«Высшее назначение математики…
состоит в том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе, который
нас окружает».
Норберт Винер [6]
Более семи лет длился эксперимент под названием ЕГЭ. Практически все эти семь лет я со своими учениками успешно участвую в этом эксперименте. Хочется отметить, что система разработки заданий, а также система их распределения по регионам и школам разработана так, что угадать, какие задания достанутся вам, практически невозможно. Поэтому одним из существенных факторов, влияющих на достижение успеха при сдаче ЕГЭ по математике, да и просто на достижение целей обучения математики, является понимание предмета математики. В связи с этим, хочется отметить, что основная задача, стоящая перед учителем математики, заключается в развитии умственных способностей учащихся, их способности овладеть языком математики, развитии их умения владеть математическими методами, а не заполнении ячеек их памяти огромным количеством формул, типичных задач и примеров.
Те дети, которые рассчитывают на память и не доводят полученные знания «до разума» очень часто испытывают затруднения при освоении новой порции материала, начинают плохо успевать в старших классах, там, где объем материала увеличивается, а времени отводится не много. И, конечно же, такой ученик испытывает и трудности при подготовке к ЕГЭ, а порой и «шок» при встрече с незнакомым заданием во время экзамена.
«Великий математик Карл Фридрих Гаусс, в своё время, назвал математику «царицей всех наук». Математика скорее добрая фея, только получить у неё можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент - математические методы» писал Петровский И.Г.[6]. Одним из таких инструментов является метод введения новой переменной, который широко используется в математике. Привожу лишь небольшой список, где возможно использование этого метода в школьном курсе математики:
- Вычисления с логарифмами и радикалами.
- Преобразование буквенных рациональных выражений, иррациональных и выражений, содержащих степень с действительным показателем; преобразования с логарифмами.
- Отыскание наибольших и наименьших значений функций.
- Решение уравнений.
- Решение неравенств.
- Отыскание формулы, задающей функцию.
Для того чтобы помочь детям избежать проблем, связанных с ЕГЭ, важно начиная уже со среднего звена работать на «перспективу», снабжая их той самой «волшебной палочкой», которая поможет им в дальнейшем.
Стоит лишь увидеть тестовые задания, чтобы понять, о чём идёт речь. Рассмотрим некоторые из них.
| 1.[1] Найдите значение выражения |  | , если a = 9, b = 16. |
Решение:
Найдём наименьший показатель степени каждой переменной; обозначим a1 / 2 = x, b1 / 2 = y, a = x2, b = y2, a3 / 2 = x3, b3 / 2 = y3 тогда выражении примет вид | = x + 3y - 2y = x + y, значит, 91 / 2 + 161 / 2 = 3 + 4 = 7. |
Пример простой, но именно на таких примерах и можно учиться вводить переменные, начиная уже с 8-го, 9-го класса. Что же даёт новая переменная:
- Очевиднее использование формул сокращенного умножения.
- Зависимость между показателями определяет отношение показателя степени каждой переменной к наименьшему показателю, что облегчает в дальнейшем использование данного метода при решении уравнений и неравенств.
- Возможность справиться с заданием.
Рассмотрим другой пример.
| 2.[1] Найдите значение выражения |  | , если x = 1,25. |
Решение:
| Обозначим |  | , тогда выражение примет вид |
В данном случае преимущество использования метода заключается в предотвращении вычислительных ошибок и тоже готовит к решению иррациональных уравнений, при решении которых возможно использование данного метода.
Решение следующих тестовых заданий вообще проблематично, если не прививать привычку использования данного метода при работе с «корнями», не вести такую работу систематически.
| 3.[2] Найдите значение выражения |  |
при x = 6,06. |
Решение:
 | , тогда выражение примет вид |
Далее раскрываем модуль и находим значение, вернувшись к прежней переменной.
| При x = 6,06 |  |
4.[3] Найдите значение выражения
Решение:
| Используем замену: |  | , получим |
| 1) |  |
| 2) |  |
| Возвращаясь к прежней переменной, получаем |  | , тогда | | = |  | = 1,5 при a = 2,25. |
Хочется отметить, что последнее задание интересно еще и тем, что здесь можно ввести не одну замену, а две, обозначив, сопряжённые выражения с корнем четвёртой степени, разными буквами.
Решение:
| Введем замену |  |
Пожалуй, тема использования новой переменной при решении иррациональных уравнений (неравенств) самая интересная и востребованная. Хочется продолжить её и рассмотреть два других задания.
5.[4] Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения
Решение:
| Пусть |  | , тогда уравнение примет вид |
 | , заменяем системой |  |
| Решив квадратное уравнение, получим, |  | значит, решение u = 3. |
| Возвращаясь к замене, получим |  | = 3 тогда x = 4. |
6.[2] Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
 | а, значит, приводится к виду |
 |
тогда, учитывая, что корень определён при всех допустимых значениях t, |
| можно перейти к совокупности |  | . |
| Решим уравнение (*), которое равносильно системе |  | . |
| Данная система решений не имеет, значит, |  | = 1, тогда x = 2. |
Наверное, со мной согласятся многие, что если в задание 5 можно решить иначе, то в задании 6 применить данный метод решения придёт в голову, лишь тем, кто владеет им в совершенстве, кто умеет его использовать и использовал в заданиях типа 5.
С этой точки зрения интерес представляет и следующий пример.
7.[3] Найдите значение функции g(4), если известно, что f(2x - 1) = x - 3 и f(g(x)) = 2x - 5.
Решение:
1 способ (традиционный)
Очевидно, что f(x) = kx + b, тогда f(2x - 1) = k(2x - 1) + b, значит, после раскрытия скобок можно записать | , тогда |  | . |
2 способ (по теме)
Обозначим 2x - 1 = t, тогда x = 0,5t + 0,5, f(t) = 0,5t - 2,5, а, значит, f(g(x)) = 0,5g(x) - 2,5. Сравнивая с условием, получим 0,5g(x) - 2,5 = 2x - 5, значит g(x) = 4x - 5, тогда g(4) = 11.
Конечно, применение данного метода одними заданиями с радикалами не исчерпывается. Поэтому хочется обратить внимание и на другие его области применения, особенно в заданиях ЕГЭ. Рассмотрим еще ряд примеров.
| 8.[1] Найдите значение выражения |  |
Решение:
| = log62 33 + 9log6(4∙3)log6(33∙4) = 9log62 3 + 9(log6 3 + log6 4)(3log6 3 + log6 4) |
Возвращаясь к замене, получим 9(2log6 3 +log6 4)2 = 9(log636)2 = 36.
Очевидно, что данный пример является простым для «сильных» учащихся. Для менее «сильных» учащихся такой пример будет хорошим тренировочным для подготовки к более сложным примерам, возможно, как следующее задание.
9.[2] Найдите значение выражения (log2 3 + log3 16 + 4)(log2 3 - 2log12 3)log3 2 - log2 3.
Решение:
| Пусть log2 3 = a, тогда log12 3 = |  |
, log3 2 = 1 / a, log3 16 = 4 / a и выражение примет вид |
Невозможно, говоря о методе введения новой переменной, обойти вниманием такой раздел школьного курса, как «Тригонометрия». Однако, особо выделить хочется такую область применения метода, как отыскание значений функций, аргументом которых является sin x или cos x.
10.[1] Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значений функции f(x)=2cos3 x - 5sin2 x - 4cos x + 3 на числовой оси.
Решение:
Выполним некоторые преобразования и функция примет вид f(x)=2cos3 x + 5cos2 x - 4cos x - 2. Введём замену cos x = t, t ∈ [-1; 1], тогда функция примет вид f(x)=2t3 + 5t2 - 4t - 2. Теперь задача сводится к отысканию значений функции y = f(t) на множестве [-1; 1]. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке. Функция непрерывна на данном множестве и имеет производную f'(t) = 6t2 + 10t - 4. Стационарные точки: t = 1 / 3 и t = -2, из которых -2 ∉ [-1; 1].| Находим значения функции: f(-1) = 5, f(1) = 1, f(1 / 3) = |  | . |
| Таким образом, функция на указанном отрезке принимает значения из промежутка [ | | ; 5], |
С заданием подобного типа перекликается уже более высокого уровня - задание с параметром.
11.[5] Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 6sin3 x = p - 5cos 2x не имеет корней.
Решение:
1) Ответим на вопрос, при каких значениях р уравнение имеет решения и в ответе запишем дополнительное множество.2) Уединим параметр, приведя уравнение к виду: p = 6sin3 x + 5cos 2x.
3) Воспользуемся формулами и получим в качестве аргумента сложной функции одну тригонометрическую функцию в правой части уравнения: p = 6sin3 x + 5 - 10sin2 x.
4) Введём замену sin x = z. Зная, что z ∈ [-1; 1], найдём значение p(z) = 6z3+ 5 - 10z2 на отрезке [-1; 1].
| 5) p'(z) = 18z2 - 20z. Стационарные точки: |  | . |
Я думаю, перечень заданий и те преимущества, что даёт применение данного метода, а именно: возможность «увидеть» то, что неочевидно и выбрать верное направление решения, сократить время при решении трудных заданий, более красивое решение традиционных заданий, говорят в его пользу. Но для того, чтобы данный метод стал используемым нужно вести кропотливую, систематическую работу над ним, прививать вкус к поиску различных решений одной и той же задачи, организуя поиск решения не только с точки зрения её типичности, но и с точки зрения использования различных методов.
Хочется еще отметить, что при дефиците учебного времени можно построить уроки обобщающего повторения не традиционно по темам курса, а по использованию тех или иных математических методов.
Список используемой литературы
- Клово А.Г.. Единственные реальные варианты заданий для подготовки к Единому Государственному Экзамену. ЕГЭ-2006. Математика. М., ФГУ «Федеральный Центр Тестирования», 2006.
- Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2007. Учебно-тренировочные тесты. Ростов-на-Дону: Легион, 2007.
- Клово А.Г.. Новые контрольно-измерительные материалы по спецификации 2007 года. ЕГЭ-2007. Математика. М.: ООО «Рустест», 2007.
- Клово А.Г.. Экзаменационные материалы для подготовки к Единому Государственному Экзамену. ЕГЭ-2006. Математика. М: ФГУ «Федеральный Центр Тестирования», 2005.
- Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Рособрнадзор, ИСОП – М.:Интеллект-Центр,2006.
- Лиман М.М.. Школьникам о математике и математиках: Пособие для учащихся4-8 классов средней школы. М.: Просвещение, 1981.