Открытый урок в 7-м классе по теме "Формулы сокращенного умножения"

Разделы: Математика

Тип урока: Защита проектов, с элементами исследования.

Цели урока:

  1. Найти способы доказательства формул сокращённого умножения, существующие в древности.
  2. Применив метод обобщения, выйти к новым задачам тождественных преобразований.

Задачи:

  1. Доказать формулы сокращённого умножения геометрическим методом.
  2. Найти приём возведения в третью, четвёртую и более высокие степени суммы двух, трёх, четырёх и более чисел.

Гипотезы: Тождественные преобразования были в Египте, в Вавилоне и в Греции.

Ход урока:

Сегодня на уроке мы ещё раз вернёмся к формулам сокращённого умножения. Это тема, где есть над чем поразмыслить, т. к. ни у древних Египтян, ни у древних вавилонян в алгебре не было букв. Видимо, не было у них и тождественных преобразований – ведь преобразовывать было нечего! Или были? Буквами для обозначения чисел не пользовались и греческие учёные. Неужели и у них не было тождественных преобразований? Как они поступали, если сумму двух чисел следовало умножить на разность? Заменяли они это произведение на разность квадратов или нет?

Вопросов набралось немало, на некоторые из них мы с Вами попытаемся ответить на сегодняшнем уроке.

Итак, слово предоставляем I группе.

Цель нашей проектной работы:

Найти другой способ доказательства формулы сокращённого умножения .

Девизом к нашему проекту могут быть слова Гнеденко Б.В: «И академики в своё время сидели за партами и тоже вычисляли объёмы и находили, чему равно».

Первым с доказательством этой формулы столкнулся древнегреческий учёный Евклид, живущий в Александрии в III веке до н.э., так как в те времена не было букв, он пользовался геометрическим способом доказательства формулы. Поэтому второй способ доказательства формулы будет геометрическим и, следовательно, нам понадобятся геометрические фигуры. В геометрической алгебре числа (рациональные и иррациональные) аналогичны отрезкам прямой, а их произведения (в нашем случае квадрат) аналогично площади квадрата или прямоугольника.

Евклид был автором книги « Начало», в современном издании эта книга имеет более 500 страниц. У Евклида теоремы называются предложениями. Предложение 4 звучит так:

Если отрезок ( на рис. отрезок АВ ) как либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всём отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка

Предложение, аналогично равенству: .

Проектная работа II группы.

Цель нашего проекта, доказать формулу сокращённого умножения, другим способом. Из уроков алгебры мы знаем, что произведение суммы чисел на их разность равна . Но каким способом доказывали эту формулу наши предки? А как они это делали, мы сейчас покажем. Возьмём прямоугольник со сторонами (а + в) и (а – в)

 

Его площадь равна (а + в)·(а – в) (рис. 1.). Этот прямоугольник разрежем на два прямоугольника со сторонами в и (а – в) и а и (а – в). Теперь эти прямоугольники приложим, друг к другу, как показано на рис 2. Достроим получившуюся фигуру до квадрата со стороной а. Чтобы узнать площадь исходного прямоугольника, надо из площади квадрата со стороной а вычесть площадь квадрата со стороной в. Итак, формула сокращённого умножения (а + в)·(а - в) = доказана геометрическим способом.

Своё выступление мы хотим закончить синквейном:

Формулы!
Сложные, замечательные,
Учат, занимают, развивают.
Формулы – основа всей алгебры!

Проект III группы

Цель проекта: научиться возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и т.д. слагаемых.

На уроках алгебры нам приходилось это делать, разбивая сумму на два слагаемых.

Это довольно трудоёмкий процесс, поэтому появилась идея отыскать формулу, позволяющую возводить в квадрат сумму трёх и более слагаемых, для этого мы обратились к геометрическому методу

Построили квадрат, на двух смежных сторонах квадрата отметили две точки, которые разделили сторону квадрата на отрезки, длиной а, в, с (рис.4). Через точки деления провели отрезки, параллельные сторонам квадрата. Квадрат разбился на части: три квадрата и шесть прямоугольников. По свойству площадей имеем, что площадь первоначального квадрата равна сумме площадей, получившихся частей. Имеем:

Аналогично, построим квадрат, на смежных сторонах квадрата отметим три точки, которые разделят стороны квадрата на отрезки длиной а, в, с, d .Через эти точки деления проведём отрезки, параллельные сторонам квадрата. Квадрат разбился на части: четыре квадрата и двенадцать прямоугольников (рис.5).

Имеем, т. е. квадрат суммы трёх, четырёх и более чисел равен сумме квадратов каждого из этих чисел плюс удвоенные произведения каждого из этих чисел на числа, следующие за ним.

Например:

Мы считаем, что знание этой формулы пригодится нам при дальнейшем изучении алгебры в старших классах.

Проект IV группы.

Цель проекта: научиться возводить двучлен в любую натуральную степень.

1) Возведём двучлен (а + в) во вторую и третью степени. (Эти формулы нам известны из уроков алгебры)

•

•

2) Возведём двучлен (а + в ) в четвёртую и пятую степени алгебраическим способом.

•

•

3) Понаблюдаем за степенями:

• Степень каждого одночлена равна показателю степени, в которую мы возводили двучлен.

• Степень первого множителя в каждой строке уменьшается от наибольшей до нулевой, степень второго множителя наоборот увеличивается от нулевой до наибольшей.

4) Теперь нам известны степени одночленов для любой натуральной степени, но коэффициенты остаются неизвестными. Понаблюдаем за коэффициентами одночленов. Для этого возведём двучлен в нулевую и первую степени:

•

•

•

•

•

•

5) Мы замечаем, что первый и последний одночлен всегда имеет коэффициент 1. Мы записали коэффициенты в виде треугольника, при этом коэффициенты первого и последнего одночленов образуют боковые стороны треугольника:

6) Нам известны боковые коэффициенты, но неизвестны коэффициенты находящиеся внутри треугольника. Понаблюдаем за ними, и мы догадались, чтобы получить внутренние коэффициенты необходимо сложить два вышестоящих над ним слева и справа числа. Теперь мы с лёгкостью можем вычислить шестую степень двучлена

( а + в) :

Треугольник, составленный по описанному правилу, называют треугольником Паскаля, по имени хорошо известного вам из учебника физики французского философа, писателя, физика и математика Блеза Паскаля (1623-1662), современника Декарта и Ферма. Треугольник Паскаля обладает массой интереснейших свойств, главное из которых мы уже заметили: не выполняя самого умножения с его помощью просто, быстро и точно можно возводить в любую степень двучлен (а + в). Правда коэффициенты разложения мы находим рекуррентно, т.е. для того чтобы узнать коэффициенты разложения бинома седьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы знать для шестой - сначала найти их для пятой и так далее до самого начала.

V группа. Группа теоретиков.

Цель работы группы теоретиков: составить практические задания на применение формул сокращённого умножения, рассмотренных сегодня на уроке.

Обязательный уровень

1. Используя формулы сокращённого умножения, вычисли:

  1. 212
  2. 392
  3. 1012
  4. 992
  5. 10,12
  6. 9,92
  7. 19 · 21
  8. 352 - 342
  9. 132 + 2 ·13 · 7 + 72

Дополнительная часть.

  1. 1322
  2. (в2+ 2ав + 6х)2
  3. (х2 + 2а)4
  4. (5а + ху +1)6
  5. 822
  6. 632
  7. (х2 + 2а + 3с + в)2
  8. (5ав + 7вс)5

Итог урока.

Сегодня на уроке мы доказали известные нам формулы сокращённого умножения, используя свойства площадей геометрических фигур, а также рассмотрели много интересного материала, который будет нам полезен при дальнейшем изучении математики. Как говорил Декарт: «Особенно мне нравилась математика верностью и очевидностью своих рассуждений» что и подтвердил наш урок.

Домашняя работа:

Выполнить задание группы теоретиков (текст работы получает каждый ученик).