Круг задач, в которых применяются интегралы и их свойства, в школьном курсе математики ограничен. Более того, в классах с профильным обучением по программе не предусмотрено расширение этого круга. Классические примеры применения интегралов, перенесенные частично из вузовской программы, не в полной мере решают проблему поднятия интереса у учащихся к этой поистине важной теме начал математического анализа. Вместе с тем, на мой взгляд, этот пробел можно восполнить на элективных курсах по математике или на кружковых занятиях. Ниже приводятся задания, рассматриваемые мною с учащимися на элективных курсах в профильном классе. В них первообразная и интеграл находят неожиданные нетрадиционные применения, приносящие в изучение темы яркость и оригинальность.

Задание 1. Площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и параболой где y, x , равна 15. Записать уравнение параболы.

Решение. По условию задачи , , .

Отсюда получаем систему уравнений:

,

Окончательно: – точка минимума.

Задание 2. Через точку графика функции, где проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Для какой точки сумма площадей криволинейных треугольников, ограниченных данным графиком, проведенной прямыми и , будет наименьшей?

Решение. Площадь S₁ равна площади прямоугольника ADEO без площади криволинейной трапеции ADO (см. рис.);

Аналогично, Тогда, как легко убедиться, обращается в 0 только при и меняет в этой точке знак с минуса на плюс.

Следовательно, функция принимает наименьшее значение при .

Задание 3.Через точку графика строго возрастающей и дифференцируемой функции где проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Для такой точки сумма площадей криволинейных треугольников, ограниченных данным графиком, проведенной прямой и прямым и , будет наименьшей?

Решение. Так же, как и в предыдущей задаче, имеем

Но из формул Ньютона-Лейбница следует, что

Тогда:

Так как то при и меняет в этой точке знак с минуса на плюс. Поэтому функция S(t) принимает наименьшее значение .

Задание 4. По графику функции (см. рис.) вычислить

Решение.

Ответ: 4

Задание 5. Найдите предел последовательности

Решение. Ясно, что при будет Тогда: Окончательно

Ответ:

Задание 6. Какое из двух чисел больше: или

Решение. Число где , есть площадь криволинейной трапеции (см.рис.). Площадь криволинейной трапеции строго больше трапеции ABCD. Следовательно,

Полагая получаем нужное равенство.

Комментарии. Аналогично можно показать, что при

Тогда, при имеем Как видно, данные в улови задачи числа разнятся между собой очень мало.

Замечание. Неравенство при можно доказать и с помощью производной. Пусть

Тогда: при всех

Следовательно, или для всех

Задание 7. При каком последовательность с общим членом имеет предел?

Решение. Ясно, что если число , удовлетворяющее условию задачи, существует, то оно единственно – иначе существовал бы предел последовательности

Докажем, что данная последовательность имеет предел при .

Поскольку при а

то данная последовательность убывающая.

С другой стороны (см. рис.)

т.е.

поэтому последовательность ограничена снизу.

По теореме Вейрштраса она имеет предел.

Замечание. Когда внешне частичная сумма ряда интеграла напоминает интегральную сумму можно воспользоваться интегралом для вычисления суммы или оценки суммы с помощью интегральных неравенств. Но в ряде случаев, более целесообразны другие приемы. В качестве примера можно продемонстрировать решение следующей задачи.

Задание 8. Вычислить сумму, где для любого .

Решение. При имеем

Следовательно, искомая сумма равна

Комментарии. Левая часть не равна

Тем не менее, приближенное значение этого интеграла, получаем с помощью формы трапеции, совпадает с нужным ответом, чего и следовало ожидать.

Задание 9. Доказать, что если где - нечетное число, то

Решение. Так как

и

- нечетное число, то

Но, как известно, причем поскольку ряд, стоящий в левой части, является знакопеременным то и поэтому достаточно доказать неравенства и

Первое из них легко доказывается по индукции, а для доказательства второго неравенства воспользуемся геометрической интерпретацией определенного интеграла (см.рис.). Видно, что и поэтому

Задание 10. Найти все значения , при которых многочлен имеет хотя бы один корень интервала

Решение. Обозначив данный в условии многочлен через , заметим, что , и если не имеет корней на рассматриваемом интервале, то как непрерывная функция он сохраняет на этом интервале знак, т.е. для любого выполняется неравенство

Но тогда интеграл отрицателен, однако

Следовательно, многочлен при любом имеет хотя бы один корень на интервале

Замечание. Получив, что значение положительно при нельзя считать, что эти значения являются искомыми. Ведь полученное условие является только достаточным (по теореме Больцана-Коши) для того, чтобы заданный многочлен имел корень на интервале , и не является необходимым, так как функция может принимать положительные значение и между 0 и 1.

И действительно, так можно угадать, и при любых , так что многочлен имеет корень на интервале .

Второй способ решения. Если т.е ,

то

Отсюда сразу вытекает требуемое утверждение.

Третий способ решения. Воспользуемся частным случаем теоремы Лагранжа – теоремой Ролля: если то следовательно, обращается в 0 на интервале

Литература:

1. Мамхегов А.Б. Применение интеграла при решении практических задач;
2. Виленкин Н. Математика или программатика //Ж.Математика и образование 1990г;
3. Казиев В.М. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.