Основные дидактические цели:
- Обучающая:
- воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений;
- уметь применять теоретические знания для решения задач.
- Воспитывающая:
- воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;
- воспитывать умение работать самостоятельно.
- Развивающая: способствовать развитию внимания.
Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).
Ведущий метод обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный(опрос), практически-репродуктивный( выполнение заданий), наглядно-иллюстративный (карточки, учебник, раздаточный материал).
Структура урока
| Этапы урока | Преподаватель | Что делает ученик? | С какой целью? |
|---|---|---|---|
| I этап: Организационно мотивационный цель: сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала.(2 мин) |
Сообщает тему урока, цель урока | Слушают | Организация проведения урока |
| II этап: Актуализация знаний цель: актуализация опорных знаний учащихся. (5мин) |
Устная работа | Учащиеся отвечают на вопросы | Повторение материала, который пригодится на уроке |
| III этап: Новый материал цель: Воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений. Уметь применять теоретические знания для решения задач. (40 мин) |
Самостоятельная работа. Решение задач |
Учащиеся работают делают записи в тетради, решают задачи на первичное закрепление. | Изучение нового материала |
| IV этап: Закрепление и проверка усвоения материала цель: проверка усвоения материала. (27 мин) |
Учащиеся: решают задачи. | Учащиеся при решении задач делают записи в тетради. | Закрепление пройденного материала. |
| V Домашняя работа (3 мин) |
§ | Учащиеся записывают задание | Актуализация знаний необходимых на следующий урок. |
| VI Итог урока (3мин) |
Подведение итогов урока | Выставление оценок | Воспитание чувства уважения между учащимися. |
Ход урока
I этап: Организационно – мотивационный
Цель: Взаимное приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку. Организация внимания - сообщение темы и цели урока.
II этап: Актуализация знаний
Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала.
III этап: Новый материал
Цель: Рассмотреть общие правила комбинаторики и типы соединений, способы решения задач.
При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами» Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.
Общие правила комбинаторики
Правило суммы
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В - k способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать m + k способами.
Пример: В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Конечно, n способами.
Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k: различными способами, всего n = m + k способами.
Правило произведения
Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать m·k способами.
Задача: В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212.
Задача: Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?
Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел n = m ·k = 9·10 =90.
Следствие
Правило произведения справедливо и для любого конечного числа объектов.
Если некоторый объект Аi (i = 1, 2, … , n) можно выбрать Кi (i = 1, 2, … , n) способами (причем, каждый следующий объект выбирается независимо от выбора предыдущего объекта), то объекты А1, А2, … , Аn можно выбрать k = k1 · k2 ·…· kn способами.
Например, сколькими способами можно составить трехзначное число, делящееся на 5? Число имеет три позиции, каждую из которых мы назовем событием:
- событие А1 –число сотен, их можно выбрать k1 =9 (все цифры, кроме 0) способами;
- событие А2 – число десятков, их можно выбрать k2 = 10 (все цифры, включая 0) способами;
- событие А3 – число единиц, которым удовлетворяет только две цифры: 0 и 5, следовательно, k3 = 2. Таким образом, всего получаем n = k1 · k2 · k3 = 9 · 10 · 2 = 180 чисел.
Типы соединений
Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.
Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.
Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}.
Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ø.
Множества элементов называются соединениями.
Различают три типа соединений:
- перестановки из n элементов;
- размещения из n элементов по m;
- сочетания из n элементов по m (m < n).
Перестановки. Число перестановок
На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n - 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n - 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1.
В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.
Определение: Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.
Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества. Число перестановок из n элементов обозначают Рn. Возьмем одноэлементное множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р1 = 1.
Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.
Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р2 = 2.
Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}.
Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества Р3 = 3 · Р2 = 3 · 2 · 1 = 6.
Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!
Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.
Пример:
Найдем значения следующих выражений:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
Задача1: Чему равно а)Р5 б) Р3
Задача 2: Упростите а) 7! · 8 = 8! б) 12! · 13 ·14 = 14! в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!
Размещения. Упорядоченные множества
Определение: Множество вместе с заданным порядком расположения его элементов называется упорядоченным множеством. Если в упорядоченном множестве изменить расположение элементов, то мы получим другое, отличное от первого множество.
В комбинаторике конечные упорядоченные множества называются размещениями.
Число размещений из n элементов по m обозначают Anm (читают А из эм по эн).
При m = 0 по формуле получаем: An0 = 1.
Это верно: существует только одно пустое множество, оно является подмножеством любого множества.
Заметим еще, что 0! = 1; 1! = 1; и Ann = Рn = n!
Пусть исходное множество состоит из букв (а, в, с). Ставится задача: посчитать количество размещений из трех элементов по два: A32.
Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмножества из данных трех элементов а, в, с.
Для наглядности составим таблицу, где и запишем все возможные подмножества.
| а | в | с | |
|---|---|---|---|
| а | (а,а) | (а,в) | (а,с) |
| в | (в,а) | (в,в) | (в,с) |
| с | (с,а) | (с,в) | (с,с) |
Размещения с повторениями – каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен более чем одним экземпляром (включая элементы диагонали таблицы).
| Число возможных размещений из n различных элементов по m находятся по формуле: |  |
В дальнейшем размещения без повторений мы будем называть одним словом – «размещения».
Размещение без повторений – каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (исключая элементы диагонали таблицы)
Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмножества из данных трех элементов а,в,с. (а,в); (а,с); (в,с); (в,а); (с,а); (с,в).
На первое место можно поставить любой из трех элементов, это можно сделать тремя способами, на второе место – любой из оставшихся элементов, то есть двумя способами, всего получим 3 · 2 соединений,т.е. A32 = 3 · 2 = 6.
Задача 1: Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?
Решение: Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A94:
Контрольные вопросы:
- Что такое комбинаторика.
- Правило суммы и произведения?
- Что такое размещение?
- Как вычислить размещение m элементов из n?
- Что такое перестановка?
- Как вычислить число перестановок n предметов?
Сочетания и некоторые свойства сочетаний
Сочетания из n по m m-элементные подмножества n-элементного множества.
Пример: Решим следующую задачу. Пусть в коробке находится пять пронумерованных шаров {1, 2, 3, 4, 5}. Перечислите все способы выбора двух шаров из этих пяти.
Каждому способу выбора двух шаров из пяти соответствует некоторое двухэлементное подмножество пятиэлементного множества. Перечислим эти подмножества:
Обратите внимание, что подмножества (2,1) и (1,2) содержат один и тот же набор элементов и поэтому отождествляются. Итак, у пятиэлементного множества 10 двухэлементных подмножеств.
Рассмотрим все подмножества, состоящего из трех элементов {a, b, c}.
Их восемь:
- Ø – пустое множество, как принадлежащее любому множеству;
- {a}, {b}, {c} – одноэлементные 3 множества;
- {a, b}, {a, c}, {b, c} – двухэлементные 3 множества;
- {a, b, c} – одно множество из трех элементов, то есть полное рассматриваемое множество.
В сумме получили 8 различных подмножеств.
Число подмножеств, m элементов в каждом, содержащихся во множестве из n элементов, обозначается Cnm (читается "це из эн по эм") Буква C выбрана для обозначения числа сочетаний в связи тем, что по-французски слово "сочетание" - "combinaison" - начинается с этой буквы.
C52 = 10
В комбинаторике конечные множества называются сочетаниями.
В сочетаниях нас интересует только сами элементы множества и не интересует их порядок.
Важно, какие конкретно элементы множества входят в каждое соединение.
Число сочетаний, перестановок и размещений связаны по формуле:
Действительно, чтобы получить все размещения из n элементов по m надо:
1) взять n-элементное множество;
2) выделить m-элементное подмножество. Это можно сделать Cnm - способами. Всего получим Cnm упорядоченных множеств, так как в каждом m – элементном подмножестве возможно установить Рm порядков, где Рm – число перестановок из m элементов.
| Следовательно, | | , а |  | . |
Подставив сюда уже известные нам выражения
и Рm = m!, m ≤ n и Cn0 = 1, получим
 | что можно записать иначе: |  |
Сочетания с повторениями
Сочетание с повторениями – каждый элемент, входящий в соединение, может быть представлен более чем одним элементом:
В дальнейшем сочетание без повторений мы будем называть одним словом – «сочетание».
Задача: В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными. Сколькими способами это можно сделать?
Замечание
При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок в сочетаниях. Если порядок учитывается, то есть составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если порядок не учитывается, то есть составляются множества, то это – сочетания.
IV этап: Закрепление и проверка усвоения материала
Цель: Закрепить в памяти учащихся те знания и умения, которые необходимы им для самостоятельной работы по новому материалу. Добиться в ходе закрепления повышения уровня осмысления материала, глубины его понимания.
Ю.М. Колягин Алгебра и начала анализа стр. 135 №329; стр. 137 №337.
Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся
| Сочетания | Размещения |
|---|---|
| 1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? {Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже. Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.  |
1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? {Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены. Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.  |
| Перестановки | |
| 1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке? Pn = n! |
2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом? |
Самостоятельная работа по вариантам
| 1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей? | 4. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг штоке? | 7. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пирожных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных? |
| 2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок? | 5. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки? | 8. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира? |
| 3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке? | 6. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт? | 9. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собрание председателя и секретаря? |
V Домашняя работа
Сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения, мотивировать необходимость выполнения работы.
По карточкам.
VI Итог урока
Литература
- Алгебра и начала анализа учебник 11 класс. Ю.М. Колягин Москва 2005г
- Алгебра и геометрия. Методика и практика преподавания. А.Ф. Кажарин Феникс. Ростов-на-Дону 2002г