Геометрические изображения в математической статистике

Для наглядного представления, каких – либо процессов, полученных данных при измерениях, опытах можно представить в виде различных диаграмм.

Используют круговые диаграммы, когда хотят наглядно увидеть соотношения между частями исследуемого объекта. Для этого круг разбивается на сектора, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам появления каждой группы данных, выраженных в процентах.

Задача №1: В 2007 году были проведены различные теплоизоляционные материалы:

• 42 % каменной ваты,
• 33 % стекловолокна,
• 25 % другие теплоизоляционные материалы.

Показать структуру выпуска на круговой диаграмме.

Для того чтобы её построить, необходимо разбить круг на сектора.

Разделяем так: полный круг составляет 360˚, а в процентах это 100%, тогда 1 % соответствует угол в 3,6˚. Каменной ваты 42 %, а это означает, что нам надо взять сектор 3,6˚*42=151,2˚. Стекловолокна 33%, т.е. строим сектор равный 3,6˚*33=118,8˚. Оставшийся сектор – другие теплоизоляционные материалы

Построим круговую диаграмму.

Она может иметь вид:

1)

 

2)

3)

Задача №2: Выпуск стальных гнутых профилей с гофрами в Регионах России в 2007 году представлял следующую картину:

 

Другим способом представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы. Столбчатые диаграммы используют тогда, когда надо наглядно продемонстрировать средний балл успеваемости по годам, количество студентов повысивших свой рейтинг по годам, расход электроэнергии в течение года, расход воды в течение года семьёй, выпуск различных товаров, строительных материалов.

Задача №3:

Соответствующая столбчатая диаграмма строиться в системе координат, где по оси ох откладываем месяц, а по оси оy расход электроэнергии в кВтч в масштабе, и состоит из 12 прямоугольников с выбранными произвольно разными основаниями.

Представление задачи №2 в виде столбчатой диаграммы:

Задача №4:

Дана таблица расхода горячей и холодной воды в куб. м. по месяцам 2008 года одной семьи.

Постройте столбчатую диаграмму по данным таблицы.

Задача №5:

Изобразить столбчатую диаграмму по данным таблицы производства теплоизоляционных материалов в млн. куб. м. в России за 2003-2008 г.

Задача №6:

Основные показатели рынка ПВХ, по материалам ЗАО “Креон” приведены в таблице по годам.

Построить столбчатые диаграммы по годам.

ЗАДАЧА. 7. Составить эмпирическую функцию распределения выборки и изобразить её графически, если известна выборочная частота распределения. Построить гистограмму, полигон частот, кумуляту.

Решение :

При x<2 F*(x)=0

При 2<x<4 F*(x)=0,06+0=0,06

При 4<x<6 F*(x)=0,06+0,16=0,22

При 6<x<8 F*(x)=0,22+0,36=0,58

При 8<x<10 F*(x)=0,58+0,32=0,90

При x => 10 F*(x)=1

Построили функцию распределения.

Построим полигон, гистограмму и кумуляту.

Полигоном частот называются ломанную, отрезки которой соединяют (x₁,n₁.), (x₂, n₂),…(x_k,n_к). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x., а на оси ординат - соответствующие им частоты n или относительные частоты n_k/n. Точки (x_k,n_k.) соединяем отрезками прямых и получаем полигон частот .

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁,n₁/n), (x₂,n₂/n),..(x_k, n_k/n)

Изобразим полигон распределения относительных частот .

Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями равными интервалам значений D x и высотой h_i = (n_i /n)* (1/D x)

Для построения гистограммы относительных частот разобьём весь интервал, в котором заключены наблюдаемые значения признака x: на ряд частичных интервалов длиной D x, содержащих хотя бы одно значение x. На каждом частичном интервале, как на основании строим прямоугольник h _i = (n_i /n)*(1/Dx); i –номер x, попавшего в интервал.

Площадь всех прямоугольников (площадь гистограммы относительных частот) равна единице.

Разобьём закрытый интервал [2;10] на 5 равных частей, тогда D x = 8/5 =1,6

Имеем интервалы [2;3,6]; [3,6;5,2];[5,2;6,8];[6,8;8,4]; [8,4;10]

Вычислили h_i = (n_i /n)* (1/D x)

h₁=0,06*0,625=0,0375; h₂=0,16*0,625=0,1;

1/D x=0,625

Построим гистограмму

Кумулятивная кривая (кумулята) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломанную, соединяющую точки (x_i,n_i) или (x_i;(n_i/n)=Wi), где i=1,2… Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов.

Для нашего примера составим таблицу для построения кумуляты

Итак:

В математической статистике для геометрического изображения используются диаграммы, гистограммы, полигоны частот, кумуляты и функции распределения.