Развитие математических способностей учащихся начальной школы через решение логических задач

«Математика принадлежит к числу наук, имеющих громадное значение для выработки умения логически мыслить, делать обобщения».

Н.К.Крупская

Каждый учитель начальных классов хочет, чтобы его ученики учились увлечённо, с интересом, на уроках математики научились не только считать, но и думать, чтобы по окончанию начальной школы у них было развито логическое, алгоритмическое, пространственное мышление.
Достичь этого в начальном курсе математики можно путём включения задач, связанных с понятиями, которые выходят за рамки учебного программного материала. Среди них велика роль логических задач занимательного характера. Сюда следует отнести задачи с необычной формулировкой, порой с довольно простым решением, но требующие значительных умственных усилий, для того, чтобы понять их условие. При решении таких задач применяются, кроме известных средств, понятия и методы, которые не входят в школьную программу по математике.
Учащихся необходимо учить решать такие задачи, вооружать их «инструментом», с помощью которого они с задачей справятся. К таким «инструментам» можно отнести, например логические таблицы, графы или свойства, облегчающие решение задач.

Мыслить логически – одно из важных умений, которое можно развивать с помощью специальных упражнений.
Как включить детей в мыслительный процесс волнует многих взрослых.
Нужно предоставить ребёнку возможность, подобно знаменитому Шерлоку Холмсу, самому решать запутанные на первый взгляд, задачи.
И когда ребёнок, пройдя всю цепочку умозаключений, восстановит недостающие звенья в задаче и сделает свой первый логический вывод, он откроет для себя увлекательный мир логики.

Решение сюжетных логических задач (найди соответствия)

Логические задачи требуют от учащихся внимательной работы с текстом. Условие таких задач можно оформить с помощью математических знаков и в виде таблицы, с помощью которых учащиеся быстро приходят к правильному ответу на поставленный в задаче вопрос. Приведём несколько примеров.

Задача 1

Ваня старше Пети, Дима не старше Коли. Дима младше Пети. Кто младше всех? Кто старше всех?

В решении подобных задач можно использовать знаки < и >

Решение:

1. Условие «Ваня старше Пети» можно записать В > П,
2. Условие «Дима не старше Коли» Д < К, ( это обозначает, что Дима либо младше, либо равен повозрасту Коле)
3. Условие «Дима младше Пети» Д < П.
4. Если выстроить цепочку, то получиться:

   В > П > Д < К

5. Из этой записи видно, что либо Ваня, либо Коля, либо они оба старше остальных, но одного возраста.(В задаче нет сведений о соотношении возрастов Вани и Коли)
6. Либо Дима, либо Коля младше остальных, но оба одного возраста.

Такое построение схем помогает правильно рассуждать и проверять себя.

Задача 2

Маша, Катя, Лиза и Ира пришли на день рождения к своей подружке. Подарки они положили в одно место. Это были: цветы, кукла, краски и настольная игра. Именинница знала следующее:
1. Маша, Катя, девочка, которая подарила куклу, и девочка, которая подарила краски, – учатся в одном классе.
2. Ира, девочка, которая подарила игру, девочка, которая подарила краски, и девочка, которая подарила цветы – живут на одной улице.
3. Маша не дарила цветы.

Могли бы вы на месте именинницы определить, кто из девочек что ей подарил?

Решение:

1. Из условия 1 видно, что ни Маша, ни Катя не дарили куклу и краски (Отметим это в таблице знаком «–»)
2. Сведения о том, что девочки учатся в одном классе, не имеют к решению никакого отношения. Это сделано для того, чтобы отвлечь внимание.
3. Из условия 2 ясно, что Ира не дарила краски, игру, цветы. (Отметим это в таблице)
4. В графе для Иры осталась только одна не отмеченная знаком «–» клетка, следовательно Ира подарила куклу (отметим знаком «+»)
5. Из условия 1 и 3 знаем, что Маша не дарила куклу, краски и цветы, следовательно она подарила игру (отметим знаком «+»).
6. Катя не дарила куклу, игру и краски, следовательно она подарила цветы (отметим знаком «+»).
7. Поскольку знаем, что Маша подарила игру, Ира – куклу, Катя – цветы, значит Лиза подарила – краски.

Ответ: Маша подарила игру, Катя – цветы, Лиза – краски, Ира – куклу.

Это решение можно оформить с помощью таблицы.

	краски	игра	кукла	цветы
Маша	–	+	–	–
Катя	–	–	–	+
Лиза	+	–	–	–
Ира	–	–	+	–

Решение таких задач можно предлагать учащимся 1 – 3 классов. Постепенно усложняя условие задач.

№ 1

Стёпа, Ваня и Боря отправились рыбачить. Они поймали карпа, окуня и карася. Нам известно следующее.

1. Стёпина рыба тяжелее, чем окунь, но легче той, которую поймал Боря.
2. Карась оказался самым тяжёлым.
3. Рыбы весят 1 кг, 2 кг, 3 кг, но какая сколько, неизвестно.

Определите, кто поймал какую рыбу и сколько эта рыба весит.

№2

Дима, Даша, Лена и Алёша ходят в один класс, но любят разные предметы: один из них – физику, другой – пение, третий – химию, четвёртый труд. Фамилии учителей нам известны: Семёнов, Белов, Фомичёв, Ефремов. По следующим сведениям вам нужно узнать фамилии учителей и кто из ребят любит какой предмет.

1. Девочка, которая любит химию, и мальчик, который любит физику, не любят предмет, который преподаёт Ефремов.
2. Лена, Алёша и девочка, которая любит уроки Семёнова, не любят труд.
3. Девочка, которая любит пение, считает, что Фомичёв преподаёт этот предмет очень хорошо.

№ 3

Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга, Поля – участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

1. Ольга заняла первое место, Нина – второе;
2. Ольга – второе, Поля – третье;
3. Мария – второе, Поля – четвёртое;

Отвечающие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

Ответ: Ольга – первое место, Мария – второе, Поля – третье, Нина – четвёртое.

№4

На острове два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, пришельцы всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал, что туземец назвал себя аборигеном.
Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

Ответ: проводник – абориген.

Комбинаторные задачи

Это одна из наиболее сложных категорий задач.
Комбинаторика лежит в основе программирования, и, решая задачи этого раздела, учащиеся осваивают её не на уровне пустого запоминания формул. Они будут понимать, почему именно так происходит, что такое логика вычислительной машины, и даже – как устроен этот мир.

Задача 1

В нашем лесу каждый занят своим делом: Одни плетут корзины, другие ловят рыбу.
Ремеслу мы учились друг у друга. Кот учился у Выдры, Ёж – у Зайца, Лиса – у Волка, Мышь – у Ежа. Бобёр учил Волка и Выдру, Заяц – Белку, Барсук – Зайца. Бобёр учился у Медведя, Ёж – был учителем Дятла. Лучше всех плёл корзины Ёж, чем занимались Заяц, Дятел, Волк и Лиса?
Кто из зверей раньше всех научился ловить рыбу, а кто плести корзины?

Решение

Такие задачи удобнее решать с помощью графа.

Задача 2

Есть краски зелёного, красного, синего, жёлтого, оранжевого цветов. Сколькими способами можно раскрасить трёхэтажные домики в три цвета, при условии, что цвета не повторяются?

Задача 3

В шахматном турнире тремя участниками всего было сыграно шесть партий. Каждый сыграл одно и то же число партий. Сколько?

Задача 4

На карточке нарисованы отрезок, круг, треугольник, звезда, квадрат. В каком порядке они нарисованы, если известно, что : отрезок не рядом с треугольником; треугольник не рядом с кругом; круг не рядом со звездой, а звезда не рядом с отрезком; треугольник не рядом с квадратом, а квадрат не рядом с кругом; звезда располагается рядом с квадратом и находится справа от него?

Задача 5

Сколько существует трёхзначных чисел, которые записываются различными чётными цифрами?

Задача 6

Аня, Вера, Боря и Гена – лучшие лыжники класса. На школьные соревнования надо составить команду из одного мальчика и одной девочки. Сколькими способами можно составить команду?