На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.
Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.
Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.
Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.
Можно сделать такую запись определения множества:
, где
“
” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.
Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов
Например:
Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если 
, то 
, где “С” знак подмножества или включения.
Графически это выглядит так (рис.1):
(рис.1)
Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.
Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).
Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.
Это определение можно записать с помощью обозначений:
А υ В, где 
где “ υ ” – знак объединения,
“ / ” – заменяет слова ”таких что“
(рис.2)
Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:
А ∩ В = С, где
“∩“ – знак пересечения. (рис.3)
(рис.3)
Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где 
A С Е (“”- любо число), т.е. А 
Е = Е; АЕ =А
Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4)
Е
(рис.4)
Примерами для понимания этих понятий являются свойства:
_
А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā
_
А ∩ Ā= Ø Ē = Ø (Ā)=А
Свойства дополнения имеют свойства двойственности:
________ _ _
АВ = А∩В
________ _ _
АВ = АUВ
Введем еще одно понятие – это мощность множества.
Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.
Из определение следуют свойства:
m (A) + m (Ā) = m (E)
А = В => m(A) = m(B)
Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:
m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)
m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)
m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).
А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.
Задача №1
В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.
По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.
- Сколько учащихся решили все задачи?
- Сколько учащихся решили только две задачи?
- Сколько учащихся решили только одну задачу?
Задача № 2
Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
Задача № 3
В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.
Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?
Решение задачи № 1
Запишем коротко условие и покажем решение:
- m (Е) = 40
- m (А) = 20
- m (В) = 18
- m (С) = 18
- m (А∩В) = 7
- m (А∩С) = 8
- m (В∩С) = 9
___________
m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37
Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).
(рис.5)
К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;
К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;
К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;
К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;
К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;
К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;
К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;
К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.
Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:
-
m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) - m (А) - m (В) - m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
- m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5
- m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2
- m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3
- m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4
- m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10
- m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7
- m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6
- m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
- m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.
Ответ:
5 учеников решили три задачи;
9 учеников решили только по две задачи;
23 ученика решили только по одной задаче.
С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:
Решение задачи № 2
-
m (АВ) = 33
- m (АС) = 31
- m (ВС) = 32
- m (К2) + m (К4) + m (К6) + m (К5) = 20
Найти m (К1) + m (К3) + m (К7)
- m (АUВ) = m (К1) + m (К2) + m (К3) + m (К4) + m (К5) + m (К6) = m (К1) + m (К3) + 20 = 33 =>
- m (К1) + m (К3) = 33 – 20 = 13
- m (АUС) = m (К1) + m (К4) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) = m (К1) + m (К7) + 20 = 31 =>
- m (К1) + m (К7) = 31 – 20 = 11
- m (ВUС) = m (К3) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) + m (К4) = m (К3) + m (К7) + 20 = 32 =>
- m (К3) + m (К7) = 32 – 20 = 12
- 2m (К1) + m (К3) + m (К7) = 13+11=24
- 2m (К1) + 12 = 24
- m (К3)= 13-6=7
- m (К7)=12-7=5
- m (К1) + m (К3) + m (К7) = 6+7+5=18
Ответ:
Только одну контрольную работу решили 18 учеников.
Решение задачи № 3
- m (Е) = 35
- m (А∩В∩С)= m (К5) = 6
- m (А∩В)= 15
- m (А∩С)= 13
- m (В∩С)= 9
Найти m (К1) + m (К3) + m (К7)
- m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 15-6=9
- m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 13-6=7
- m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-6=3
- m (К1) + m (К3) + m (К7) = m (Е) - m (К4) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 35-7-9-3-6=10
Ответ:
Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.
Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»