Применение размерности для проверки правильности решения физических задач

Цели:

• шире использовать полученные теоретические знания по физике;
• вооружить учащихся большим набором способов решения задач.

1. Понятие размерности

Для начала упорядочим некоторые понятия, с которыми мы имели дело раньше и с теми, которые встретятся нам в будущем. К таким физическим понятиям относятся: наименование, название физической величины, в выбранной системе единиц, размерность, обозначение и определяющее уравнение.
Разберём это на некоторых примерах взятых из раздела «Механика» и знакомых нам. Для краткости сведём всё это в таблицу.

Это простые и часто встречающиеся понятия, причём название физической величины вытекает из определяющего её уравнения. Но ряд физических величин имеют «клички». Название величины не следует прямо, как прежде, из определяющего уравнения.

Например.

Наименование величины – сила. Название единицы измерения – Ньютон. Вспомним материал 7-го класса. Что такое Ньютон? Это такая сила, которая за 1 секунду изменяет скорость тела массой 1 кг на 1 метр в секунду. Примером одной из сил является вес тела. Мы знаем, что вес тела равен Р = mg, где m – масса тела , а g – ускорение свободного падения.
Из физики 8-го класса мы знаем, что ускорение измеряется в м/с². Значит, если речь идёт о весе тела Р, то он равен произведению массы тела на ускорение. Отсюда можно сделать вывод, что и любая другая сила F равна произведению массы тела на полученное в результате действия силы ускорение, т.е. F = ma.

Обратим внимание на то, что, если масса тела равна 1 кг и полученное ускорение равно 1 м/с², то и сила будет равна единице силы, то есть 1-му Ньютону. Тогда размерность Ньютона будет
[ F ] = кг = кг м /с² = M L T^–2. Заметим, что определяющим уравнением будет уравнение F = ma. Обратите внимание, что название единицы силы не кг м/с², а Ньютон – «кличка». Просто громоздкое наименование единицы заменили на «Ньютон» в честь знаменитого английского учёного Ньютона. Таких имён «кличек» которые носят единицы измерения физических величин много. В механике это Джоуль, Герц, Ватт.
Каждой такой единице присуща ей размерность, которая показывает, из каких основных единиц системы СИ «приготовлена», «сделана» такая единица, в какой степени входят в состав этой величины основные единицы и где они находятся в числителе или в знаменателе.
Что такое определяющее уравнение? Это уравнение, которое следует из определения физической величины.

Например.

1. Скорость – это физическая величина равная отношению пути, пройденного телом, ко времени за которое этот путь пройден. Отсюда следует определяющее уравнение V = S/t.
2. Работа – это физическая величина равная произведению силы, приложенной к телу на путь, который прошло тело под действием этой силы. Отсюда следует определяющее уравнение: A = F S.
До введения интернациональной системы единиц (СИ), существовал несколько систем единиц.
Так в одной из них основными единицами были: единица массы – грамм; единица длины – сантиметр; единица времени – секунда. Эта система единиц называлась СГС.
Были и другие системы единиц. Но масса есть масса в любой системе. Будь она в кг, или в г, или в мг. Поэтому, независимо от выбранной системы единиц, принято размерность выражать в символах. Масса – М. Длина – L. Время – Т.

В таблице выше соответствующая колонка называется просто размерность.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить размерность Джоуля. Определяющее уравнение A = F S
2. Определить размерность Ватта. Определяющее уравнение N = A / t
3. Определить размерность Герца. Определяющее уравнение = 1 / Т
4. Определить размерность Паскаля. Определяющее уравнение р = F/S
5. Определить размерность момента силы. Определяющее уравнение М = F L.

2. Проверка правильности решения задач по размерности

«Видкиль воно взялось и на щоб воно сдалось» Украинская пословица.

Откуда взялась размерность мы рассмотрели. Рассмотрим где, и как она может быть применена и её особенности.
Рассмотрим решение нескольких задач:
1. Определить расстояние между Землёй и Солнцем, если луч света, двигаясь со скоростью 3 х 108 м/с, проходит это расстояние примерно за 8,5 минут?
2. Какое расстояние по прямой может пройти ракета за 1 минуту, двигаясь от места старта с ускорением 20 м/с²?
3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, пошел на обгон и в течение 10 секунд двигался с ускорением 2 м/с². Какой путь прошел автомобиль за это время?
4. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, перед поворотом в течение 10 секунд двигался равнозамедленно с ускорением – 2 м/с². Какой путь прошел автомобиль за это время?

Решения:

Проанализируем решение этих задач.

1. Что общего было в этих задачах? (Определялся путь S)
2. В чём различие в этих задачах? (В каждой задаче описывается различное движение, а значит, применяются различные уравнения для определения пути)

То есть различие в том, что одна и та же величина (путь) определяется через различные величины. В № 1 через V и t. В № 2 через а и t. В № 3 и № 4 через V_о, a, t.
Эти величины имеют различные размерности, а в результате произведенных действий получается во всех случаях одна и та же размерность – метр.
Произведём, не используя модулей этих величин, предлагаемые действия только с размерностями.

1. S = V t = 2. S = . 3.4. S = V0t ± = ± =L±L= L

Отсюда следует закономерность: В правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.
Эту закономерность можно применить для проверки правильности решения задач.
Допустим, задачу №3 решили с ошибкой (она очень часто встречается), записав
уравнение так S = V_о + at²/2 , тогда S = 15 + 2 х 10² /2 = 65 (м). Так как правильный ответ неизвестен, то неясно, как проверить правильность решения, и найти причину ошибки.
То ли ошибка в вычислениях, то ли в преобразованиях, то ли в неправильном написании правильно выбранного уравнения?
Проверяя правильность решения по наименованию можно найти причину ошибки.
Как это сделать? Вместо модулей величин подставить размерности величин и сравнить размерности левой и правой части уравнения. (использовать, указанную выше, закономерность )

Отсюда следует, L =/= 1 + Т. Задача решена неверно. Где ошибка? В правой части уравнение представляет двучлен. Одна его часть имеет размерность L, а другая L/T. Как из этого выражения L/T получить L? Нужно умножить его на Т. Тогда получим размерность первого члена L. Первый член и второй член правой части уравнения будут иметь размерность L, то есть L + L = L. Левая и правая части будут иметь одинаковую размерность. Значит, первый член правой части уравнения должен иметь вид не V_о, а V_о t.
Теперь, предположим, решающий допустил другую ошибку. В уравнении S = V_оt +at²/2 вместо знака «+» поставил знак «–». Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку? Решение задачи № 4 говорит о том, что задача решена правильно. L = L – L = L, но модуль величины другой.
Отсюда следует второй вывод: метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.
Решим несколько задач по кинематике и сделаем проверку их правильности решения, применив метод размерности.

Задача № 1.

За время равное 2 с, тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.

Сделаем проверку решения методом размерности.
Размерности левой и правой части уравнения совпадают, значит, задача решена правильно.

Задача №2.

Тело, двигаясь от остановки равноускоренно, за первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала движения?

Задача № 3. Тело, двигаясь равноускоренно, за 5 секунд движения прошло путь 100 м , а за 10 сек. – 300 м. Определить начальную скорость движения тела.

Мы проделали громоздкие преобразования. Не допустили ли мы ошибку? Воспользуемся знанием закономерности размерности и проверим свою работу.
L T–1 = Следовательно, задача решена верно.
Подставим числовое значение входящих величин и получим числовой ответ задачи.

V0 = (м/с)

Задача №4. Во сколько раз скорость пули при вылете её из ствола винтовки больше скорости этой пули при прохождении ею 1/3 ствола?