Некоторые математические модели экономики

Бабкина Юлия Юрьевна, учитель математики

Рассмотрим те понятия, которые требуются для отражения существенных моментов экономического развития. Фундаментальной единицей экономической системы назовем сектор, в котором производится только один вид продукции и который взаимодействует с другими секторами в форме рыночного обмена продукцией и услугами. Сектор не обязательно является физическим или юридическим лицом.

Считаем, что объемы производства в текущем цикле определяют объемы производства в следующем, т.е. объемы производства носят характер состояния системы. На самом деле объем производства некоторого продукта в каждом цикле зависит, прежде всего, от наличия в этом цикле ресурсов для его производства, а также зависит от решений субъекта деятельности, который присутствует в любой экономической системе. В связи с этим описание закона функционирования любой производственной системы должно содержать не только переменные, соответствующие объемам производства, но и переменные, отражающие динамику ресурсов производства.

Рассмотрим некоторые простейшие математические модели экономики.

1°. Модель В.В. Леонтьева.

Пусть в экономической системе в течение цикла, равного одному году, производится п видов продукции. Для производства продукции каждого вида достаточно тех видов продукции, которые производятся в системе. Такую систему называют самодостаточной.

Производимая в течение цикла продукция используется для производства продукции в этом же цикле, и каждый сектор производит лишь один вид продукции. Известна матрица А прямых затрат. Требуется описать ограничения, которые связывают объемы производства в каждом секторе.

Расход i-го вида продукции, когда в системе производится продукция j-го вида в количестве w_j, j = удовлетворяется конечный спрос s_i, равен . Так как в системе производится продукция i-го вида w_i., то выполняется неравенство w_i или в матричной форме Аw + s w. В случае, когда остаток от производства w - Aw, называемый чистым выпуском, потребляется полностью, т.е. s = w - Aw, то вместо полученного выше неравенства имеем

w – Aw= s. (1)

Уравнение (1) называют моделью Леонтьева.

Если учесть расходы продукции на создание новых производственных мощностей, т.е. основных фондов в объеме y, то уравнение (1) заменится соотношением w—Aw—By=s (В – некоторая матрица).

Модель Леонтьева можно использовать для решения следующей задачи: какие должны быть объемы производства, чтобы удовлетворить величину s⁰ конечного спроса. Решение этой задачи, как легко видеть, сводится к нахождению неотрицательного вектора w , удовлетворяющего системе линейных алгебраических уравнений (E-A) w = s⁰ .

Отметим, что модель Леонтьева получена в предположениях, которые не всегда выполняются в реальной экономике, что снижает ее практическую значимость.

2°. Задача управления запасами.

Для нормальной работы предприятия необходимо иметь как некоторый запас определенного ресурса, так и некоторый запас собственной продукции. Продукция, полученная в результате некоторого производственного процесса, может идти как на продажу, так и служить ресурсом для других процессов на данном предприятии.

Объемы запасов ресурса и продукции рассматриваются во времени, т.е. представляют собой некоторые динамические процессы. Возникает задача управления этими процессами, чтобы в каждый момент времени запасов было достаточно для удовлетворения спроса, но и не было бы излишков, так как на хранение требуются расходы, а также в запасах и непроданной продукции замораживается капитал, который не приносит прибыль. Значит, запасы также должны быть ограничены разумными пределами.

Дадим математическую модель этой задачи. Процессы будем рассматривать в дискретном времени k. Введем обозначения: х₁(k) - запас ресурса на начало k-го периода; х₂(k) - запас продукции на начало k –го периода; и - известные начальные запасы ресурса и продукции;

а₁₂ - количество продукции, получаемой из единицы ресурса; а₂₂ - количество продукции, идущее на производство единицы продукции на этом же предприятии; v(k) - количество ресурса, изымаемое со склада k-ом периоде для использования в производстве; u(k) - поставки ресурса в k-ом периоде для использования в (k+1)-ом цикле; s(k) - изымаемое со склада количество продукции в k-ом периоде для удовлетворения спроса потребителей; c₁(x₁) - издержки за хранение продукции в количестве x₁ в течение одного периода, c₂(x₂) - то же самое для ресурса, c₃(v) - издержки, связанные с изъятием со склада сырья в количестве v(k).

Так как из количества v(k) производится а₁₂v(k) и на производство последней идет а₂₂(а₁₂v(k)) продукции этого же предприятия, то размеры запасов ресурса и продукции по периодам описываются системой уравнений:

х₁(k + l)= х₁(k)+u(k)-v(k), (2)

х₂(k + l)= х₂(k)+ а₁₂v(k)- а₂₂а₁₂v(k)-s(k), (3)

х₁(0)= , х₂(0)= .

Пусть = (l - а₂₂)а₁₂. Тогда (3) запишется так:

х₂(k + l)= х₂(k)+ v(k)-s(k). (4)

Величины х₁(k), х₂(k), v(k), u(k), s(k) при всех k неотрицательны и при этом должно выполняться неравенство

v(k) х₁(k). (5)

Так как спрос s(k) удовлетворяется из объема запасов продукции х₂(k) в k-ом цикле, то этих запасов должно быть достаточно, т.е.

s(k)< х₂(k). (6)

Зафиксируем число K и поставим задачу нахождения такой последовательности v(0), v(l), ..., v(K-1), v(K), что все условия (2)-(6) будут выполняться и расходы, связанные с соответствующими изменениями уровней запасов, описываемые функционалом

(7)

будут минимальны.

3°. Динамическое планирование производства.

Как и в п. 2⁰ считаем, что время меняется дискретно, по циклам, и циклом в зависимости от масштабов производства выбирается день, неделя, месяц, квартал, год и т.д. Планировать производство предполагается циклически.

Рассмотрим случай, когда выпускается только один вид продукции в количестве w₁. Пусть на срок в T циклов известен спрос на нее и₁(k).Требуется запланировать такие объемы w₁(k) выпуска этой продукции, чтобы спрос был удовлетворен, но не было слишком много нереализованной продукции и не было больших колебаний w₁(k)= w₁(k+1)- w₁(k) выпуска продукции.

Запасы z₁(k) продукции подчиняются уравнению z₁(k + 1)= z₁(k)+w₁(k)-u₁(k). Одной из составляющих целевой функции является a₁, где а₁ - стоимость хранения единицы продукции. Вторая составляющая зависит от w₁(k), которая может быть как положительной, так и отрицательной. Так как любое число представимо в виде разности двух неотрицательных чисел, то введя переменные (k) 0 и (k) 0, можно напиcaть w₁(k + 1)- w₁(k)= (k) - (k).

Если целью является ограничение резких наращиваний производства, то следует минимизировать функцию

f(z₁, )= (8)

где z₁(k) и у (k) удовлетворяют системе уравнений

z₁(k + 1)= z₁(k)+w₁(k)-u₁(k).

w₁(k + 1)=w₁(k)+ (k)- (k). (9)

Если же цель - устранить резкие колебания производства, то задача сводится к минимизации функции

f(z₁, , ) =

Эта задача относится к классу задач параметрического программирования.

4⁰. Параметрическое программирование.

Рассмотрим задачу (8)-(9). Полагая , где измеряет отношение стоимости увеличения выпуска продукции на единицу к стоимости хранения единицы продукции, рассматриваемая задача сводится к задаче

(8^/)

при условиях (9).

Задачей менеджера предприятия является выяснить, какие планы производства отвечают различным . Эта задача относится к классу так называемых задач параметрического программирования. Общая постановка задачи параметрического программирования следующая:

(11)

Ax=b, (12)

x0, (13)

0 < _min _max , (14)

где d' =col(;;……), i = ; A - матрица размера mn, b = col(b₁;…..;b_m).

Считаем, что при всех допустимых решение задачи линейного программирования (11)-(13) существует. Ясно, что в силу того, что множество допустимых решений является выпуклым многогранником, интервал значений разбивается на семейство интервалов, причем для всех в каждом из них оптимальное решение одно и то же. Найдем множество тех , для которых х⁰ (_min) является оптимальным решением. Для этого рассмотрим симплекс-таблицу задачи (11)-(13), соответствующую х⁰ (_min). При изменении в этой таблице будут изменяться только ₁= c₁- z₁,….., _n = c_n- z_n , а именно

где

В силу оптимальности х⁰ (_min) выполняется j=. Поэтому система неравенств

, j=

совместна. Максимальное , удовлетворяющее (15), определяется как

При этом _min< ₁. Если _jдля всех j=, то ₁=+.

Если ₁ _max, то решение задачи закончено. Пусть < _max и x⁰(₁+ ) -оптимальное решение для очень малого > 0. Аналогично, как и выше, подсчитаем соответствующие ему и рассмотрим систему неравенств

, j= ,

которая является совместной. Если для всех j, j= , имеем ₁ 0 , то для всех , ₁ _max, решением является х⁰(₁).

Если выполняется , то х⁰(₁) также является решением. Если ₂ < _max, то процесс продолжаем до тех пор, когда при всех , _min _max , будет определено решение.

Конечность этого процесса следует из конечности числа граней области допустимых решений. Числа ₁, ₂, ... называются критическими значениями параметра , а x⁰(₁), x⁰(₂)), ... называют критическими решениями.