Урок геометрии, 10-й класс. Формирование ключевых компетенций при повторении тем "Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"

Разделы: Математика

Класс: 10


Цели:

  • определить степень усвоения основных понятий и аксиом стереометрии;
  • определить компетентность учащихся при решении стандартных задач логического характера;
  • определить компетентность в вопросе параллельности прямых и плоскостей в пространстве;
  • определить компетентность в проведении логических рассуждений и выводов.

Основные вопросы рассматриваемые на уроке:

  1. Что изучает стереометрия?
  2. Аксиомы стереометрии.
  3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
  4. Параллельность прямых в пространстве.

Ход урока

1 этап: Параллельность прямых в пространстве.

Покажите на модели куба параллельные прямые.

Математическая компетентность

  • имеет развитые пространственные представления, понимает и умеет изображать чертежи, рисунки;
  • владеет геометрическим языком, развитыми пространственными представлениями и изобразительными умениями для описания предметов окружающего мира.

Общекультурная компетентность

  • умеет уместно использовать математическую символику и объяснять значение математических терминов и символов.

Задача: Докажите, что через вершину куба М можно провести прямую, параллельную прямой АС и только одну.

Социально-личностная компетентность

  • владеет стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;
  • умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически – обоснованные выводы.
  • умеет проводить обобщения,
  • умеет ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

Общекультурная компетентность

  • умеет уместно использовать математическую символику и объяснять значение математических терминов и символов.

2 этап: Признаки параллельности прямых.

Докажите признаки параллельности прямых.

Математическая компетентность

  • имеет развитые пространственные представления, понимает и умеет изображать чертежи, рисунки.

Общекультурная компетентность

  • умеет уместно использовать математическую символику.

Социально-личностная компетентность

  • умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически – обоснованные выводы.

Предметно-мировоззренческая компетентность

  • понимает, что законы логики математических рассуждений имеют универсальный характер.

Задача: Из точек А и В плоскости проведены вне её параллельные между собой отрезки АС = 8см и ВД = 6см. Прямая, проведённая через С и Д, пересекает плоскость в точке Е (почему?). Отрезок АВ = 4см. Определите расстояние ВЕ.

3 этап: Параллельность прямой и плоскости.

Сформулируйте определение и докажите признак параллельности прямой и плоскости.

Задачи: (по готовому чертежу).

а) Через данную точку проведите прямую, параллельную данной плоскости.

б) Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной прямой.

в) Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, провести в этой же плоскости прямую, параллельную данной.

Задача: Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки Р, М и Т, если Т Є (АВС), М Є (АСД), Р Є ДС.

Математическая (прагматическая) компетентность

  • умеет изображать чертежи;
  • владеет геометрическим языком, развитыми пространственными представлениями;

Социально-личностная компетентность

  • владеет стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, доказательностью;
  • умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически – обоснованные выводы;
  • умеет проводить обобщения.

Общекультурная компетентность

  • умеет уместно использовать математическую символику;
  • понимает, что законы логики математических рассуждений имеют универсальный характер.

Решение:

  1. Пусть а секущая плоскость. Точки Р и М принадлежат как плоскости (АСД), так и секущей плоскости а. Значит, плоскость а пересекает (АСД) по прямой РМ.
  2. Прямая РМ пересекает ребро АС в некоторой точке N.. Тогда пересечением секущей плоскости а и грани (АСД) является отрезок РN.
  3. В плоскости(АВС) лежат точки N и Т, принадлежащие секущей плоскости а. Значит плоскости а и (АВС) пересекаются по прямой NТ.
  4. Прямая NТ пересекает ребро АВ в некоторой точке Е.Тогда пересечением секущей плоскости и грани(АВС) является отрезок NЕ.
  5. Плоскость а имеет с (АВД) общую точку Е, значит эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Но чтобы провести эту прямую, надо найти ещё одну общую точку плоскостей а и (АДВ).
    Прямая NР пересекает прямую АД в некоторой точке К, которая будет общей точкой плоскости а и плоскости (АДВ) (она лежит на прямой АД, лежащей в этой плоскости). Таким образом, у нас имеются две общие точки К и Е. Значит, плоскость а пересекает (АВД) по прямой ЕК.
  6. Прямая ЕК пересекает ребро ВД в некоторой точке О. Если имеем точку О на ребре ВД, то тогда пересечением плоскости а и грани (АВД) является отрезок ЕО.
  7. В (ВДС) получили две точки О и Р, принадлежащие плоскости а. Значит плоскость а пересекает плоскость (ВДС) по прямой ОР. А пересечением плоскости а и грани (ВДС) является отрезок ОР.
  8. Четырёхугольник ЕОРN – искомое сечение.