Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
| сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – 2 sin2 x = 2 cos2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x;
cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg3 x)/(1 – 3 tg2 x);
ctg 3x = (ctg3 x – 3ctg x)/(3ctg2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a2 + b2), cos y = a/v(a2 + b2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a2 + b2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + (tg2 (a/2));
cos a = (1 – tg2 (a/2))/(1 + (tg2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a2 + b2 + c2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение: sin x + cos2 х = 1/4.
Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos2 х через sin2 x
sin x + 1 – sin2 x = 1/4
4 sin2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1)к+1 arcsin 1/2 +
k, k€z,
Ответ: (-1)к+1/6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ±
Ответ: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin2 x – 3 sin х cos x + 2 cos2 х = 0.
Решение: sin2 x – 3 sin х cos x + 2 cos2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg2 x – 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х =
х = arctg 2 +
Ответ: /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 4
2 sin (5x + 6) = 4.
Решение: Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 42 sin у = 4
1 – 2 sin2 у + 4
sin у = t, где t€[-1;1]
2t2 – 4
t =
sin (5x + 6) =
5x + 6 = (-1)к
х = (-1)к
Ответ: (-1)к?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у)2 + 40х2 = 0
Решение: Используем а2+в2+с2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0,
отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна
запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ: (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin2 х + cos4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin2 х – 2 sin х +1) + cos4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х =
Ответ: /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1
sin 5х
0
0 + 2
2
sin 5х + sin х
2
-2
sin 5х + sin х
имеем левая часть
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х =
Ответ: /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
Имеем
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
- cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
- cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
- cos х = 0, х = /2 + k, k€z.
Ответ: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай
включает в себя первый. (Если во втором случае
взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя
сказать, что правильнее, но во всяком случае
“культурнее и красивее” будет выглядеть ответ:
х1 = /5 + 2/5k, х2 = /2 + k,
k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к
различным формам записи ответа). Первый ответ
также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х
-1)/(2sin 2х – 3)
= 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х =
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего,
заметим, что левая часть нашего уравнения
представляет собой периодическую функцию с
периодом 2. Следовательно, достаточно найти
решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х < 2
(один раз “обойти” круг), затем к найденным
значениям прибавить 2k.
Неравенству 0 х < 2 удовлетворяют три числа:
/3,
, 5/3.
Первое не подходит, поскольку sin 2/3 = 3/2,
знаменатель обращается в нуль.
Ответ для первого случая: х1 = + 2k, х2 = 5/3 + 2k
(можно х2 = – /3 + 2k), k€z.
sin х = 1/2.
Найдём решение этого уравнения,
удовлетворяющие условию 0 х < 2. Их два: /6, 5/6. Подходит
второе значение.
Ответ: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Найти корни уравнений: v(cos 2х + sin 3х) = v2 cos х.
Решение этого уравнения распадается на два этапа:
1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей;
2) отбор тех корней, которые удовлетворяют
условию cos х
0. При этом (как и в случае алгебраических
уравнений) заботиться об условии cos 2х + sin 3х 0 нет
необходимости. Все значения k, удовлетворяющие
возведённому в квадрат уравнению, этому условию
удовлетворяют.
Первый шаг приводит нас к уравнению sin 3х = 1,
откуда х1 = /6 + 2/3k.
Теперь надо определить, при каких k будет иметь
место cos (/6 + 2/3k) 0. Для этого достаточно для k
рассмотреть значения 0, 1, 2, т.е. как обычно
“обойти один раз круг”, поскольку дальше
значения косинуса будут отличаться от уже
рассмотренных на величину, кратную 2.
Ответ: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k,
k€z.
11. Решить уравнение: sin8 х – cos5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 < a < 1 то at убывает с ростом t.
Значит, sin8 х sin2 х, – cos5 х cos2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin8 х – cos5 х sin2 х + cos2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin8 х = sin2 х, cos5 х = cos2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ: /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos2 х – 4 cos2 3х cos х + cos2 3х = 0.
Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos4 3х – cos2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos2 3х 0 или cos2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и
cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если 
cos 3х = 1, то из
уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k.
Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ: /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin4 x + cos4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение: Преобразуем выражение sin4 x + cos4 x,выделив полный квадрат: sin4 x + cos4 x = sin4 x + 2 sin2 х cos2 х + cos4x – 2 sin2 х cos2 х = (sin2 х + cos2 х)2 – 2 sin2 х cos2х, откуда sin4 x + cos4 x = 1 – 1/2 sin2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t1 = 1/2, t2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1)к/6 + k, k€z, х = (- 1)к//12 + k
/2, k€z .
уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.
Ответ: (- 1)к//12 + k /2, k€z .
14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.
Решение: Решим уравнение методом оценки.
Поскольку при всех значениях а выполнено
неравенство sin а1,то исходное уравнение
равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х =
/2 + 2k, k€z и х = /18 + 2n, n€z.
Решением будут те значения х, при которых
выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому
из полученных ответов следует отобрать только х
= /2 + 2k, k€z.
Ответ: /2 + 2k, k€z.
15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos2 x – v3 sin 2х.
Решение: воспользуемся формулой:
сos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – 2 sin2 x = 2 cos2 x – 1;
и перепишем уравнение в виде
2 cos x = – cos 2х – 3 sin 2х.
Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:
2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),
которое можно записать в виде
2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),
где очевидно, а = /3.
Преобразуя правую часть полученного уравнения с
помощью формулы:
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
приходим к уравнению
2 cos x = – 2 cos (2х – /3),
откуда
cos x + cos (2х – /3) = 0.
Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,
cos x + cos (2х –
Это уравнение расщепляется на два уравнения
cos (3х/2 –
cos (
решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.
Ответ: 2/9(2 + 3n), 2/3(2 + 3 k), n, k€z.
16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?
Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:
а sin x – 4 cos x = (а2 + 16) sin (x – y), где y
определяется из условий sin y = – 4/(а2 + 16), и cos y = а /(а2 + 16).
Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде
(а2 +
16) sin (x – y) = 5,
sin (x – y) = 5/(а
2 + 16), это уравнение имеет решение при
условии 5/(а2 + 16) 1.
Решим это неравенство:
5/
5
а2 + 16
а2
а € (-
;-3] U [3;
Ответ: (-;-3] U [3; ).
17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?
Решение: поскольку 0 sin 2
x 1, и -1 cos (x +2а) 1 левая
часть уравнения может равняться 5 тогда и только
тогда, когда одновременно выполняются равенства
sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.
Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.
sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;
х =
х =
2 а = 2
а =
а = –
а = –
Ответ: – /4 + m/2, где m€z.
Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.
Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.