Конспект урока по алгебре в 8-м классе по теме "Графический метод решения уравнений с параметрами, содержащих знак модуля"

Разделы: Математика

Цели урока:

Обучающая:

  • Рассмотреть основные виды уравнений с параметрами и знаком модуля.
  • Рассмотреть алгоритм решения уравнения вида |f(x)| = a.
  • Обучить решению уравнений с параметрами, содержащих знак модуля графическим методом.
  • Научить использовать ИКТ при решении задач.
  • Проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

  • Развитие алгоритмического, логического и системного мышления .
  • Развивать навыки самостоятельной работы.
  • Формирование и дальнейшее развитие познавательных операций по планированию и прогнозированию учебной деятельности.
  • Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ и синтез сравнение, обобщение.
  • Формирование ИКТ компетентности учащихся.

Воспитывающая:

  • Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения.
  • Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.
  • Воспитание коммуникативных способностей при работе в парах, уважительного отношения друг к другу.
  • Воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедиапроектор.

Программное обеспечение:

  • Advanced Grapher свободно распространяемая программа на сайте www.alentum.com/agrapher/index.htm.
  • презентация Microsoft PowerPoint “Графический метод решения уравнений с параметрами, содержащих знак модуля” (автор Золотова Ж.С.). см. Приложение 1
  • тестовая оболочка (автор Золотова Ж.С.).

Тип урока: урок — объяснения нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Доброе утро, дорогие ребята! Начнем наш урок с небольшого эксперимента над собой…

Перед Вами лежат листок бумаги…Обведите на нем свою руку… Продолжите, пожалуйста, предложения, характеризующие Ваше эмоциональное состояние в данный момент:

Мизинец – Мне сейчас…
Безымянный – Я хочу…
Средний – Я буду…
Указательный – Чего я жду от урока…
Большой – Мне интересно…

А на ладошке нарисуйте солнышко, с помощью которого изобразите свое настроение сейчас… Сверните свои листочки и отложите их в сторону, мы вернемся к ним позже…

Сегодня нам предстоит продолжить наше знакомство с уравнениями с параметрами. На прошлых уроках мы научились решать не только линейные уравнения с параметрами, но и с уравнениями, содержащими два параметра, решали дробно-рациональные уравнения, рассматривали задачи, при решении которых мы прибегали к решению уравнений с параметрами, решали уравнения с параметром и знаком модуля аналитическим способом. Но это, конечно, далеко неполный перечень и нам предстоит узнать еще много нового о параметрах. И вот сегодня на уроке мы с вами будем учиться решать уравнения с параметрами, содержащие знак модуля и рассмотрим графический метод решения таких уравнений и для построения графиков функций мы будем использовать специальную компьютерную программу Advanced Grapher, ну а в конце урока нам придется поднапрячь все свои мозги и написать небольшой тест по материалам предыдущих уроков. Итак, запишем тему урока “Графический метод решения уравнений с параметрами, содержащих знак модуля” (Слайд 1)

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом

А сейчас мы с помощью математической эстафеты проверим, как Вы усвоили материал предыдущих уроков. (Слайд 2, 3)

Математическая эстафета

Учащимся предлагается набор заданий, которые надо выполнить следующим образом: сначала выполняется первое задание; число, полученное в результате его выполнения, есть номер следующего задания, выполнив его, получаем номер следующего задания и т.д.

Окончательный ответ, записанный на листочке, ученики должны молча показать учителю.

  1. При каком значении параметра b уравнение не имеет корней bx – 2=b+4x. (При b=4)
  2. При каком значении параметра b корень уравнения 3x=b в 3 раза меньше корня уравнения х+8b=50 – x. (При b=5)
  3. Сколько корней имеет уравнение при a=4,5. (3 корня)
  4. При каком значении параметра уравнение имеет множество решений. (при а=2)
  5. При каких значениях параметра m график функции y=mx+5 проходит через точку с координатами (-1;2). (При m=3)

Ответ: 3 корня

Первые 3 человека ответивших верно получают положительные оценки, листочки с выполненными работами собираются. С остальными учащимися задание разобрать помогают успешно справившиеся ученики.

Давайте вспомним основные определения и понятия, которые понадобятся нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

- Что называется параметром? (независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом)

- Что значит решить уравнений с параметром? (для каждого значения параметра найти множество решений уравнения)

- Давайте вспомним, что такое модуль? (|a|=) (Слайд 4)

- В чем заключается его геометрический смысл? (Модуль - это абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой) (Слайд 4)

- Какие методы решения уравнений с параметрами Вам известны? (Аналитический метод, графический метод)

- С каким способом решения уравнений с модулем мы уже знакомы? (Аналитический метод)

- Давайте вспомним, в чем заключается суть графического метода решения уравнений? (Строим в одной системе координат графики функций для правой и левой части уравнений, находим точки пересечения графиков, определяем их абсциссы – это и будет решение уравнения)

3. Объяснение нового материала

Существуют следующие виды уравнений с параметрами, содержащих знак модуля: (Слайд 5)

  • |f(x)| = a
  • |f(x)| =g(x,а)
  • |f(x)| = |g(x,а)|
  • |f(x)|+|g(x)| = a

Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение только первого вида. Рассмотрим алгоритм решения уравнений вида |f(x)|=a. (Слайд 6)

Алгоритм решения уравнений вида |f(x)|=a

  • Строим в одной системе координат графики функций y=|f(x)| и y=a.
  • Находим точки пересечения графиков функций. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения.

Если общих точек у графиков нет, то данное уравнение решений не имеет

Из данного алгоритма видно, что для решения уравнений с модулем нам придется строить график функции y=|f(x)|. А как же построить график функции y=|f(x)|?

Рассмотрим рисунки (Слайд 7, 8).

На этих рисунках изображены графики функций y=x и y=|x|, y=-x2 и y=|-x2|, у=2x+3 и y=|2x+3|.

Какие значения принимают функции, не содержащие знак модуля? (Все действительные значения)

Какие значения принимают функции со знаком модуля? (Неотрицательные значения)

Как вы думаете, с чем это связано? (Это следует из определения модуля)

Как располагаются части графика, расположенные выше и ниже оси Ох? (Они симметричны относительно оси Ох)

Давайте попытаемся сформулировать алгоритм. Дети сами формулируют алгоритм построения графика функции, содержащего знак модуля. (Слайд 9)

Часть графика функции y=f(x), которая лежит ниже оси Ох отобразить симметрично относительно оси Ох

4. Первичное осмысление нового материала

Работа с шаблоном

Задание 1. Построить график функции y=|-x2 +3| (Слайд 10)

Advanced Graphr 2.11 – это гиперссылка на программу Advanced Grapher 2.11, при нажатии на которую запускается программа для работы с графиками. У детей на партах есть шаблон графика функции у=x2 (парабола), с помощью нее учащиеся строят в тетрадях график функции у=|-х2+3|, а учитель комментирует каждый шаг на компьютере с помощью программы Advanced Grapher. Вопросы для обсуждения:

  • Как построить график функции у=-х2 с помощью шаблона? (поместить вершину в начало координат, ветви расположить вниз)
  • Как построить теперь график функции у=-х2+3? (сдвинуть график функции на 3 единицы вверх)

После этого мы видим, что часть графика расположена выше оси Ох, а часть ниже оси Ох. Обведем цветным карандашом ту часть, которая расположена выше оси Ох.

Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох нам надо симметрично отобразить относительно оси Ох в верхнюю положительную полуплоскость. Для этого загнем наш шаблон по оси Ох. Обведем цветным карандашом ту часть шаблона, которая оказалась выше оси Ох. Должен получиться следующий график.

Задание 2. Сколько корней имеет уравнение |-x2 +3| = а при различных значениях параметра a?(Слайд 11, 12, 13, 14)

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций y=|-x2 +3| и y=a.

Рис. 1. График функции у= |-x2 +3|

Рис. 2. График функции y=a.

 

Построить прямые: a= -3, а= 0, а=1, а=3, а=4. Сделаем вывод!

Учитель демонстрирует передвижение прямой параллельной оси Ох с помощью презентации Microsoft PowerPoint. На рисунке прямая анимирована, она движется снизу вверх, показывая различные промежутки значений параметра а.

- (-; 0). Данный промежуток соответствует значениям параметра а, удовлетворяющим неравенству а<0. Дети наглядно видят, что общих точек графики не имеют.

- Прямая совпадает с осью Ох. В этом случае а=0 и графики имеют 2 общие точки, а следовательно, два решения.

- (0; 3) Графики имеют 4 общие точки, а значит, уравнение имеет 4 различных корня.

- Прямая проходит через точку с координатами (0; 3). Эта прямая задается уравнением у=а при а=3. Учащиеся видят, что графики имеют 3 общие точки, а значит, уравнение имеет при а=3 3 корня.

- (3; + ). Данный промежуток задается неравенством а>3 и при этих значениях параметра а уравнение имеет 2 корня.

Заполняем листок ответов.

Если a<0, то решений нет

Если a=0, то уравнение имеет 2 корня

Если 0<a<3, то уравнение имеет 4 корня

Если a=3, то уравнение имеет 3 корня

Если a>3, то уравнение имеет 2 корня

Ответ: при a<0 решений нет, при a=0 и a>3 уравнение имеет 2 корня,

при a=3 уравнение имеет 3 корня, при 0<a<3 уравнение имеет 4 корня.

Задание 3. Для каждого значения параметра а укажите число корней уравнения

2х|х| + х2 – 6х = а. (Слайд 15)

Одного из учеников можно посадить на головной компьютер, чтобы потом через мультимедиапроектор проверить правильность выполнения работы.

Этот слайд презентации также содержит гиперссылку на программу Advanced Grapher 2.11, что позволяет абсолютно безболезненно запустить программу, не закрывая при этом презентацию, которая используется в дальнейшем.

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы.

Дети выполняют задание самостоятельно на компьютерах и заполняют бланк ответов.

Перед выполнением задания учитель сообщает основные правила записи формул:

  1. Степень числа мы запишем основание степени^показатель степени
  2. ^ Shift+6
  3. Модуль выражения мы запишем abs(выражение)

У каждого ребенка на столе лежит мануал по использованию программы Advanced Grapher 2.11 (Приложение 2)

Бланк ответов:

При а<-3 __________________

При а=-3 __________________

При а=0 ___________________

При -3 <а< 9 _______________

При а=9 ___________________

При а>9 ___________________

Ответ:

при _________ один корень, при __________ два корня, при ______ три корня.

Проверяем правильные ответы. (Слайд 16)

Какой из рассмотренных случаев лишний? Объясните свой ответ. (а=0, т.к. это одно из возможных значений из промежутка -3 <а< 9)

Задание 4. Придумайте, пожалуйста, уравнение с параметром, содержащим знак модуля. Обменяйтесь соседом по парте и решите его с помощью компьютера. Исследуйте это уравнение на количество корней. Рассмотрите все возможные варианты значений параметра.

Дети выполняют задание самостоятельно: строят графики тех функций, которые получили, проводят исследование в зависимости от разных значений параметра а, ответы записывают в тетради, сдают учителю. Правильность выполнения работы можно прокомментировать у одного из учеников, работы остальных проверить позже.

5. Постановка домашнего задания (Слайд 17)

  1. Выучить алгоритм построения графика функции y=|f(x)|
  2. Выучить алгоритм решения уравнения с параметром вида |f(x)|=а
  3. Сколько корней имеют следующие уравнения при различных значениях параметра?

а)

б)

в)

г) e e 2х e - 4 e = х +а

Решение домашнего задания приведено в приложении 3.

6. Выполнение контролирующего теста по изученной теме, выставление оценок

Ученики выполняют контролирующий тест в тестовой оболочке, написанной в среде программирования DELPHI 7.0.

Сначала ученикам предлагается заполнить окно авторизации, записать свои имя, фамилию и класс и нажать кнопку Далее>>.

Далее появляется окно вопроса, на который нужно выбрать верный ответ.

Всего база содержит 20 вопросов, из которых ученикам предлагается случайным образом 10.

На каждый вопрос ребенку предлагается 3 варианта ответа, которые также выбираются случайным образом из базы ответов. По каждому вопросу в программе заложено 5 вариантов ответов, из которых только один является верным. Естественно, я предусмотрела, чтобы верный ответ входил в число трех предложенных! Такая организация проверки знаний учащихся несомненно предотвращает списывание, так как хоть и есть вероятность повторения вопросов, варианты ответов у разных детей будут различны.

После выполнения теста появляется результатирующее окно, в котором указывается количество верных ответов, процент правильности выполнения теста, оценка. Оценка ученику выставляется в соответствии с количеством верных ответов.

“5” ставится, если ученик ответил верно, более чем на 90% теста,

“4” ставится за 75%-89% верных ответов,

“3” получает ученик, ответивший на 50%-74% теста,

“2” ставится учащемуся, ответившему менее чем на 50% вопросов.

Все результаты прохождения теста сохраняются в файле return.txt. Это помогает учителю проследить, что ученик выполнял свой тест один раз, а не более.

Учащиеся, получившие неудовлетворительную оценку, могут посмотреть допущенные ими ошибки, а также прочитать теоретический материал по данной теме, который хранится в файле help.doc.

Если на уроке осталось время, можно предложить учащимся решить следующие задания. Приложение 4

7. Подведение итогов урока

Итак, сегодня на уроке мы с Вами научились решать уравнения с параметром, содержащие знак модуля графическим методом, проводили исследование с помощью компьютерной программы Advanced Grapher, проверили свои знания с помощью тестовой системы. Какой метод решения уравнений с параметром, содержащих знак модуля является по Вашему мнению более легким, доступным?

8. Рефлексия (Слайд 18)

А теперь я попрошу Вас взять листочек и написать свое эмоциональное состояние после нашего урока. Напишем его в виде небольшого сочинения – сиквейна.

1 строка - Три существительных, которые отвечают Вашему внутреннему состоянию

2 строка - Три глагола, которые отвечают Вашему внутреннему состоянию

3 строка - Три прилагательных, которые отвечают Вашему внутреннему состоянию

4 строка - Одно слово с “!” на конце

5 строка - Законченное предложение

Все сегодня постарались на славу, и Вы заслуживаете не просто похвалы, но и сладкого приза! (Учитель дарит всем по шоколадке и обязательно помните про присутствующих на уроке гостей!)

Всем спасибо, урок окончен! (Слайд 19)

Фоторепортаж с урока можно посмотреть в приложении 5.