«По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета».
Цель урока.
- Выявить зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами.
- Доказать теорему Виета показать ее применение; сформировать умение использовать теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы урока.
3. Актуализация знаний.
Устно
Решить уравнения:
x2-6х=0
9х2-1=0
x2+0.25=0
2х2-50=0
4х-х2=0
8х2=2
Назвать коэффициенты уравнения:
x2-7х+10=0
7х-х2-45=0
4х2-7=8х
2х2-12х+7=0
х2=19х-48
2х2-30х+52=0
32х2-8х=0
-х2+х-1=0
х2-6=5
(4 человека работают у доски по карточкам)
| Карточка 1 x2 + 2x -15=0 |
Карточка 2 3x2 + 4x + 3=0 |
| Карточка 3 3x2 - 6x + 3=0 |
Карточка 1 7x2 - 8x +1=0 |
Решение по карточкам проверяется классом и оценивается учениками.
4. Объяснение нового материала.
№1. Решить уравнения и заполнить таблицу.
| Уравнения | Корни | Произведение корней | Сумма корней |
| x2-19х+34=0 | 2;17 | 34 | 19 |
| x2-7х+10=0 | 2;5 | 10 | 7 |
| x2+х-56=0 | -8;7 | -56 | -1 |
Заполненную таблицу показать через проектор.
Сравнить сумму произведение корней с коэффициентами уравнений.
Какое предположение можно сделать?
Историческая справка.
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский учёный Франсуа Виет (1540-1603)
Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет был советником короля. И хотя математика была всего лишь его увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов.
В 1591 году он ввёл буквенное обозначение для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, а также его свойствам.
Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.
Доказательство теоремы Виета
На экране через проектор высвечиваются формулировки теорем.
Пусть Х1 Х2 - "корни "квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. Тогда сумма "корней равна - , а произведение корней равно:
X1 + X2= - 
X1· X2 = 
Доказательство теоремы Виета (на доске). Корни x1 и x2 квадратного уравнения ax2 + bx + с =0 находятся по формулам
X1 = 
; X2 = 
Где D = b2-4ac – дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим:
X1 +X2 = 
= 
= 
=- 
Первое соотношение доказано: x1 + x2 = - 
Теперь вычислим произведение корней x1 и x2:
X1· x2 = 
= 
= 
= 
= 
= 
Второе соотношение доказано: x1 x2 =
Справедлива и обратная теорема:
Если числа x1 x2 таковы, что X1 + X2= - 
, X1· X2 = 
то эти числа корни "квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
(см. учебник алгебра 8, А. Г. Мордкович §29)
5.Закрепление изученного материала
№29.6
а) х2+3х+2=0 х1=-2, х2=-1
б) х2-15х+14=0 х1=1, х2=14
в) х2+8х+7=0 х1=-1, х2=-7
г) х2-19х+18=0 х1=1, х2=18
№29.9
а) х1=4, х2=2
4·2=8, 4+2=6
x2-6х+8=0
В) х1=-8, х2=1
-8·1=-8, -8+1=-7
x2+7х-8=0
6. Обучающая разноуровневая самостоятельная работа (карточки: красная, желтая, зеленая)
Красная - слабая уровень подготовки, жёлтая – средний уровень подготовки, зеленная – высокий уровень подготовка.
Красная |
Жёлтая |
Зелёная |
| x2 -8x -9=0
x2 +10x -11=0 x2 -17x -18=0 x2 -20x +19=0 x2 -20x +51=0 |
2x2 -8x -10=0
-x2 +7x +8=0 -x2 +19x -48=0 x2 -15x +14=0 9x2 - 12x +4 =0 |
-x2 +6x +16=0
2x2 -28x -30=0 0,5x2 -7x -16=0 0,5x2 -9x +16=0 0,25x2 –x -1,25=0 |
По окончанию решения на экране высвечиваются ответы и правильное решение.
| Красная | Жёлтая | Зелёная |
| -1; -9
1; -11 -1; 18 19; 1 17; 3 |
-1; 5
-1; 8 16; 3 1; 14 ⅔ |
-2; 8
-1; 15 -2; 16 16; 2 -1; 5 |
Итоги урока.
Сегодня на уроке мы изучили теорему Виета и обратную ей, давайте ещё раз вспомним изученный материал. (На экране через проектор высвечиваются формулировки теорем).
Пусть Х1 Х2 - "корни "квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О. Тогда сумма "корней равна - 
, а произведение корней равно 
:
X1 + X2= - 
X1· X2 = 
Справедлива и обратная теорема:
Если числа x1 x2 таковы, что X1 + X2= - , X1· X2 = 
то эти числа корни "квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
«По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета
Что лучше, скажи, постоянства такого-
Умножишь ты корни, и дробь уж готова:
В числителе «с», в знаменателе «а».
И сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь та, ну что за беда:
В числителе «b», в знаменателе «а».
Домашнее задание:
§29 №29.7, №29.9 (б, г)