Цель урока:
- Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении
тригонометрических уравнений:
отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий.
- Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
- Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести
отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.
Ход урока
Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).
| Значения
а |
Уравнение | Формулы решения уравнений |
 |
sinx=a |
 |
 |
sinx=a | уравнение решений не имеет |
| а=0 | sinx=0 |
 |
| а=1 | sinx= 1 |
 |
| а= -1 | sinx= -1 |
 |
 |
cosx=a |
 |
 |
cosx=a | уравнение решений не имеет |
| а=0 | cosx=0 |
 |
| а=1 | cosx= 1 |
 |
| а= -1 | cosx= -1 |
 |
 |
tgx=a |
 |
|
|
ctgx=a |
 |
При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.
Решение уравнений.
Задача. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе
Далее имеем:
Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту
часть окружности, где выполняется неравенство
(рис. 1)
Рис. 1
Получаем, что
не может быть
решением исходного уравнения.
Ответ:
В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.
В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.
Задача 2. Решить уравнение.
Решение. Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.
Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)
Рис. 2
Из рисунка хорошо видно, что
– решение исходного уравнения.
Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить,
используя систему
c нанесением
соответствующих точек на окружности.
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение
3sin2x = 10 cos2x – 2/
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.
В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение
6sinxcosx = 10cos2x – sin2x – cos2x, т.е. sin2x – 9cos2x+ 6sinxcosx = 0
, т.к. в противном случае
sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых
одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin2x+ cos2x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos2x. Получим tg2x+ 6tgx – 9 = 0/
Пусть tgx = t, тогда t2+ 6t – 9 = 0, t1 = 2,t2 = –8.
tgx = 2 или tg = –8;
Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка
, и по одной точке слева и
справа от него.
1)
.
Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=1, то x=arctg2+
.
Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=2, то
. Ясно,
что данный корень не принадлежит нашему промежутку.
Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.
Если к = –1, получим
– не принадлежит промежутку
.
Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.
Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку
Это
2)
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2,
а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не
принадлежащие промежутку
. Лишь
при п=1 получим
,
принадлежащий этому промежутку.
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение 6sin2x+2sin22x=5
и указать корни, принадлежащие промежутку
.
Решение. Приведем уравнение 6sin2x+2sin22x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.
.
Откуда cos2x
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.
При к=2 получим
, при
к=3 получим
.
Ответ:
Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.
Задача 5. Решить уравнение
Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.
, 0<k<5,
.
Так как к – целое число, то к=1. Тогда
х =
– решение исходного уравнения.
Рассмотрим вторую систему совокупности
Если n=0, то
. При
п = -1; -2;… решений не будет.
Если п=1,
– решение
системы и, следовательно, исходного уравнения.
Если п=2, то
При
решений не будет.
Ответ:
Задача 6. Найти все корни уравнения
на отрезке
Решение. Решение уравнения высвечивается на экране. По отдельным этапам решения задаются вопросы учителем в устной форме или тексты вопросов даются на экране.
Какой системе равносильно исходное уравнение?
Какие преобразования напрашиваются для уравнения?
В правой и левой части уравнения воспользоваться формулой двойного угла. Записать систему в виде:
Не совсем очевидно, но если выполнить группировку в левой части уравнения, то получим произведение двух множителей.
Совокупность, каких двух систем получили после преобразования уравнения?
Первая система решений не имеет, так как
В каком виде запишем решение уравнения второй системы совокупности?
Поскольку решение исходного уравнения нужно найти на отрезке, решение
уравнения
запишем в виде
совокупности
Какие корни из полученной совокупности принадлежат рассматриваемому промежутку?
При m=0
, поэтому
ни при каком
Проиллюстрируем полученные выводы на тригонометрическом круге (рис. 3)
Рис. 3
Ответ:
Самостоятельная работа.
1. Решить уравнение
cos3x=cos5x+cosx, если
Ответ:
2. Решить уравнение
Ответ:
Указание. При решении уравнения после возведения в квадрат и замены переменной отбор корней можно осуществить в квадратном уравнении.
3. Решить уравнение
Ответ:
Домашнее задание.
Решить уравнение.
1.
2.
3.
Необязательное задание.
Решить уравнение
Комментарий для учителя. Самостоятельная работа носит обучающий характер. Хорошие оценки следует выставить в журнал.
Материал рассчитан на два сдвоенных урока.
Литература:
- Кравцев С.В. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: “Экзамен”, 2005.
- Назаретов А.П., Пигарев Б.П., Садовничая И.В., Симонов А.А. Математика: Задачи и варианты их решения на вступительных экзаменах в московских вузах (экономические специальности). – М.: УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2001.
- Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство “Экзамен”, 2003. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.– Ростов-на-Дону: Легион, 2007.