Позиционные системы счисления. Перевод чисел в десятичную систему счисления

ЦЕЛИ УРОКА: Дать понятие о позиционных СС. Выработать навыки перевода чисел в десятичную СС.

ЗАДАЧИ УРОКА.

Обучающая: Познакомить с позиционными СС, научить переводить числа в позиционную СС.

Развивающая: Развивать внимание, умение анализировать, обобщать.

Воспитательная: воспитывать интерес к информатике через исторические факты.

ОБОРУДОВАНИЕ: компьютер, проектор, презентация, карточки с проверочной работой, бланки ЕГЭ.

ХОД УРОКА.

1. Оргмомент. Приветствие, проверка подготовки к уроку, психологическая подготовка.

2. Проверка д/з.

Мы изучаем раздел информатики “Представление информации с помощью знаковых систем”.

Рассматриваем подтему “Представление числовой информации с помощью СС”.

Тема нашего прошлого урока “Непозиционные СС”, мы рассмотрели их на примере Римской СС.

а) И начнём с небольшого опроса: (двоичный опрос), обобщение знаний, формирование целостности знаний.

Учитель читает высказывания, ученики ставят “1”, если считают высказывание истинным, ставят “0”, если считают высказывание ложным

- каждая знаковая система строится на основе определённого алфавита; (1)

- каждая цифра машинного двоичного кода несёт количество информации, равное одному байту; (0)

- в позиционных СС количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе; (1)

- десятичную СС можно отнести к анатомической СС; (1)

- все системы счисления делятся на три большие группы: позиционные, непозиционные и полупозиционные; (0)

- римская СС является непозиционной СС; (1)

- в римской СС легко записывать дробные и отрицательные числа и выполнять арифметические операции; (0)

- 2-я, 8-я, 16-я СС относятся к группе машинных языков. (1)

б) письменная проверочная работа. (задания на карточках. Приложение1)

А сейчас посмотрите на доску. На доске написаны ответы двоичного опроса.

10110101

Можно сказать, что это последовательность символов? Информация записана на машинном языке, это информация, которую поймёт компьютер. Можно даже посчитать количество этой информации. Мы тоже с вами можем понимать машинный язык, если научимся переводить числа в 10-ю СС.

Давайте зададимся целью, научиться сегодня на уроке хотя бы немного понимать машинный язык.

3. Постановка цели урока: Вы должны знать о позиционных СС, как о системе: что общего у всех позиционных СС, по каким правилам они строятся. Также вы должны научиться переводить числа в десятичную СС, как раз для того, чтобы понимать машинный язык.

(Приложение 2, слайд 1)

4. Теоретическая часть.

Эпиграф урока (Приложение 2, слайд 2)

В позиционных СС количественное значение цифры зависит от её позиции в числе.

Мы будем говорить о 10-й, 2-й, 8-й, 16-й.

Каждая позиционная СС имеет определённый алфавит цифр и основание.

В позиционных СС основание системы равно количеству цифр (знаков в её алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа. (Приложение 2, слайд 3)

Как же в этих системах счисления будут строиться ряды чисел? (Приложение 2, слайд 4), продолжить ряды чисел.

Что означает запись числа в той или иной СС?

Рассмотрим на примере 10-й СС.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555.

5 – пять единиц.

5 – пять десятков.

5 – 5 сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом.

В десятичной СС цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещённая на одну позицию влево, - количество десятков, ещё левее – сотен, затем тысяч и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свёрнутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развёрнутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так в развёрнутой форме записи числа 555 в десятичной СС будет выглядеть следующим образом:

555₁₀ = 5 · 100 + 5 · 10 + 5 · 1 = 5 · 10² + 5 · 10¹ + 5 · 10⁰.

Как видно из примера, число в позиционной СС записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания.

555,55₁₀ = 5 · 10² + 5 · 10¹ + 5 · 10⁰ + 5 · 10^-1 + 5 · 10^-2.

Убедимся, что значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа различаются в 10 раз:

555,55₁₀ · 10 = 5555,5₁₀

555,55₁₀ : 10 = 55,555₁₀

Двоичная СС:

10110101₂ – свёрнутая форма числа.

В числе 1 единица, 0 десятков, 1 сотня, 0 тысяч, 1 десяток тысяч, 1 сотня тысяч, 0 миллионов, 1 десяток миллионов.

Но мы хотим перейти к десятичному эквиваленту, а что в двоичной СС означают 10, 100, 1000 и т.д.? (Приложение 2, слайд 4 с заполненными рядами)

10110101₂ = (1 · 10000000 +0 · 1000000 +1 · 100000 +1 · 10000 + 0 · 1000 +1 · 100 +0 · 10 +1 · 1)₂ = (1 · 128 + 0 · 64 + 1 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 +0 · 2 +1 · 1)₁₀ = (1 · 2⁷ + 0 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² +0 · 2¹ +1 · 2⁰)₁₀

Аналогично, восьмеричная СС:

265₈ = (2 · 8² + 6 · 8¹ + 5 · 8⁰ )₁₀

Аналогично, шестнадцатеричная СС:

B5₁₆ = (11 · 16¹ + 10 · 16⁰ )₁₀

А если мы просчитаем ряды, то получим перевод чисел в десятичную СС:

10110101₂ = 181₁₀

265₈ = 181₁₀

B5₁₆ = 181₁₀

Получилось, что во всех трёх случаях мы работали с одним и тем же числом, которое, как выяснилось можно записать по-разному. Как это может быть, и что это значит?

Мы привыкли к тому, что один и тот же предмет можно выразить на разных естественных языках по-разному. Здесь тот же случай. Только системы счисления – не естественные языки, а формальные. И работаем мы не с предметами, а с числами.

Можем мы теперь ответить на вопрос, который поставили перед собой в начале урока?

Что для компьютера 10110101? Это число 181.

В будущем мы с вами узнаем, что с помощью этой последовательности можно закодировать не только число 181, но и другую информацию.

Формула (Приложение 2, слайд 5)

Т.о., в СС с основанием q числа в развёрнутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1:

A _q= a_n-1 · q^n-1 + a_n-2 · q^n-2 + … + a₀ · q⁰ + … + a_-1 · q^-1 + a_-m · q^-m

Где a_n-1, a_n-2, …,a_0, …, a_-1, a_-m – цифры числа

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной СС.

Базис СС (Приложение 2, слайд 6)

Правило перевода в десятичную СС:

1. Пронумеруем цифры в изначальной записи числа справа налево, начиная с нуля.
2. Умножим каждое число на соответствующую степень основания.
3. Складываем получившиеся произведения.

Перевод дробных чисел:

1011010,1₂ = (1 · 2⁶ + 0 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ +0 · 2⁰ +1 · 2^-1)₁₀ = 90,5₁₀

Во сколько раз это число меньше числа 10110101₂?

5. Проверка первичного понимания (Приложение 2,слайд 7)

- В какой системе счисления 7+2=11?

- Во сколько раз увеличатся числа 10,1₁₀, 10,1₂, 64,5₈, 39,Р₁₆ при переносе запятой на один знак вправо?

- При переносе запятой на два знака вправо число 11,11_х увеличилось в 4 раза. Чему равно х?

- Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записаны числа 23? 67?

- Запишите в системе счисления с основанием 240 числа 241, 242, 243, 250, 251.

- В каких системах счисления 10 является нечетным числом?

6. Закрепление. В ЕГЭ тоже есть задачи на перевод чисел. Раздаю бланки с ЕГЭ, ученики выполняют один пример из ЕГЭ на перевод чисел.

ЕГЭ, работа в группах, самоконтроль.

7. Домашнее задание (раздаю на карточках, Приложение 3).

Составить программу на Паскале перевода чисел из любой СС в десятичную.

Учитель показывает примеры программ-переводчиков.

8. Оценки.

9. Итог урока.

Литература

1. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов / Н.Д.Угринович. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 512 с.: ил.