Роль учителя математики. Умение решать задачи является одним из основных показателей математического развития, глубины усвоения учебного материала. Поэтому любая форма контроля знаний по математике содержит в качестве основной и наиболее трудной части – решение задач. Бывают случаи, когда ученик показывает хорошие знания в области теории, знает все необходимые определения и теоремы, но запутывается при решении несложной математической задачи или, прочитав задание, не знает, как применить свои теоретические знания на практике.
В чём причина затруднений при решении задач? Причин, конечно, много. Но самой важной из них является то, что одни учащиеся вникают в процесс решения задачи, стараются понять все возможные приёмы и методы её решения. А другие, не задумываясь, пытаются быстрее решить навязываемое им задание, не анализируя задачи и не выделяя из решений общие приёмы и методы. Цель у таких учащихся одна – получить ответ и как можно быстрее.
Не осознав, из чего складываются этапы решения даже простейших математических заданий, нельзя получить сознательные и прочные умения и навыки в решении задач. Невозможно перерешать на уроке все задачи, рассмотреть все возможные типы задач. Великие умы математики тратят на решение одной или некоторых задач всю свою жизнь. Есть случаи, когда учёные всего мира не могут в течение долгих лет найти решение задачи.
И здесь важна роль учителя, который научит особым подходам к решению задачи, поможет находить её суть, научит не бояться формулировок заданий. Учителю нужно набраться терпения и упорства в работе, чтобы увидеть результат своего труда: уверенность учащихся при встрече с незнакомой задачей и желание её решить.
Если учитель заполнит отведённое учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он постепенно убьёт их интерес к предмету, затормозит природные умственные способности отдельных детей. Но если он будет пробуждать любознательность детей, и своими наводящими вопросами помогать им решать задачи, то сможет привить им самостоятельное мышление и развить способности своих учеников. С течением времени, ненавязчиво ученик вдруг поймёт, что математическая задача бывает столь же увлекательна, как и компьютерные игры, и что умственная работа может быть столь же желанным занятием, как и занятия боевыми видами спорта. За всем этим стоит скрытая многолетняя работа грамотного педагога, любящего свой предмет.
Общие психолого-педагогические условия формирования умений и навыков. Психолог В.А. Крутецкий, изучавший математические способности, так характеризует различие между умениями и навыками и способностями: “При анализе способностей всегда имеют в виду качества, особенности человека, выполняющего ту или иную деятельность, а при анализе умений и навыков – качества, особенности деятельности, которую осуществляет человек”.
Понятно, что умения и навыки в решении задач – это личные, уже имеющиеся у ученика возможности в решении задач изученных видов, а способности в решении задач – это его потенциальные возможности. Они являются личностной характеристикой ученика. Формирование навыков и умений – очень сложный и длительный процесс.
Основные требования к организации процесса формирования умственных действий:
- Полнота ориентированной основы умственных действий. Формирование любого навыка или умения начинается с дачи учащимся такой системы указаний и ориентиров, пользуясь которой ученик может самостоятельно выполнить данное действие. Ориентированная форма умственного действия может быть дана в разной форме: в виде образца, в виде словесного объяснения с одновременным показом выполнения действия, в виде пошагового алгоритма и т.д. Самое главное, чтобы ориентированная система была полной, содержащей все необходимые указания.
- Развернутость действия при его первоначальном показе и освоении. Когда умственное действие учащимися освоено, и они приобрели достаточный навык или умение в его выполнении, то процесс выполнения происходит свёрнуто, в нем уже отсутствуют многие звенья, его составляющие, отдельные операции выполняются в уме и не фиксируются.
- Поэлементное освоение сложного действия. Многие математические действия, которые должны быть освоены учащимися, довольно сложны по своей структуре и состоят из ряда элементарных действий. Когда ученик приобрел навык (умение) в сложном действии, то он выполняет все операции совместно, одно за другим.
- Осознанность и полноценность навыков и умений. Учащиеся должны иметь знания, на основе которых выполняется данный навык или умение, они должны знать, почему данное действие выполняется именно так и можно ли его выполнить иначе. В состав умения должны входить навыки по планированию действия, прогнозированию его результата, навыки по контролю за ходом выполнения этого действия. Важно, чтобы ученик мог объяснить, почему и как он выполняет данное действие и в каких случаях его можно применять.
- Растянутость процесса формирования навыков и умений. Для формирования прочного навыка необходимо включать упражнения, подготавливающие учащихся к овладению новым навыкам или умениям. А после ознакомления с новым навыком или умением упражнения в этом навыке или умении должны не прекращаться, а продолжаться как составная часть.
- Поэтапная обработка каждого навыка и умения. Как установлено исследованиями П.Я. Гальперина, для формирования полноценного умственного действия необходимо, чтобы процесс формирования содержал ряд обязательных этапов.
В процессе формирования умственных действий
выделяют следующие этапы:
этап ознакомления обучающихся с
ориентированной основой формируемого действия
(учащиеся следят, как учитель выполняет
действие);
Развитие общих умений решения математических задач. Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Мышление человека главным образом и состоит из постановки и решения задач. Особую роль играют задачи в обучении математике. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач. Таким образом, решение задач в обучении математике выступает и как цель и как средство обучения.
В последнее время с точки зрения психологов под функцией решения задач понимают “проектируемые учителем изменения в деятельности и психике учащихся, которые должны произойти в результате решения ими этих задач”. Конечно, в результате решения каждой задачи происходит не одно какое-то определенное изменение (например, приобретение умения решать задачи данного вида, развитие мышления, воображения), а различные изменения в знаниях, умениях, способностях, развития личности, мировоззрения.
Процесс решения математической задачи. Как только ребёнок приходит в школу, так сразу на первых уроках математики он учиться не только счёту, но и решать задачи и примеры. Примеры – это тоже задачи, только словесное их содержание – определить порядок действий, выполнить действия, найти результат – подразумевается. Решение задач – это работа нашего ума. А, чтобы выполнить правильно работу, сначала нужно изучить материал, с которым придётся работать и те инструменты, с помощью которых работа будет выполнена.
Что же такое задача? Каждая задача представляет собой требование или вопрос, на который необходимо найти ответ. При этом нужно опираться на те данные, что предложены в задаче. Поэтому, прежде чем решать задачу, надо её проанализировать.
Первый шаг – анализ. При анализе задачи формулировку расчленяют на условия и требования. Часто требования задачи формулируются в виде вопросов. А всякий вопрос предполагает нахождение на него ответа. Анализ задачи и вычленение условий и требований можно производить с разной глубиной. Глубина анализа зависит от того, насколько знакомы учащиеся с видом задачи и знакомы ли с общим способом решения таких задач. Если да, то достаточен простейший анализ, сводящийся к установлению вида данной задачи; если нет, то для нахождения решения задачи нужен более глубокий анализ. Для учащихся, прежде всего, должна быть понятна словесная формулировка задачи. Проверить это учитель до некоторой степени может, он просит повторить формулировку задачи. Ученик должен быть в состоянии указать главные элементы задачи – неизвестное, данное, условие. Таким образом, учитель редко может позволить себе обойтись без вопросов: “Что неизвестно? Что дано? В чём состоит условие?”
Анализ задачи заканчивается записью условия задачи и по необходимости изображением чертежа. Удобная, наглядная форма записи результатов анализа – это схематическая запись условия. В схематической записи фиксируется только то, что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, отбрасываются. На практике используется много видов схематической записи задач (табличная запись, схема движения, чертёж, словесная запись). Для схематической записи геометрических задач полезно использовать чертёж.
При построении чертежа необходимо напоминать учащимся о выполнении требований:
- чертёж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи;
- если в тексте указаны обозначения фигуры или отдельных её элементов, то эти обозначения должны быть на чертеже;
- если в задаче нет обозначений, то надо воспользоваться общепринятыми обозначениями;
- чертёж должен соответствовать задаче (например, если не указан вид треугольника, то строится разносторонний треугольник);
- при построении чертежа нет необходимости выдерживать строго масштаб, но желательно соблюдать пропорции в построении отдельных элементов (например, если задана медиана треугольника, то соответствующий отрезок должен проходить через середину противолежащей стороны треугольника);
- наглядность – это основной показатель удачного и правильно выполненного чертежа.
Выбор обозначений является одним из важных штрихов в решении задачи. К нему следует отнестись очень внимательно. Потраченное на выбор обозначений время с лихвой компенсируется тем временем, которое сэкономится, избежав путаницы в работе. Тщательно выбирая обозначения, легче разобраться в элементах задачи, которые подлежат обозначению.
Хорошая система обозначений должна удовлетворять следующим требованиям:
- однозначность;
- содержательность;
- легко запоминаться;
- легко распознаваться;
- употреблять общепринятые обозначения.
Для обозначения объектов одной категории пользуются буквами одного алфавита. Для обозначения объектов разных категорий пользуются буквами различных алфавитов. Для обозначения объектов разных категорий, имеющих существенную связь между собой, важную для задачи, пользуются соответствующими заглавными и маленькими буквами одного алфавита (А и а, В и b). Утвердившиеся обозначения имеют большие достоинства: используя их в ряде случаев при решении задач, они могут воскресить в памяти уже применяемые приёмы. Для выбора наиболее подходящего обозначения, так же как и при выборе подходящего слова, необходимы опыт и чувство меры.
Не для всякой задачи анализ заканчивается схематической записью или выполнением построения чертежа. Например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и не оформляется.
Второй шаг – поиск решения задачи. Путь от понимания постановки задачи до представления плана решения может быть долгим и извилистым. И действительно, главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно, или она может возникнуть вдруг, после, казалось бы, безуспешных попыток и сомнений. На данном этапе учитель может подсказать учащемуся идею. Чтобы понять учащегося, решающего задачу, учитель должен вспомнить свой собственный опыт, свои трудности и успехи в решении задач. Материалы, необходимые для решения задачи представляют собой крупицы прежде приобретённых математических знаний, таких, как решённые ранее задачи или доказанные теоремы. Поэтому оказывается уместным начать поиск решения с вопроса: “Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?”
Хорошо продуманные вопросы и советы педагога помогают правильно направить ход мыслей с самого начала, но они не в состоянии помочь всегда. Если они не помогают, то нужно продолжить поиск; видоизменять, преобразовывать, модифицировать задачу. Так шаг за шагом учитель подводит учеников к осуществлению плана решения данной задачи. План указывает лишь общие контуры решения. И нужно убедиться, что все детали вписываются в эти общие контуры, нужно терпеливо рассмотреть эти детали, одну за другой, пока всё станет совершенно ясным и не останется ни одного тёмного угла, скрывающего ошибку.
Третий шаг – осуществление плана. Если учащийся сам потрудился над составлением плана, пусть даже с некоторой помощью, и если он осознал окончательную идею, то ход решения задачи будет идти довольно гладко. И всё же учитель должен настаивать на проверке каждого шага при решении. В некоторых случаях важно указать учащимся на разницу между “увидеть” и “доказать”.
Учащийся осуществил своё решение, свой план. Он записал решение, проверяя каждый шаг. То есть он может считать это решение правильным. Но, тем не менее, ошибки всегда возможны, в особенности, если решение длинное и запутанное. Проверка его всегда желательна.
Четвёртый шаг – проверка. На данном этапе решения задачи одна из главных обязанностей учителя не создавать у учащихся впечатления, что математические задачи мало взаимосвязаны или не связаны вообще. Оглядываясь назад на ход решения задачи, предоставляется возможность исследования.
Приобретя опыт в решении задач, учащиеся воспримут и идеи:
- использование всех существенных данных задачи,
- возможные изменения данных в выводе, полученном как результат решения,
- проведение аналогии с ранее известными задачами,
- проверка размерности,
- возможность использования результата задачи или метода решения к решению последующих задач.
Убедившись в правильности решения, необходимо чётко сформулировать ответ задачи.
Все этапы пронизаны вопросами и советами учителя.
Искусство ставить вопросы заключается в следующем: начинать нужно с общего вопроса, затем ставить частные и конкретные вопросы и советы, пока не будет найден вопрос, соответствующий уровню развития обучающихся. Очень важно, чтобы исходные советы были простые, естественные, ни в коем случае ненавязчивые. Советы должны быть общими, применимыми не только к данной задаче, но и к последующим, если они имеют цель развить способности учащихся, а не только выработать технический навык. Вопросы должны повторяться часто и в разнообразных ситуациях, тогда они будут усвоены учащимися и обратятся в привычную функцию ума. Основные вопросы к задачам, которые будут предложены на уроке, учитель продумывает заранее, видоизменяя их по ходу решения задач. И учитель должен применять такие вопросы, которые могли бы прийти в голову и самим учащимся. Вопросы и советы – это костяк процесса обучения решению задач.
Требования к вопросам и советам:
- продумывать заранее;
- учитывать собственный опыт, трудности и неудачи;
- начинать с общих, переходя к более конкретным;
- направлять ход мыслей и действий учащихся;
- должны быть общими, часто повторяющимися;
- видоизменять по ходу процесса решения;
- применять доступные для учащихся, соответствующие их уровню развития;
- ненавязчивость.
Знаменитый древнегреческий учёный Аристотель вопрос трактует как мыслительную форму, обеспечивающую переход от незнания к знанию. Действительно, процесс рационального восприятия информации начинается с осознания познавательной цели. А для этого необходимо поставить вопрос: “Чего я хочу достичь?” - и, конечно, дать на него ответ. Концентрация внимания на том или ином понятии тоже требует умения задавать цепочку вопросов, позволяющих рассмотреть его со всех сторон, изучить его во взаимосвязях с ранее изученным, отделить существенную информацию от несущественной. Любая система вопросов регулирует деятельность учеников, направляет её в необходимое русло. Чаще всего вопросы учителя подсказывают лишь область поиска решения.
Любое исследование, любое творчество начинается с постановки проблемы, т.е. с умения задать вопрос. Хороший вопрос, как считает психолог И. Лернер, помогает совершенно по-новому увидеть существо дела и искать ответ новыми путями, о которых раньше никто не думал. В диалоге с учителем урок проходит непринуждённо. И неважно, какой предмет: технический или гуманитарный, ведёт учитель. Важна та атмосфера, которая создаётся в результате общения более опытного человека с теми, кто хочет постичь новое, с теми, кто хочет подняться до уровня своего наставника и воплотить идеи Учителя в дальнейших жизненных поисках, при решении как учебных, так и задач, которые ставит жизнь.
Схема структуры процесса решения задачи (Приложение 1). Схема представлена в виде “лестницы”: каждая ступенька - это последующий шаг при решении задачи. Двигаясь, не перепрыгивая через ступеньки, можно дойти до “вершины”. Способность человека быть творцом (в том числе и в области математики) воспитывается прежде всего в школе на уроке. Уже простое самостоятельное решение задач по математике – работа творческая, но это лишь начальная ступень развития творческих сил и способностей человека. “Вершина”, достигнутая при решении задач, - это и есть фундамент для творчества детей. Дальнейшие шаги по этому пути – это умение самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу, пусть вначале и не очень трудную. Большинство заданий математики принадлежит к “математическим гаммам”, способствующим развитию математического мышления и творчества.
Творчество детей – результат плодотворного труда учителя. “А можно ли научиться решать любые задачи?” - может спросить учителя любознательный ученик или неопытный первоклассник. Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ведь как бы хорошо не научился их решать ученик, всегда встретится такая задача, которую он не сможет решить. Как показывает история, основополагающие открытия гениальных математиков опирались на результаты трудов многих их предшественников, рассмотревших частные случаи в той или иной области математики.
Умение решать задачи есть искусство, приобретённое практикой. Каждый человек овладевает мастерством, сначала подражая, а в дальнейшем учитывает при решении свой собственный опыт. Учась мастерству решения задач, мы наблюдаем и подражаем другим в том, как они это делают. И, наконец, овладеваем искусством решения при помощи упражнений.
Учитель, стремящийся развить способности учеников, должен пробудить в них интерес к задачам и обеспечить им широкие возможности для подражания и приобретения опыта. Целенаправленную работу на развитие творческих способностей детей необходимо вести с первых же уроков математики. Это и использование разнообразных форм проведения уроков, и насыщенная внеурочная работа, и различные творческие задания, ориентированные на показ учащимися отработанных навыков и умений. Начинать нужно с самого простого. Эти первые шажки к безграничному творчеству и фантазии дети сделают по твёрдой опоре, которую своим ежедневным, ежеурочным, кропотливым трудом, незаметно укрепит в душах и мыслях детей Учитель, любящей свою работу, уважающий результаты своего труда.