, что прямоугольники, стороны которых образуют золотое сечение, имеют наиболее приятную для глаз форму. Греки приписывали золотому сечению и некоторые магические свойства, так же как и египтяне, использовавшие его при расчетах пирамид. Любой прямоугольник, стороны которого относятся как 1:1,618, будем называть золотым. А при чём здесь числа Фибоначчи? Если вы попробуете разделить каждое из них на предыдущее, то получится: 1 : 1 = 1; 2 : 1 = 2; 3:2 = 1,5; 5:3 = 1,666 666; 8 : 5 = 1,6; 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 = 1,615384;...
Учитель информатики: “Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то как близко можно подойти к золотому сечению? Давайте проведем вычисления, используя возможности современного компьютера и ваши знания в области программирования”. (Приложение 1, слайд 8)
Учащиеся разбиваются на 5 групп, каждая из которых получает следующие задания:
- в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и проверить первое доказанное нами свойство: F1 + F2 + F3 +…+ Fn = Fn+2 +1; (Приложение 1, слайд 5)
- в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и проверить второе и третье доказанные нами свойства: F1 + F3 + F5 +…+ F2n-1 = F2n, F2 + F4 +F6 + F2n = F2n+1 – 1; (Приложение 1, слайд 6)
- в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и проверить четвертое доказанное нами свойство: F12 + F22 + F32 +…+ Fn2 = Fn· Fn+1; (Приложение 1, слайд 6)
- в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и вычислить отношение всех Fi к Fi-1 для i=2,3, … n;
- Найти в сети интернет информацию о последовательности Фибоначчи и Золотом сечении. (Приложение 1, слайд 10)
Учащиеся составляют программы, “поисковая” группа № 5 подготавливает информационный отчёт.
Проверка и оценивание ЗУНКов.
Оценивание группами вклада каждого в общее дело (в создание и реализацию алгоритмов, проверяющих основные свойства последовательности Фибоначчи, знакомство с информацией, найденной в сети Интернет.); компьютерное тестирование. Тест “Математическая задача "Числа Фибоначчи" и язык программирования Pascal” (Приложение 2) выполняется каждым учащимся индивидуально, оценку выставляет компьютер.
Рефлексия деятельности на уроке.
Листки самоконтроля и проведенное после уроков анкетирование показало: большинство учащихся находят полезным и интересным проведение интегрированных уроков, приобретают практический опыт работы с интернет-источниками, чувствуют себя интеллектуально и духовно обогащенными; старшеклассниками приветствуется предоставляемая им свобода творчества, реализуемая в том числе в сфере информационно-коммуникационных технологий.
Домашнее задание: (Приложение 1, слайд 9).
Использованные Интернет-источники и литература
- История математики, Т.1,М.,1970
- Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи, М. “Наука”, 1978
- http://ru.wikipedia.org
- http://gs.edunet.uz
- http://milogiya.narod.ru/toc.html
- http://work.tspu.ru
- http://www.goldenmuseum.com