Различные способы решения квадратных уравнений

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Систематизировать различные способы решения квадратных уравнений, дать представление учащимся о важных вехах истории развития математики;
  2. Обучать поискам нескольких способов решения одной задачи и умению выбирать из них наиболее оптимальный;
  3. Развивать навыки работы с дополнительной литературой, историческим материалом;
  4. Показать многообразие и красоту математических решений.

Тип урока: урок систематизации и обобщения.

Ход урока

Устная работа:

  1. Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответьте на вопросы:

    2. а) Сколько корней имеет уравнение?

    б) Рациональными или иррациональными являются его корни?

    в) Каковы знаки корней?

    г) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?

    3 x2 + 7х +2 =0; 3 – 8у + 2 = 0; 5 x2 – 3х +2 =0; 2 x2 – 10х – 5 =0.

  2. Решите квадратное уравнение подбором корней:

x2 + 9х +20 =0; x2 – 17х + 30 =0; x2 + 7х – 60=0; x2 – 11х + 24 =0.

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрим различные способы решения квадратных уравнений в разные исторические эпохи на примере одной задачи-решения квадратного уравнения.

Ученик 1: Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи (XX в. до н.э.), в трудах древнегреческого математика Евклида (III в. до н. э), в древних китайских и японских трактатах. Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом: квадрат и 10 его корней равны 39.

Для решения уравнения x2 + 10х = 39 поступали следующим образом. Пусть АВ = х, ВС=5, ( 10:2). На стороне АС = АВ + ВС строился квадрат, который разбивался на четыре части. Очевидно, что сумма площадей трех частей равна x2 + 10х или 39. Если к этой площади прибавить площадь четвертой части, то 39+25=64 – площадь всего квадрата. Но, эта же площадь равна = 64, х + 5 = 8, х = 3. Таким образом, число 3 является корнем квадратного уравнения, так как отрицательных чисел тогда не знали.

Ученик 2: А вот как решал эту же задачу ал-Хорезми в 825 году. Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – четыре прямоугольника высотой 10/4. В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной 10/4. Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

x2 + 4 · 10/4 · х + = x2 + 10х + · 4.

По условию x2 + 10х = 39, т.е. площадь получившегося большого квадрата равна

39 + + · 4 = 39 + 25 = 64. Значит, его сторона равна 8, тогда

х + 2· 10/4 = 8, х = 3 (Ал-Хорезми не признавал отрицательных чисел).

Ученик 3: В III в. н. э. квадратное уравнение x2 – 20х + 96 = 0 решал великий древнегреческий математик Диофант.

Пусть сумма двух чисел 20, а произведение 96.Допустим, что разность этих чисел 2z. Так как их сумма 20, то если разделить ее пополам, каждая из полученных делением частей будет равна половине суммы, то есть 10. И если половину разности – z прибавить к одной из полученных от деления половине и вычесть из другой, то опять получается сумма 20 и разность 2z.

Пусть большее из искомых чисел равно z + 10, тогда меньшее — 10–z. Их сумма 20, а разность 2z. Произведение искомых чисел равно 96. Таким образом,

(10 + z)(10 –z) = 96, 100 – = 96, = 4, z = 2. Следовательно, большее число равно 12, а меньшее 8.

Давайте пробуем решить квадратное уравнение x2 + 10х = 39 методом Диофанта.

  1. Пусть x2 + 10х – 39 =0;
  2. Положим разность искомых чисел 2z;
  3. –5 — половина коэффициента при х с противоположным знаком;
  4. Положим х1 = z – 5, х2 = z + 5. Тогда (z – 5)(z + 5) = 39, – 25 = 39,

= 64, z =8.

Отсюда, х1 = 8–5=3, х2 = 8+5=13. Полученные корни 13 и 3 “устроили” бы Диофанта, т.к. оба натуральные. Но, используя теорему Виета, мы видим, что х1·х2 = –39, а это означает, что корни должны быть разного знака. Значит, не каждое уравнение можно решить этим методом.

Ученик 4: Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне и египтяне (2 тыс. лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений решали и древнегреческие математики, используя геометрический подход. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в. н. э.). В своем трактате хорезмский тематик Мухаммед ал-Хорезми в 825 г. Разъясняет приемы решения квадратных уравнений. После трудов немецкого математика М. Штифеля (1487 – 1567 гг.), нидерландца А. Жирара (1595 – 1632 гг.), Р.Декарта и Н.Ньютона, способ решения квадратных уравнений принял современный вид. А в 1591 г. Ф.Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Ученик 5: Франсуа Виет родился в 1540 г. Во Франции, в Фонтене – ле – Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 г. по 1584 г. Был советником короля Георга III и Георга IV. Но, все свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г., после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды как древних так и современных ему математиков и создал по существу новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. После открытия Виета, стало возможным записывать правила в виде формул.

Учитель: Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений. Решим квадратное уравнение x2 + 10х – 39 =0 современными способами.

x2+ 10х – 39 = 0,
а = 1, b = 10, с = –39.
D = – 4ac; D = 100 + 156 = 256, D > 0.

Х1,2 = (; Х1 = (-10 + 16)/2 = 3; Х2 = (-10 - 16)/2 = -13.

Ответ: -13; 3.

Ученик 6: Следует отметить, что второй коэффициент в данном уравнении четный, что позволяет использовать иную формулу для решения данного уравнения.

x2 + 10х – 39 =0 ,
а = 1, k= 5, с = –39.
D1 = – ac; D1 = 25 + 39 = 64, D1> 0.

Х1,2 =( ; Х1 = (-5 + 8)/1 = 3; Х2 = (-5 - 8)/1 = -13.

Ответ: -13; 3.

Ученик 7: Данное уравнение можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета.

x2 + 10х – 39 = 0,

Х1 = 3, х2 = -13.

Ответ: -13; 3.

Учитель: Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений?

Ученик: Квадратные уравнения можно решать, используя свойства “суммы коэффициентов”. Если a + b + c = 0, х1 = 1, х2 = c/а; или если a – b – c = 0, то х1 = –1, х2 = – с/а. Но, данное квадратное уравнение нельзя решить, используя эти соотношения. Например, изменим в рассмотренном уравнении свободный член:

x2 + 10х – 11 = 0;
a = 1; b = 10; с = –11; 1 + 10 – 11 = 0;
х1 = 1; х2 = –11.

Учитель: Приведите примеры уравнений, решаемых с применением второго утверждения.

Например: –10 x2 + 29х + 39 =0; x2– 2005х – 2006 = 0.

Учитель: В учебнике мы встречаем задания, где четко обозначено, как решить квадратное уравнение. В предложенных вам задачах вы не только решите уравнение, но и узнаете интересные факты.

1.Известно, что учет населения проводился в Египте и в Китае еще до нашей эры. Решив квадратное уравнение 4x2 – 24х + 39 =0 , вы определите в каком это было тысячелетии до н.э.

2. На основе статистических данных можно выделить регионы с максимальным сбросом загрязненных вод: это Краснодарский край и Москва. Сколько процентов общего количества загрязненных вод дают эти регионы, вы узнаете, решив уравнение x2 – 19х + 88 =0 .

3. Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и других материалов. Исторические памятники Греции и Рима, простояв тысячелетия, за последние годы разрушаются прямо на глазах. “Мировой рекорд” принадлежит одному шотландскому городку, где 10 апреля 1974 года выпал дождь, скорее напоминающий столовый уксус, чем воду. Устно решите уравнения, найдите верный ответ и соответствующую ему букву и прочитайте название этого “знаменитого” городка. (Питлохри).

x2= 0,49

Корней нет

И

x2+ 16 = 0

28

Х

2 x2 - 4 = 0

16

О

– 6 = 0

1

И

– 8 = 0

–2; –8

Р

= 5

Т

4 x2 - 4 = 0

36

Л

= 9

0,7

П

В заключение, вам предлагается выполнить самостоятельную работу:

Вариант 1

1.Решите уравнение:

а) 2х – x2= 0; б) x2– 16 = 0;

в)3 x2 + 5х – 2 = 0; г) x2– 3х – 1 =0.

2. Решите уравнение:

а) (2х – 4)(х – 3) = 5(6 – 2х);

б) x4– 13 + 36 = 0.

3. Сумма двух последовательных натуральных чисел на 71 меньше их произведения. Найдите эти числа.

4. Один из корней уравнения x2 + кх + 45 = 0 равен 9. Найдите другой корень и коэффициент к.

 Вариант 3

1.Решите уравнение:

а) 7х – 2 x2 = 0; б) 3 x2 – 75 = 0;

в)5 x2 – 11х + 2 =0; г) x2+ 2х – 2 =0.

2. Решите уравнение:

а) (3х – 1)(4х + 6) = 2(6х – 3);

б) x4+ 15 x2 + 36 = 0.

3. Существуют ли такие значения а, при которых значения двучленов

1 – 1/4· и 0,5а – 1 равны?

4. Один из корней уравнения x2 – 16х + q = 0 равен 12. Найдите другой корень и свободный член q.
Вариант 2

1.Решите уравнение:

а) 2 x2 = 0; б) 5 x2 – 10 = 0;

в) x2– 8х + 7 =0; г) 9 x2 – 6х + 1 =0.

2. Решите уравнение:

а) (3х – 1)(2х + 6) = 8(2х + 3);

б) x4– 5 x2 – 36 = 0.

3. Существуют ли такие значения х, при которых значения двучленов

x2+ 2х и 0,8х – 5,8 равны?

4. Один из корней уравнения x2 + рх – 20 = 0 равен -5. Найдите другой корень и коэффициент р.

 Вариант 4

1.Решите уравнение:

а) 4 x2 = 8х; б) x2– 2 = 0;

в) 4 x2 + х – 3 =0; г) 3 x2 – 2х + 4 =0.

2. Решите уравнение:

а) (4х – 1)(х + 4) = 2(3х – 2);

б) x4+ 6 x2 – 16 = 0.

3. Найдите три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 50.

4. Один из корней уравнения x2 – 8х + q = 0 равен -10. Найдите другой корень и коэффициент q.

Учитель: Подведем итог. На уроке мы рассмотрели различные способы решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором держится алгебра. Известен способ решения даже с помощью циркуля и линейки. С этим методом можно познакомиться на занятиях факультатива.

Литература:

  1. Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко –генетического метода/Ю.А. Дробышев // Математика школе.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс в двух частях. Ч.1./А.Г. Мордкович: учеб. для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд. – М.: немозина,2002.
  3. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс в двух частях. Ч.2./А.Г. Мордкович: задачник для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд. – М.: немозина,2002.
  4. С.А. Литвинова, и др. За страницами учебника математики 8-11 классы. – 2-е изд., дополненное – М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-С.76-82.
  5. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/ Под ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+,2000.
  6. Юшкевич А.П.История математики в средние века/А.П.Юшкевич. – М.: Физматгиз,1961. – С.194-195.