Урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе. "Решение уравнений и неравенств методом мажорант"

Разделы: Математика


Ценность урока, прежде всего, в том, что материалы ЕГЭ содержат большое количество заданий, в которых требуются умения находить мажоранты функций, а также решать уравнения и неравенства методом мажорант.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков по теме.

Цель урока:

  • Дидактическая: закрепить приобретенные ранее знания и умения по теме “Метод мажорант” посредством решения примеров, содержащих рациональные, иррациональные и тригонометрические функции.
  • развивающая: формирование мыслительных операций (анализ, рефлексия, проектирование);
  • воспитательная: воспитание у учащихся математической культуры при решении задач.

Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

Задачи для учащихся:

  • Учиться грамотно использовать различные свойства функций для нахождения мажорант, приобретать умения чувствовать, где какие свойства целесообразно применять.
  • Приобретать умения по применению опорных неравенств для нахождения мажорант, вырабатывать умения чувствовать, где какие неравенства целесообразно применять.
  • Отрабатывать умения четко применять алгоритм метода мажорант.

Ход урока.

Приглашаются 3 учащихся для работы у доски.

I. В это время на экране высвечивается теоретический материал по данной теме (см. приложение).

Обсуждаются вопросы:

  • уравнения и неравенства, решаемые методом мажорант;
  • определение мажоранты функции;
  • алгоритм метода мажорант;
  • опорные неравенства.

II. Устная работа.

Определить мажоранты и область значений функций:

*1)
*2)
*3)
*4)
5)
*6),
7)
8)
*9) .
(* отмечены задания, входившие в пробные ЕГЭ).

III. Проверка заданий, выполненных на доске.

1 учащийся.

Решить уравнение.

(1)

Уравнение (1) равносильно системе

Осуществим отбор решений системы с помощью единичной окружности:

- решения системы, следовательно, уравнения (1).

Ответ: .

2 учащийся.

Решить уравнение.

(1)

Решение

;
; , так как для
;

Уравнение (1) равносильно системе:

8 – корень 1 уравнения системы.

3=3. равенство верное, 8 – решение системы и корень уравнения (1).

Ответ: 8.

3-й учащийся.

Решить неравенство.

; (1).

Решение.

;

Оценим левую часть на промежутке

;

;

Неравенство (1) равносильно системе

2 – корень 2-го уравнения системы.

- равенство верное, следовательно, 2 – решение системы, а значит, и неравенства (1).

Вопросы:

1) Если бы система была несовместна?

Ответ: решений нет.

2) Если было бы неравенство:

Ответ: решений нет.
Ответ: .
Ответ: .

IV. Самостоятельная работа (12 минут)

1. Решить уравнения.

I вариант.

(1)

Решение.

;

;

Уравнение (1) равносильно системе

0 – корень 2 уравнения системы;

- равенство верное;

0 – решение системы, а значит, корень уравнения (1).

Ответ: 0.

II вариант.

;

Решение.

; ;

;

Уравнение (1) равносильно системе

0 – корень 2 уравнения системы;

равенство неверное, значит, система несовместна. Уравнение (1) не имеет корней.

Ответ: корней нет.

2. Составить уравнения или неравенства, используя данные функции.
1)

2)

3)

4) при

5)

1) и 4) одно уравнение и 4 неравенства; 2) и 4) одно уравнение и 4 неравенства;

3) и 5) одно уравнение и 4 неравенства.

На экране высвечивается верное решение самостоятельной работы. Учащиеся осуществляют самоконтроль и самооценку выполненной работы с самостоятельным определением для себя программы регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам (в рабочей тетради).

Листы с самостоятельными работами сдаются учителю.

V. Решение упражнений у доски.

1 учащийся.

Решить уравнение

(1).

Решение.

ООУ=[2;4].
.

Сравним с числом 2 левую часть

при

;

;

;

;

;

, значит, ;

Уравнение (1) равносильно системе

3 – корень 2 уравнения системы;

- равенство верное, 3 – решение системы, а значит, и уравнения (1).

Ответ: 3.

В это время другой учащийся у доски находит мажоранту функции с помощью производной.

Найдем критические точки

3 – внутренняя точка и следовательно, 3 – критическая точка.

Непрерывная на данном отрезке функция имеет единственный экстремум, он максимум, значит это наибольшее значение функции.

Учитель. Несмотря на то, что способ нахождения наибольшего и наименьшего значения с помощью производной достаточно громоздкий, иногда он бывает единственно возможным. Поэтому владеть им необходимо.

2 учащийся.

Решить уравнение.

(1).

Найдем значения х, при которых возможно существование корней уравнения (1).

При возможно существование корней.

На промежутке [1;3] функция g(x) принимает наименьшее значение 0.

При ;

На данном промежутке

принимает наибольшее значение 0.

Уравнение (1) равносильно системе

2 – корень 2 уравнения системы;

при x=2 равенство неверно; 2 не является решением системы, а значит, уравнение (1) не имеет корней.

Ответ: корней нет.

3 учащийся.

Решить систему уравнений:

(1).

Решение.

при ; Следовательно, первое уравнение равносильно системе:

Система (1) примет вид

Ответ:

VI. Итог урока.

Домашнее задание

1. Решить уравнения

2 sin x = 5х2 +2х +3.

.

Решить неравенство

2. Составить 3 уравнения, решаемые методом мажорант.

При этом включить в уравнения функции, аналогичные функциям из самостоятельной работы, в которых при нахождении мажорант были допущены ошибки.


Приложение

Тема урока. Метод мажорант.

Основные теоретические положения.

Мажорантой данной функции на заданном промежутке называется такое число М, что либо для всех х из данного промежутка, либо для всех х из данного промежутка.

Основная идея метода мажорант состоит в следующем. Пусть мы имеем уравнение (1), и существует такое М, что для любого х из ООУ имеем и (или наоборот). Тогда уравнение (1) равносильно системе

3. Опорные неравенства.

1. а) при равенство при

б) при равенство достигается при

2. при равенство достигается при

3.