Урок математики в 10-м классе. Исследовательская работа по алгебре и началам анализа по теме "Логарифмическая функция"

Урок: «Исследование логарифмического уравнения».

Тип урока: Исследовательская работа.

Цель: Продолжить формирование исследовательских умений учащихся через решение логарифмических уравнений с параметрами; умения самостоятельно проводить исследования.

Оборудование: Карточки с заданиями.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель распределяет учащихся по группам, выдает каждой группе карточку с задачей и карточку предписаний, проводит инструктаж. Учитель формулирует задание для всех групп.

Формулировка предполагаемого задания:

При каких значениях a сумма log_a(2^x-1) и log_a(2^x-7) равна 1 хотя бы при одном значении x?

II. Работа в группах (носит дифференцируемый характер)

1 Группа

Группу составляют учащиеся с высокими учебными возможностями. В карточке предписаний для группы записаны только этапы исследовательской деятельности.

1.Проведите анализ условия задачи, которое необходимо решить.
2. Обозначьте проблему исследования (сформулируйте самостоятельно).
3. Решите две частные задачи.
4. Решите исходную задачу в общем виде.
5. Сформулируйте вывод.

2 Группа

Группу составляют учащиеся с выше средними учебными возможностями. Раздается карточка предписаний, где проблема формируется учителем.

1. Проведите анализ условия задачи, которое необходимо решить.
2. Проблема, над которой вы должны работать: «Найти значения a, при которых уравнение log_a(2^x-1) + log_a(2^x-7)=1 имеет хотя бы один корень».
3. Решите две частные задачи.
4. Решите исходную задачу в общем виде по плану:

а) Произведите замену переменных;
б) Найдите область определения полученного уравнения;
в) Решите уравнение.

5. Сформулируйте вывод.

3 Группа

Группу составляют учащиеся со средними учебными возможностями. Решение исследовательской задачи они выполняют самостоятельно, но при необходимости могут обращаться за консультацией к учителю. В карточке предписаний записаны не только этапы исследовательской деятельности, но и план решения.

1. Проведите анализ условия задачи, которое необходимо решить.
2. Проблема, над которой вы должны работать: «Найти значения a, при которых уравнение log_a(2^x-1) + log_a(2^x-7)=1 имеет хотя бы один корень».
3. Решите две частные задачи, самостоятельно выбрав значения a.
4. Решите исходную задачу в общем виде по плану (вставьте пропуски):

а) Произведите замену переменных: 2^x=y, y Є ____;

б) Уравнение примет вид: log_a(___) + log_a(___)=1;

в) ООУ:

г) log_a(y-1)(___)=1;

(y-1)(y-7)=___;

___ +7-a=0;

D=_____ ;

Y_1,2= ;

Y₁=_____; y₂=____;

5. Вывод.

Заметим, что корень y=_____ удовлетворяет условию y>7 при всех a>0. Значит, решением является _____.

4 Группа

Группу составляют учащиеся с низкими учебными возможностями. Решение задачи выполняют частично самостоятельно, при необходимости могут обращаться за консультацией к учителю.

1. Проведите анализ условия задачи, которое необходимо решить.

2. Проблема, над которой вы должны работать: «Найти значения a, при которых уравнение log_a(2^x-1) + log_a(2^x-7)=1 имеет хотя бы один корень».

3. Решите две частные задачи по плану:

1) Составьте логарифмическое уравнение при a=16;

2) Выполните необходимые преобразования логарифмического уравнения;

3) Произведите замену 2x=y, y Є ____;

4) Выполните преобразование и решите квадратное уравнение;

5) Найдите корни логарифмического уравнения;

6) Составьте логарифмическое уравнение, самостоятельно выбрав значения a, и решите его по заданному плану.

4. Выполните поставленную задачу по плану (вставьте пропуски):

а) Произведите замену переменных: 2x=y, y Є ____;

б) Уравнение примет вид: log_a(___) + log_a(___)=1;

в) ООУ:

г) log_a(y-1)(___)=1;

(y-1)(y-7)=___;

___ +7-a=0;

D=_____;

Y_1,2= ;

Y₁=_____ ; y₂=____ ;

5. Вывод.

Заметим, что корень y=_____ удовлетворяет условию y>7 при всех a>0. Значит, решением является _____.

Образец выполнения исследовательского задания.

Задача:

При каких значениях aсумма log_a(2^x-1) и log_a(2^x-7) равна 1 хотя бы при одном значении x?

Проблема:

Найти значения a, при которых уравнение log_a(2^x-1) + log_a(2^x-7)=1 имеет хотя бы один корень.

Сбор фактического материала (решение частных задач):

Пусть a=16, имеем уравнение log₁₆(2^x-1) + log₁₆(2^x-7)=1;

log₁₆(2^x-1) (2^x-7) = log₁₆16;

(2^x-1) (2^x-7)=16.

Произведем замену переменных

2^x=y, y>0, тогда (y-1)(y-7)=16:

Y²-y-7y+7-16=0;

Y²-8y-9=0;

D=64-4*1*(-9) =100;

Y_1,2= ;

Y₁=9; y2=-1.

y₂=-1 не удовлетворяет условию y>0, таким образом, 2^x=9, x=log₂9.

Решение проблемы (решение исходной задачи в общем виде):

Решить уравнение

log_a(2^x-1) + log_a(2^x-7)=1.

Произведем замену переменных

2^x=y.

Из свойств показательной функции следует, что y Є (0; ).

Уравнение примет вид:

log_a (y-1) + log_a(y-7)=1;

При допустимых значениях a перейдем к равносильному равнению

log_a (y-1)(y-7)=1;

(Y-1)(Y-7)=a;

Y²-8y+7-a=0.

Достаточно найти такие a, при которых хотя бы один корень полученного уравнения был больше 7. D=64-4(7-a) =64-28+4a=36+4a=4(9+a),

Y_1,2= ,

Y₁=; Y_1,2=.

Из двух полученных корней условию y>7 удовлетворяет корень

Y= при a>0.

Значит, решением задачи являются все допустимые значения a.

Таким образом, a Є (0;1)(1;).

Вывод:

Сумма log_a(2^x-1) и log_a(2^x-7) равна 1 хотя бы при одном значении x, если

a Є (0; 1)(1;).

III. Анализ результатов решения предложенного задания по группам

Учащиеся формулируют проблему исследования предложенного задания. Из каждой группы приглашается один ученик, предлагается начать обсуждение решения задачи частных случаев: в группах II и III решение задачи при самостоятельно выбранном значении а; в IV группе рассматривается решение задачи при а=16. I группа показывает решение задачи в общем виде.

IV. Первичное закрепление

Учитель предлагает подобную задачу с частичным решением. При обсуждении учащиеся заполняют пропуски вместе с учителем.

Задача:

При каких значениях а сумма и не равна 1 ни при каком значении x?

Решение:

По определению логарифма: а > ____ , a≠_____ .

Решим обратную задачу, то есть найдем при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение.

Преобразуем левую часть уравнения: . Сделаем замену переменных. Пусть .

Следовательно, y Є ______. Уравнение принимает вид: .

При допустимых значениях а перейдем к равносильному уравнению (y+2)(y+3)=_____. Из неравенства 0 < y < 1 следует: _____<(y+2)(y+3)<______. Значит, уравнение (y+2)(y+3)=а имеет корни только при _____<a<______. Уравнение не имеет корней при а Є ______.

Ответ: а Є ______.

V. Рефлексия (самооценка)

I этап: «Исследовательские умения»

Каждый ученик получает карточки с критериями оценивания исследовательской работы. Если ученик не справляется с выполнением I этапа «Исследовательские умения», или с каким- то его пунктом, то учитель ему в этом помогает или предлагает готовые формулировки, что учитывается при выставлении баллов. Каждое умение оценивается от 0 до 5 баллов.

II этап: «Специальные умения» (ученик выполняет самостоятельно).

– умение применять свойство логарифмов;

- умение записывать число в виде логарифма;

– умение решать показательные уравнения;

- умение решать квадратные уравнения;

-умение решать частные задачи;

– умение производить выборку корней.

Исследовательские умения
Цель	Проблема	План	Осуществление	Анализ	Рефлексия	Общий балл	Отметка

Специальные умения
У1	У2	У3	У4	У5	У6	Общий балл	Отметка	Итог

Таблица перевода баллов и процентов в отметку

отметка	5	5	3	2
баллы	30-27	26-23	22-15	14-0
проценты	100-90	89-75	74-50	49-0

Каждое умение оценивается от 0 до 5, затем все баллы суммируются. В таблице приведен перевод для 6 умений, исходя из максимального балла 30.

VI. Задание на дом

Задание: При каких значениях а сумма и будет равна единице хотя бы при одном значении х?

Литература

1. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10-11 класса. М. И. Башмаков. М.:Дрофа.

11.08.2009