Пояснительная записка.
Урок проводится для учащихся 11 класса экономического профиля по программе для классов с углубленным изучением математики, владеющих основными методами решения уравнений с модулем, логарифмических, тригонометрических, содержащих переменную под знаком корня.
Уравнения с параметром всегда вызывают затруднения. На данном уроке, после обобщения на нескольких примерах метода решения, учащиеся решают уравнение, содержащее параметр под знаком корня. Для более сильных учащихся предлагается решить с использованием графических подходов.
Резервное время на обобщающие уроки итогового повторения к ЕГЭ выделяется за счет:
– оптимального календарно-тематического планирования (в 10 классе учащиеся изучают все виды функций, расширяется возможность для решение уравнений и неравенств);
– использование лекционно-блочной системы работы с учетом метода мини-макса (выдаю материал для математически одарённых детей, на которых рассчитана данная программа, а спрашиваю по способностям, низшей границей требований является школьный стандарт образования);
– учащиеся владеют навыками самостоятельной работы и исследования проблемных ситуаций.
Проведение урока занимает 60-80 минут.
На уроке используется презентация “Иррациональные уравнения” (Приложение), раздаточный материал, “Памятки для подготовки к ЕГЭ”
Учащиеся работают на обычной “закрытой” доске и интерактивной , в случае необходимости учитель имеет возможность использовать слайды с решениями из презентации. Допустима и временная коррекция смены слайдов при работе ребят за компьютерами.
Работа в парах учит ребят сотрудничеству, формирует активный интерес, позволяет ученикам проводить коррекцию ошибок в усвоении содержания.
Методы, используемые на уроке:
1) частично-поисковый,
2) дедуктивные методы (от общего к частному),
3) методы самостоятельной работы методы
стимулирования и мотивации,
4) методы контроля и самоконтроля.
Тема “Решение уравнений, содержащих переменную под знаком корня”
Цели. Учебная:
Повторить и углубить знания учащихся по решению уравнений с модулем, логарифмических, тригонометрических, содержащих переменную под знаком корня.
Систематизировать знания учащихся в установлении и осмыслении взаимосвязи между понятиями, формировать целостный образ при решении конкретных задач, приводящих к единому методу решения целого класса задач, содержащих переменную под знаком корня.
Учить применять имеющиеся знания при решении уравнений с параметром, вырабатывать навыки логично и последовательно излагать мысли, рассматривать все возможные случаи, выбирать оптимальный вариант решения.
Воспитательная:
Продолжить формирование психологической готовности учащихся к применению имеющихся знаний в нестандартных заданиях на ЕГЭ, повышение конкурентоспособности, уверенности в себе.
Через реализацию уровневой системы обучения, продолжить выработку волевых приёмов внутренней мотивации:
– информированность об обязательных
результатах,
– формирование ответственного отношения,
– познавательные затруднения,
– самооценка и коррекция своей деятельности,
– рефлексия поведения,
– прогнозирование будущей деятельности.
Развивающая:
Продолжить развитие теоретического мышления путём применения анализа, абстрагирования, обобщения.
Тип урока: комбинированный, концентрированное повторение с выходом на обобщение и систематизацию знаний.
Формы работы: коллективная, в парах, индивидуальная.
Наглядность:
девиз урока,
памятка для подготовки к ЕГЭ,
лекции учащихся,
опора,
презентация “Иррациональные уравнения”
Ход урока
I. Оргмомент.
Прочитайте мысль русского геолога, географа, исследователя Сибири, в честь которого названы горные хребты в Туве, минерал “обручевит”, академика В.А.Обручева
Способности, как и все мускулы, растут при тренировке. (слайды 1,2)
– Согласны ли вы с его мнением?
– Выразите своё отношение.
– А что значит тренировать способности относительно математики?
II. Актуализация знаний.
Слово “задача” по-английски “problem” - проблема.
Но для решения поставленных математических проблем одних способностей недостаточно, нужны знания, умение работать с математическим материалом (слайд 3)
Предлагаю в парах обсудить некоторые математические суждения (слайд 4)
№1. Каким свойством должно обладать число b,
чтобы b=
?
№2. О переменных х и у известно, что выражение а) 
, б) lg(ху)
определено.
Следует ли из этого, что х и у имеют одинаковые знаки?
№3. Даны пары выражений
а) 
; б) 
; в) 
; г) lg x+lg y и lg(xy).
-Какие из них при переходе от первого ко второму:
сужают область определения,
расширяют область определения,
не изменяют область определения?
Выслушиваются ответы и дополнения учащихся. Записи ведутся на доске.
№1. b
№2. a) нет, т. к. может х=0 или у=0; б) да.
№3. а) сужается, ху
0 
;
б) расширяется, могут быть разных знаков х и у;
в) сужается, 
,
для частного 
г) расширяется, ху>0 
Итог.
Вы провели небольшое исследование.
-Где могут пригодиться эти теоретические знания?
III. Постановка темы и цели.
Посмотрите на задания и определите тему урока. Какая цель? Вы уже решали такие уравнения? (слайд 5)
№1. log 2,1 
№2. 
№3. х2-3х+
№4. 
№5. 
После ответов учащихся формулируются тема и цель (слайды 6,7)
Цель урока: повторить и углубить знания по решению тригонометрических, логарифмических, уравнений с модулем, содержащих переменную под знаком корня.
Иррациональные уравнения раньше встречались только в части В, а сейчас усложнился обязательный уровень, их перенесли в часть А, т.е. на “3” надо уметь решать эти уравнения.
Я предлагаю вам начать работу по памятке по подготовке к экзамену.
Памятка (слайд 8)
Как получить планируемый результат на ЕГЭ (“5”,
“4”, поступление).
1.Приём “спирального движения” по тесту.
Просмотри сразу весь тест и отметь всё, что можешь решить сразу.
2. Оценка объективной и субъективной трудности заданий, разумный выбор этих заданий.
Начинай с легкого, не задерживайся на отдельном задании.
3. Жесткий самоконтроль времени.
Планируешь получить “4” или “5” на часть А 45мин.,
в разделе В нужно сделать 7-8 заданий за 1 час,
в разделе С не менее 2-3 заданий за час.
4. Делай прикидку результатов и минимальную подстановку при проверке сразу после решения.
5. Настройся три часа подряд заниматься математикой с полной отдачей.
Представьте себе, что перед вами материалы ЕГЭ (слайд9)
– Какой первый шаг предлагает памятка? Прочитать вслух (чтение “по спирали”).
– Второй шаг (оценка трудности).
– Отметьте самое лёгкое и самое трудное задание для вас.
– Как называются эти уравнения? (слайд 10)
– Кто может записать все пять уравнений в общем
виде? 
Какими методами решают такие уравнения?
- 1) уединить радикал 2) возвести в степень 3) сделать проверку.
- Применить схему равносильных переходов:
IV. Самостоятельная, индивидуальная работа.
Учащимся предлагается решить двух уравнений по выбору. Засечь время.
Двое учащихся решают на “закрытой” доске (среди решенных оказываются уравнения все, кроме №2. Если уравнение с параметром кто-то решал, предложить продумать другой способ решения)
Коллективная проверка работы
Использовать методы: на слух с комментированием, самоконтроль по готовому решению, с доски с защитой, в случае необходимости использовать слайды презентации.
Кто решал №1?
log 2,1 
Решим квадратное уравнение: D=225-144=81, х=
.
– Какое значение является решением? Почему? Записать и прочитать ответ (слайд 11)
Кто решал № 4?
Объясните, почему не рассматривается первая из систем? (слайд 13)
– Кто решал №5?
Обратить внимание, что неравенство можно не решать (слайд 14)
Кто решал №3? х2-3х+
Определите способ решения третьего уравнения? Как вы думаете правильный выбор метода? Почему?
Решение: Сделаем замену t=
,
тогда t2 = х2-3х + 5,
t2 + t -12=0,
t = 3 или t = – 4,
x2 -3х – 4 = 0 ,
х = 4 или х = -1 .
Проверка на равносильность переходов и запись ответа (слайд 12)
Вывод. Выбирается всегда оптимальный и по методам и по времени способ.
Вывод учителя.
Вы действовали по памятке, начали решать с наиболее легких для вас.
Какое уравнение на ваш взгляд наиболее трудное? В чем его трудность?
Какой метод по вашему мнению рациональнее?
V. Углубление знаний учащихся.
Я предлагаю решить уравнение №2 в лекции.
– Ребята, засекаем время. В какой части экзамена могут быть такие уравнения? (слайд 15)
– Почему? (Это задание из части С с параметром.)
– В какой форме записывается решение?
– Сколько заданий нужно решить за час?
– Сформулируйте задание к этому уравнению (слайд 16)
При всех значения параметра а найдите решения этого уравнения.
– Как найти решения данного уравнения?
Решение: (слайд 17)
Действуем по схеме: 
.
Решим уравнение: 4х 2 – 8х + 1-а=0
х2 -2х +
,
D = 4-(1-а) =а+3.
Уравнение не имеет корней, если D<0, т. е. при а< -3,
уравнение имеет совпадающие корни х1=х2=
, если а=-3,
уравнение имеет два различных корня х1,2=
, если а> -3.
– Можно ли записать ответ? (слайд 18)
Данное уравнение выполняется с условием, что х 
0,5.
– Как выяснить, при каких а это выполняется?
Сравним:
1) 
;
2) 
Необходимо решить иррациональные неравенства:
1) 
2)
а+3
.
Чтобы избежать решения иррациональных неравенств, запишем уравнение в виде
4х 2 – 8х + 1=а.
– Как удобно решить это уравнение? (слайд 19)
Построим в одних осях координат графики
у=а (прямая параллельная оси х) и у=4х 2 – 8х + 1 (парабола у=4(х-1)2-3) (слайд 20)
При х
0,5 у принимает
значения [-3; 
)
– Укажите количество точек пересечения графиков.
– Выясните, какой из корней меньший?
<
Развертка по параметру.
Ответ: при а<-3 решений нет; при а=-3 х=1;
при -3<а
;
при а>-2 х=
.
Сколько времени решали задание? Как считаете укладываемся во времени?
VI. Итог урока.
Сегодня мы начали работать по памятке “Как готовиться к ЕГЭ”
Как вы считаете, какой пункт самый трудновыполнимый?
Практика показала, что выпускники не умеют три часа подряд заниматься математикой.
Поэтому, следуя совету Обручева, я предлагаю вам, хотя бы раз в неделю, заниматься плодотворно математикой три часа подряд, тренировать свою волю и работоспособность.
– Как вы считаете, уроки в такой форме вам нужны?
Вы все определились с предполагаемым результатом, задания какой части вы предлагаете разбирать на уроках подготовки к ЕГЭ?