Программа элективного курса "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Курс «Решение тригонометрических уравнений, требующих отбора корней» является элективным. Он создан для реализации в профильных классах.
Роль данного раздела математики во вступительных экзаменах исключительно велика. Одновременно с  этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа нередко связана с понятием объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получаются серии корней, и в окончательном варианте ответ записывается в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся решения или этого можно не делать?
С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой  и правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.
Данный курс, разработан в связи с тем, что в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. При этом развивающий смысл раздела был практически отброшен.  Увеличение объема содержания и установка на формально – логическое его изучение снизили уровень интереса и мотивации в изучении данной темы, что вызвало в полнее прогнозируемые последствия – дети стали хуже усваивать данный учебный материал. В нынешнее время тригонометрический материал распределен между курсами алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа. Тем самым анализ учителем возможных подходов к планированию и организация изучения тригонометрии в школе, распределению материала, особенностей избранных программ обучения, предпочтений самого учителя, желаний и способностей учащихся становится чрезвычайно актуальным. Поэтому главным основанием для создания данного элективного курса для учащихся – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в ВУЗе.
Так как материал по данной теме входит в школьную программу, число часов, отводимых программой для изучения этой темы не позволяет изучить ее достаточно глубоко, поэтому полезно организовать изучение тригонометрии «параллельно» с основным курсом алгебры и начал анализа в 11-м классе. В качестве обязательных результатов обучения по теме: «Решение тригонометрических уравнений, требующих отбора корней» можно назвать:

1. Умения и навыки находить все решения;
2. В связи с преобразованием уравнения не должен быть упущен вопрос о возможности приобретения или потери корней.

Содержание курса, основанного на адаптированной методике решения тригонометрических уравнений направлено в помощь учащемуся в выборе профиля, в его подготовке к математической олимпиаде или конкурсу.
Курс поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний и методов решения тригонометрических уравнений, способствует качественному и осознанному усвоению базового курса математики. А также данный курс служит для внутри профильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения курса тригонометрии в школьной программе.
    Цель курса:

1. Обучающая: Сформировать умения распознавать и применять необходимый способ отбора корней при решении тригонометрического уравнения,  через обобщение и анализ результатов индивидуальных и коллективных исследований, а также через самостоятельную и практическую деятельность.
2. Развивающая: Развитие индивидуальных качеств мышления: активности, самостоятельности, глубины, широты, быстроты, систематичности, убедительности
3. Воспитательная: Воспитание потребностей в приобретении и углублении знаний; вырабатывать у учащихся умения: овладевать навыками и умениями применять знания на практике;   умение вести диалог.   

    Задачи  курса:

• Расширить представления учащихся о типах тригонометрических уравнений и  способах решения тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней за счет развития представлений о классификации  тригонометрических уравнений;
• Убедить в необходимости овладения способами выполнения математических действий;
• Развитие способностей к самопроверке;
• Через обучение использованию неравносильных переходов и нестандартных приемов сформировать у учащихся умения решать тригонометрические уравнения, требующих для своего решения отбора корней,    классифицированные по способу постановки задачи;
• Способствовать созданию положительной мотивации обучения тригонометрии;
• Способствовать развитию личностной ориентации учащихся в образовательном процессе и ответственности за индивидуальный выбор;
• Формирование познавательных, коммуникативных и информационных компетенций.

Основные формы организации учебного процесса.
Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется на занятиях и дома, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Первое занятие рекомендуем проводить в форме семинара, посвященного рассмотрению вопросов данной темы, корректировке знаний. Остальные занятия подразумевают самостоятельное изучение учащимися определенного теоретического содержания учебного пособия (дома); наглядно – иллюстративный метод изучения, совместно с частично – поисковым, а также самостоятельную и практическую работу, как индивидуально, так и  группах. Вместе с этим анализ самостоятельно изученного материала, выявления точек зрения (диалог). Ученики самостоятельно, в микро группах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы. При таком подходе создаются некоторые условия для осуществления диалога – элемента личностно – ориентированного обучения.  При этом используются различные формы самостоятельной работы  с целью более эффективного усвоения материала, такие как:

• Подбор примеров;
• Ответы на вопросы для самопроверки;
• Тестирование.

Критерии оценки успешного прохождения курса.
Учащиеся, в результате курса, должны:

• Знать определение тригонометрического уравнения, их виды и способы решения;
• Иметь представление о методах решения тригонометрических уравнений;
• Знать случаи, при которых, происходит отбор корней: 1) случай, когда при решении происходит расширение области определения уравнения; 2) случай, когда требуется найти значение неизвестного, удовлетворяющее заданным условиям.
• Знать способы, позволяющие сделать отбор корней при решении тригонометрических уравнений;
• Уметь распознавать вид тригонометрического уравнения, требующих для своего решения отбора корней;
• Уметь правильно изображать на единичной окружности точки, соответствующие значениям тригонометрических функций, и в случае «табличных» значений уметь определять значения аргументов этих функций;
• Уметь  применять тригонометрические формулы для упрощения выражений;
• Владеть аппаратом способов решения тригонометрических  уравнений, требующих для своего решения отбора корней.

Организация и проведение аттестации учеников.
Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений и навыков по данной теме, а также развитие познавательного интереса. При этом должна использоваться преимущественно качественная оценка выполнения заданий, хотя возможно и итоговое тестирование.
Объём заданий варьируется в зависимости от уровня подготовленности школьников. Кроме того, ряд заданий дифференцируется по трём уровням сложности, причем уровень сложности определяется самостоятельно, что поможет учащимся оценить свой потенциал с образовательной точки зрения  и несет ответственность за свой выбор.
Самостоятельная работа учащихся  предполагает их выход на один из трех уровней      освоения теоретического материала и практических  навыков.
Тематическое планирование.
На изучение курса целесообразно отвести 18 аудиторских часов (академических часов), распределив аудиторную нагрузку по темам следующим образом:

Занятие 1.
Контрольная диагностика.
Цели: Выявить степень овладения общеучебными и специфическими операциями и действиями, определить типичные и индивидуальные ошибки, выявить причины затруднений по результатам выполнения заданий комбинированного характера, направленные на выявление степени понимания изученного ранее материала.
Занятие 2.
Тема: Объединение семейств значений.
Цели: 1. Рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений, требующие для своего решения объединения семейств.

2. Сформировать навыки  объединения серии ответов.

Задача:Уметь изображать найденные корни уравнения точками единичной окружности, причем для каждой серии корней использовать свое обозначение. Добиваться более компактной записи ответа, объединяя семейства решений.
Занятия 3-5.
Тема: Преобразования уравнений, приводящие к потере корней или к появлению постороннего корня. Когда необходима проверка.
Цели:1. Сформировать представление о  преобразовании  уравнения, приводящее  данное уравнение к уравнению, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.
2. Сформировать навыки применения преобразования для рационального решения уравнения и учитывать последствия таких преобразований.
3. При решении тригонометрических уравнений рассмотреть, когда необходима проверка найденных решений.
Задачи: знать что происходит с уравнением при возведении в степень, при применении некоторых формул в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателей, сокращение дроби, приведение подобных). Рассмотреть решения уравнений, где применяется тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения (знать, к чему приведет использование этих тождеств «справа налево» и «слева направо»). Используя полученные знания создать для себя опорную схему. Найти в дополнительной литературе уравнения, подходящие к теме занятия и попытаться осуществить поиск решения уравнения. 
Занятия 6 - 9.
Тема: «Возникновение ситуации отбора корней. Возможные подходы к отбору корней тригонометрического уравнения»
Цели: 1.  Познакомить школьников с приемами отбора корней из множеств значений неизвестного.
2.Выяснить, чем может быть вызван отбор корней и какие приемы рациональнее использовать в данном случае.

3. Выявить достоинства и недостатки  каждого из способов отбора корней тригонометрического уравнения.

В итоге учащиеся должны уметь выбрать  рациональный прием для отбора корней при решении тригонометрического уравнения.
Занятие 10.
Тема:  Решение однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени.
Цели: 1. Развитие навыка отбора корней при решении однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени, заданных в неявном виде.
2. Ознакомиться самостоятельно со  способом решения однородного тригонометрического уравнения 1 и 2  степени.
Задачи: Самостоятельное ознакомиться с «универсальной подстановкой», рассмотреть способы решения тригонометрических уравнений данного типа при решении специально подобранных уравнений.
Найти в дополнительной литературе уравнения, подходящие к теме занятия и попытаться осуществить поиск отбора корней при решении уравнения.  В итоге учащиеся должны уметь распознавать  тип уравнения и  применять  рациональный способ  отбора корней при его решении.
Занятия 11-13.
Тема: Иррациональные тригонометрические уравнения, уравнения с дополнительными условиями
Цели: 1. Доказать справедливость утверждения:
уравнение (f(x))ⁿ = (g(x))ⁿ , при n  -четном натуральном  числе является следствием уравнения f(x) = g(x)  на конкретных примерах.
2. Реализовывать данное утверждение при  решении  иррациональных тригонометрических уравнений.
3. Рассмотреть приемы решения уравнений с дополнительными условиями.
Задачи:  На первых двух занятиях уделить внимание иррациональным уравнениям. Самостоятельное изучение учащимися определенного теоретического содержания (дома) и  рассмотрение уже решенных тригонометрических уравнений поможет сформулировать вывод: возведение уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Отработать способы проверки.
В итоге учащиеся должны знать приемы решения иррациональных уравнений, уравнений с дополнительными условиями. Уметь выбирать рациональный способ отбора корней  при решении уравнений. Уметь делать отбор корней не одним способом.
Занятие 14 - 16.
Тема: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя метод разложения на множители и метод введения новой вспомогательной переменной.
Цель:  1. Сформировать навыки выбора рационального способа отбора корней  при решении тригонометрических уравнений  основными методами:
а) разложение на множители;
б) введение новых переменных.
2.Сформировать навыки выбора рационального решения.
Задачи: Продолжить формирование навыков объединения семейств до «автоматизма», преодолеть трудности, связанные с делением окружности ∑ на очень мелкие доли.
Занятие 17.
Тема: «Решение  различными  способами тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней»
Цели: 1.  Сформировать умения распознавать способы решения тригонометрических уравнений и реализовывать их к решению различных  типов тригонометрических уравнений, в частности  смешанного.
2. Сформировать умения выбирать рациональный способ отбора корней при решении уравнений,  умения рациональной записи ответа.
Задачи: Подобрать разноуровневые уравнения, позволяющие привлечь к их решению всех слушателей курса. Организовать работу в группах и индивидуально для самостоятельного определения способа решения уравнения,  последующего поиска одного или нескольких решений  и подробного оформления.
В итоге учащиеся должны уметь применять полученные знания и отработанные умения, решать уравнения, выбирая рациональный способ и осуществлять проверку решения. Ориентироваться в выборе конкретного способа  решения  большого числа различных тригонометрических уравнений.
Занятие 18.
Тема: Контрольная работа.
Цель: Выяснить уровень усвоения учащимися знаний и умений решать уравнения некоторыми способами.
Контрольная работа включает в себя тригонометрические уравнения на выбор учащимися.  При решении уравнений необходимо:

• Выделить рациональный способ отбора корней при решении уравнений и обосновать свой выбор.
• Показать решение уравнений в развернутом виде (все этапы решения).