Изучение нового материала на уроке геометрии по теме "Конус". 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Изучение математики  в школе направлено на достижение, в первую очередь, целей интеллектуального развития учащихся, формирования качеств мышления, характерной для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.
Основная цель современной школы создать систему обучения, которая мотивирует образовательные потребности каждого ученика, обеспечивает  и при этом учитывает индивидуальные возможности.

Знания учащихся, как правило, находятся в прямой зависимости от объема и систематичности, и самостоятельной деятельности. В связи с этим А.Дистервег (1790-1866, нем., педагог-демократ, последователь Песталоцци) писал, что «развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны и сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение».
Для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, необходимо организовать эти поиски, управлять учащимися, развивать их познавательную деятельность.

Как известно, математическое мышление имеет пять подструктур:

  • алгебраическое
  • топологическое
  • порядковое
  • проективное
  • метрическое

Каждый ученик способен мыслить, понимать, рассуждать согласно доминирующего у него кластера мышления.

Наша задача развить математическое мышление по разным направлениям. В этом помогает рефлексивная работа в группах. Совместная деятельность приводит к верному решению, прочному усвоению материала -  и, самое главное, происходит осмысление и понимание решаемой задачи.

Китайская мудрость гласит «Я слышу - я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю – я усваиваю»

Тема урока: «Конус» (2 ч., 11 класс)

Цель урока:

  • Ввести понятия конической поверхности, конуса, элементов конуса (боковая поверхность, основание, вершина, образующая, ось, высота), понятие усеченного конуса;
  • Вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;
  • Учить обучающихся решать задачи по этой теме.
  • Содействовать творческому восприятию учащимися учебного материала и их желание самосовершенствоваться.
  • Воспитывать организованность, дисциплинированность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.

Тип урока:  изучение нового материала.

Оборудование урока:  интерактивная доска, таблицы, модели конусов,  материал для изготовления моделей: спицы, модель плоскости (пенопласт), бумага, клей, ножницы, циркуль, транспортир, линейка.

Форма организации деятельности учащихся:  групповая.  

Ход урока

1. Фронтальная работа

  • Из предложенных геометрических  фигур выбрать конус

  • Знакомство с конической поверхностью

Определение №1  Коническая поверхность называется поверхность, образованная движением прямой, которая проходит через данную точку и пересекает данную плоскую линию.

Прямая а  - образующая;

Плоская линия MN -  направляющая.

Незамкнутая коническая поверхность

Если направляющая - замкнутая, то коническая поверхность – замкнутая.

Определение №2 Конусом называется тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей её плоскостью.

Знакомство с конусом и его элементами

А) Конус

SO img1.gif (65 bytes) a (SO=Н, SO=h)

SO - высота конуса

SA - образующая

S - вершина конуса

Кривая ABA - направляющая.

Б) Пусть прямоугольный прямоугольник SOA вращается вокруг катета SO; при полном обороте гипотенуза AS описывает коническую поверхность, катет OA описывает круг.

Такое тело называется конусом вращения. (прямой круговой конус).

Прямой круговой конус

S - вершина конуса

SA - образующая

SO=h - высота конуса

(ось конуса - а )

Основание конуса – круг (О; r)

О - центр основания,

AO=OB=r - радиус основания круга

D SAB - осевое сечение

a||b, b img1.gif (65 bytes) SO, a img1.gif (65 bytes) SO

Круг (о;r) ~ Круг (о1; r1)

Понятие боковой (полной) поверхности.

II. Работа в группах (3-5 человек)

(задания раздается каждой группе на карточке)

Задание по теме «Конус»

1) Изобразите конус. По рисунку определите все элементы конуса.

2) По заданной модели конуса постройте развертку этого конуса. Определите соответствие элементов  развертки  конуса, чертежа и модели конуса.

3) Из листа плотной бумаги изготовить конус, чтобы его полная поверхность: S 110 см2 при радиусе основания r 3.1 см.

Определите какие инструменты вам для этого понадобятся, какие  расчеты необходимы сделать, какие формулы придется вспомнить, а какие вывести новые?

4) Оформите работу на месте по плану:

А) Какие у вас распределились обязанности в группе в процессе выполнения заданий:

  • генератор идей;
  • конструктор;
  • расчетчик;
  • оформитель;
  • изготовитель.

Б) Опишите способы и подходы к решению задачи.

  • Необходимые расчеты для изготовления модели конуса. (Чертеж. Формулы. Вывод)
  • Изготовление конуса.

5) Модель конуса готова.

6) Составьте формулу для расчета площади сечения, параллельного основанию конуса и делящего высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины

7) Составьте формулу для расчета площади сечения, проходящего через ось конуса. Чему равен угол при вершине данного сечения?

8) Каким образом можно из вашей модели получить усеченный конус? Рассчитать его полную поверхность используя задания (6).

9) Составьте и решите еще  три задачи на данную тему.

Замечание: учитель выступает в роли консультанта при решении задач, пользуясь вопросами- подсказками и опираясь на ключевые слова.

Одной из групп  были даны более легкие задания:

№1. Заполнить пропуски:

  1. Прямая, которая при движении образует коническую поверхность, называется…;
  2. Линия, которую пересекает образующая, называется…..;
  3. Конус вращения - частный случай…, когда основание конуса - .., а основание высоты - ..;
  4. Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной основанию, - …. Найдите площадь сечения.
  5. Если осевое сечение конуса- равносторонний треугольник, то конус…..Сделать чертеж:

№2. Решите задачу, заполняя пропуски.

В развертке боковой поверхности конуса центральный угол равен 200o.  Найти угол между образующей  и основанием конуса.

Дано: ВSB=200o, SA=L, ОВ=r

Найти SAO

Решение:

1) a=360o…..| cos x=…

2) 200o=…

3) cos x=…   , x   -

А) … образующей;

Б) … направляющей;

В) …конус, …. Круг…, центр основания

Г) …круг, …расстояния сечения от вершины конуса;

Д) … называется равносторонним

4)

А) 

Б) 200o = 360o*cos x;

В)

№3 В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Найти его площадь, если радиус конуса r, угол между образующей и основанием 450.

Ответ:

На следующем уроке заслушать выступление групп по работе, разрешить спорные вопросы, послушать составленные задачи и решить их. Сохранить изготовленные конусы для изучения темы: «Объем конуса».

Задание на дом.

Изучить усеченный конус, решить задачи № 567, 568, 570 [1], № 15, 18, 19, 21 [2].

Итог урока.

  • В результате работы ученики
  • Сами вывели формулы для вычисления боковой и полной поверхностей конуса

  • Нарисовали развертку
  • Сделали необходимые расчеты
Группы L(см) R (см) Sосн = R2 S бок= RL Sполн= Sбок+ Sосн
1 9,2 3,1 21,1754 89,5528 110,7282
2 7,8 3 28,26 73,476 101,74
3 9,4 3 28,26 88,548 116,808
4 10,4 4,9 75,3914 160,0144 235,4058
  • Провели исследовательскую работу,
  • Решили задачи,
  • Постоянно общались между собой, учились мыслить и мотивировать своих товарищей по работе.
  • Получили не только необходимые знания, но и большое удовольствие.
  • Выяснили, что слово «Конус»  произошло от греческого слова «xwnos», что означает шишка.

Литература для домашнего задания.

  1. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. средней школы, Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомизов и др. /Текст/М.: Просвещение - 1993-207с.
  2. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. средней школы, А.В.Погорелов / Текст / М.: Просвещение - 1992-383с.

Презентация