Урок алгебры в 10-м классе по теме "Числовые функции. Область определения и множество значений функций"

Разделы: Математика

Тип урока: введение нового материала.

Цели урока:

  1. Ввести и закрепить определения функции, области определения функции и графика функции.
  2. Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера.
  3. Развивать логическое мышление учащихся через формирование строить графики функций.
  4. Воспитывать графическую культуру учащихся.

Оборудование: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (профильный уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций. Презентация к уроку.

План урока:

№ Этап урока Цель этапа Время
1. Организационный момент Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока. 1 мин
2. Повторение Повторить ранее изученные функции. 5 мин
3. Изучение нового материала Ввести понятие функции; области определения функции; области значений функции; определение графика функции. 15 мин
4. Закрепление изученного материала Первичное закрепление полученных знаний. 14 мин
5. Итог урока Обобщение знаний, полученных на уроке. 3 мин
6. Домашнее задание Инструктаж по домашнему заданию. 2 мин

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся цель урока и средства ее достижения.

II. Повторение.

В различных сферах жизни мы нередко имеем дело со всевозможными соответствиями, т.е. правилами, по которым одним объектам (элементам) сопоставляются другие. Вот некоторые примеры таких соответствий.

Все эти соответствия можно разделить на группы по различным признакам. Но есть среди них совершенно особенные, такие как 1, 2 и 5. Это такие соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества. Такие соответствия и называются функциями.

III. Изучение нового материала.

(приложение)

Задания и вопросы учителя Предполагаемые ответы учащихся
Что же такое функция? Определение 1. Если даны числовое множество Х и правило f , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f (х) с областью определения Х.
Как записывают? Пишут : у = f(х), х Є Х.
Как обозначают область определения? Для области определения функции используют обозначение D (f).
Как обозначают множество значений? Множество всех значений функции у = f (x) называют областью значений функции и обозначают E (f).
Как называют переменную х ? Х – независимая переменная или аргумент.
Как называют переменную у ? У – зависимая переменная.
Найдите область определения функций:
  1. у = √х
  2. у = х²
  3. у = х / (х+2)
  4. у= (5-3х)/( √х+3 )
  1. D (f) = [ 0; ∞)
  2. D (f) = (-∞; +∞)
  3. D (f) = (-∞; -2)∩(-2; +∞)
  4. D (f) =( -3; +∞)
Вычислите значения данных функций в точках 1 и 4.
  1. х=1, у=1
    х=4, у=2
  2. х=1, у=1
    х=4, у=16
  3. х=1, у=1/3
    х=4, у=2/3
  4. х=1, у=1
    х=4, у=-7/√7
Что такое график функции? Определение 2. Если дана функция у = f(x) , хЄХ и на координатной плоскости хОу отмечены все точки вида (х; у), где х Є Х, а у = f (x), то множество этих точек называют графиком функции.
Как выглядят графики некоторых функций?
  1. у = kx+m
  2. y = ax² +bx +c
  3. y = k/x
  4. y = √x
  5. y = IxI
  
  1. у = kx+m  – прямая
  2. у = ax² +bx +c  – парабола
  3. у = к/х  – гипербола
  4. у = √х
  5. у = I хI

IV. Закрепление.

Дана функция у = f(х), где

  1. Вычислить:
    а) f( -2);
    б) f ( 0);
    в) f( 1, 25);
    г) f(6).
  2. Найти D (f) и E(f).
  3. Выяснить, сколько корней имеет уравнение f(х) =а при различных значениях а.
  4. Решить неравенства:
    а) f(х) < 0,5;
    б) f(х) > 0,5.

Решение.

Дана кусочная функция.

1.

а) значение х=-2 удовлетворяет условию -2 ≤ х ≤ 0, значит f( -2) надо вычислять по формуле f(х) =- х²; f( -2) = -(-2)² ==-4.

б) значение х =0 удовлетворяет условию -2 ≤ х ≤ 0, значит f ( 0) надо вычислять по формуле f(х) =- х²; f ( 0) =-0² =0.

в) значение f( 1, 25) удовлетворяет условию 0 < х ≤ 3, значит f( 1, 25) надо вычислять по формуле f(х) = √х+1; f( 1, 25)= √1,25 +1 =1,5.

г) значение f(6) удовлетворяет условию х > 3, значит f(6) надо вычислять по формуле 3/х +1

f(6)=3:х +1= 3:6+1=1,5.

2. Область определения D (f) состоит из трех промежутков: [-2;0], (0;3], (3; +∞). Объединив их, получим луч [-2; +∞).

Чтобы найти область значений функции, построим ее график. Он состоит из трех кусочков заданной функции. Спроецировав этот график на ось у, получим область значений функции.

E(f)= [-4; 0]U( 1; 2]

3. Выясним, сколько корней имеет уравнение f(х) =а при различных значениях а.

Для этого нужно определить, сколько точек пересечения имеет построенный график функции с прямой у=а при различных значениях параметра а.

  1. При -4 ≤ а≤ 0 прямая пересекается с графиком в одной точке. Значит, уравнение имеет 1 корень.
  2. При а< -4 корней нет.
  3. При 0<а ≤1 корней нет.
  4. При а>2 корней нет.
  5. При а=2  – 1 корень.
  6. При 1<а <2 два корня.

4. Решим неравенство f(х)<0, 5. График функции располагается ниже прямой у = 0,5 при -2≤х≤0

f(х)>0,5 при х>0.

V. Итог урока.

  • Какое соответствие называется функцией?
  • Что такое область определения Х функции?
  • Дайте определение графика функции.

VI. Домашнее задание. Инструктаж по домашнему заданию.

§7. № 7.12 (а,б); 7.13(а,б); 7.23; 7.24.