Итоговое занятие по темам "Корень n-й степени. Степенная функция. Иррациональные уравнения"

Разделы: Математика

Цель: обобщить и систематизировать знания, умения студентов о корне n-й степени, степенной функции, их свойствах, продолжить формирование навыков применения теоретических знаний на практике, проверить уровень усвоения материала, развивать навыки взаимоконтроля и самоконтроля, воспитывать умения работы в группе, ответственность за общее дело.

Тип занятия: обобщения и систематизации знаний.

Методическое обеспечение:

  • компьютерные программы GRAN1W [6], «Актуализация опорных знаний по теме «Степенная функция», «Задача-софизм» Е.И.Скафа [5];
  • карточки групповой работы, таблицы обобщения знаний;
  • карточки для тестовой проверки знаний (задания взяты из книги [4]) и «ключи» ответов.

Ход занятия

1. Организационный момент.

Группа студентов делится на подгруппы по 4 человека, которые сидят за столом с компьютером. Руководит каждой подгруппой консультант, который заносит информацию о работе каждого участника подгруппы в отдельный бланк (приложение 1).

2. Сообщение темы, цели и задач занятия. Мотивация обучения.

Немного изменив слова великого китайского педагога Конфуция (жил более 2400 лет тому назад), можно сформулировать задачу нашего занятия: «То, что я слышу, я забываю. То, что вижу и слышу, я немного помню. Когда я слышу, вижу, обсуждаю и делаю, я запоминаю. Когда я передаю знания другим, я учусь». На этом занятии нам необходимо все знания по теме систематизировать, обобщить, определить их уровень усвоения и при необходимости откорректировать, так как знания этой темы будут применяться на различных предметах специализации бухгалтерского учета. Для того, чтобы стать профессионалом, необходимо уже сейчас заботиться о своих знаниях.

Основной формой проведения нашего занятия является работа в группах. В каждой группе есть консультант, который контролирует выполнение работы группы и помогает в выполнении заданий. Внимательно слушайте критерии оценивания, чтобы правильно оценить выполненную работу. Помощником в нашей работе будет компьютер.

3. Актуализация опорных знаний студентов.

Задание. Выполняя работу теста, представленного на компьютере [5], необходимо выбрать правильный вариант ответа и указать теоретическое обоснование этого варианта. Участники подгруппы обсуждают вопрос, выбирают вариант ответа и поднимают флажок, указывающий, что ответ готов. Группа, которая первой подняла флажок, дает ответ.

Консультанты! Внимание! Вы оцениваете вклад каждого. Правильное решение оценивается в 1 балл.

Вопросы теста:

1. Вычислите : 1) -2; 2; 2) 2; 3) -2; 4) другой ответ.

Ответ: Применяя определение арифметического корня, получаем , число 2 должно быть положительным.

2. Вычислите : 1) 4; 2) 2; 3) -2; 2; 4) .

Ответ: Применяем свойства произведения корней и формулу разности квадратов двух выражений и получаем .

3. Упростите выражение: : 1) ; 2) ;3) ;4)

Ответ: применяем свойство возведения степени в степень и свойство корня о переходе к новому показателю и получаем

4. Решите уравнение х5 = -50: 1) , - ; 2) - ; 3) ; 4) другой ответ.

Ответ: степенная функция у = х5 является нечетной, поэтому уравнение имеет один корень

5. Решите уравнение х6 = 7: 1) - , ; 2) ; 3) - ; 4) другой ответ.

Ответ: степенная функция у = х6 является четной, поэтому уравнение имеет два корня

6. Упростите выражение: : 1) ; 2) ; 3) х2,2; 4) другой ответ.

Ответ: Применяя свойства степени о возведении в степень и умножении степеней с одинаковым основанием, получаем 0,6+1,6=2,2

7. Упростите выражение: : 1) ; 2) ; 3) ; 4) другой ответ.

Ответ: применяем формулу разности квадратов и выполняем сокращение числителя и знаменателя на сомножитель

8. Решите уравнение: : 1) 4; 2) 0; 3) 18; 4) другой ответ.

Ответ: решаем уравнение способом возведения в квадрат обеих частей равенства, проверяем полученный корень подстановкой в заданное уравнение

9. Запишите формулу, которая выражает зависимость между переменными u и v, если , : 1) u + v = u × v; 2) u = v; 3) u × v = 2 + v; 4) другой ответ.

Ответ: применяем правило умножения двух многочленов и свойство обратных сомножителей.

10. График функции у = х6 имеет вид:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Ответ: так как 26 = 64 и функция у = х6 – четная, то ветки параболы симметричны относительно оси ординат и растянуты больше от оси абсцисс.

Итак, в результате устного тестирования мы приходим к выводу, что при выполнении устного теста мы опирались на следующие знания:

  • Определения корня n–й степени и арифметического корня n–й степени;
  • Свойства арифметических корней;
  • Простейшие преобразования корней;
  • Действия с корнями;
  • Определение степени с рациональным показателем и ее свойства;
  • Определение степенной функции, ее свойства и график.

Какие вопросы темы занятия нами не были рассмотрены?

– Мы не вспомнили понятие иррационального уравнения и способы его решения.

4. Обобщение отдельных фактов (устное решение задачи).

Задание. Приведите способы решения уравнения  и выберите самый простой для усного решения [3].

1-й способ: Возведем в квадрат обе стороны уравнения х = 4 – 4х + х2. Решим полученное квадратное уравнение х2 – 5х + 4 = 0, х = 1, х = 4. Проверяем, х = 4 – посторонний корень. Ответ:: х = 1.

2-й способ: Подбором находим, что корень уравняния х = 1, ттак как  - возрастающая, а у = 2 – х – убывающая функция, поэтому х = 1 – единственный корень. Ответ:: х = 1.

3-й способ: Применяя замену , у > 0 (1) , тогда х = у2. Получим уравнение у2 +у – 2 =0, у1 = -2, у2 =1. у1 не удовлетворяет условию (1). у=1, =1, х = 1 . Ответ:: х = 1.

4-й способ: графический. График функции  и прямая у = 2 – х пересекаются в единственной точке А (-1; 1). Ответ:: х = 1.

Вывод: иррациональное уравнение может быть решено различными способами, среди которых самый наглядный – графический, для устного решения – решение подбором.

5. Повторение и обобщение понятий и усвоение системы знаний (письменное решение задач) в группе.

І этап. Работа в группе.

1. Упростить выражение:

а0) (1 балл);

б) . Построить с помощью программы GRAN-1W [6] график функції у=

 (y=sqrt(2*x-7)^2)). (2 б.)

2. Решить уравнение  

а0) графически с помощью программы GRAN-1W (1 б);

б) в тетради, используя способ равносильности (2 б.);

в) сформулировать свойства функции у = (1 балл).

3. Найти значение виражения (3 балла)

Замечание. Задания обязательного уровня (со знаком 0) необходимо решить всем. Консультант фиксирует результаты в протоколе. После этого, если необходимо, консультирует и помогает выяснить причины допущенных ошибок. Студенты повторно выполняют задания, но оценка в протоколе сохраняется. Преподаватель помогает консультантам в решении спорных вопросов в процессе выполнения работы.

Ответы выполнения заданий:

1. а) =|2-|=[2 > ]=2 - ;

б)

2. а) графики функций у =  и у = х – 1 пересекаются в точке А(3; 2), абсцисса х = 3 является корнем уравнения

б)  

7 – х = х2 – 2х +1,

х2 – х –6 = 0,

х = 3,

х = - 2 – не подходит

Ответ: х = 3 .

в) свойства функции у = :

  1. D(f) = (-¥; 7], E(f) = [0; +¥)
  2. Нули функции у = 0 при х = 7.
  3. Интервалы знакопостоянства: y > 0 при х < 7.
  4. Монотонность. Функция убывает на всей области определения.
  5. Функция не является ни четной, ни нечетной
  6. Наибольшего значення функция не имеет, min f(x) = f(7) = 0.

3. =

II этап. Защита работ.

Представитель каждой группы вытаскивает карточку с номером задания, которое он решает у доски. Группы контролируют ответы и готовят вопросы по выполненному заданию, если они возникли.

Вывод. Мы должны уметь:

  • Выполнять преобразования корней и действия с ними;
  • Решать иррациональные уравнения;
  • Применять свойства степени к преобразованию выражений;
  • Строить эскизы графиков степенных функций и по этим «читать» свойства функции.

6. Тестирование по теме.

Каждый студент группы получает карточку с вариантом теста (приложение 2) и карточку-бланк для заполнения ответов с копиркой (приложение 3). Записывает в этот бланк свою фамилию и вариант. Задания 1–6 оцениваются в 1 балл, 7–8 – 2 баллами. На выполнение теста отводится 15 минут. Кроме того, каждый из вас может решить «задачу-софизм» с помощью компьютера и получить еще 2 балла (приложение 4). Решение 9 задания вы выполняете в тетрадях. Затем, по сигналу вы отдаете чистовой вариант бланка преподавателю, а в другом выставляете количество полученных баллов, пользуясь «ключом» ответов.

7. Итоги и анализ занятия.

1. Консультанты подсчитывают участие каждого студента группы и выставляют баллы согласно следующей таблицы перевода:

34-36 – 12 б.; 31-33 – 11 б.; 28-30 – 10 б.; 25-27 – 9 б.; 21-24 – 8 б.; 18-20 – 7 б.;

15-17 – 6 б.; 12-14 – 5 б.; 10-11 – 4 балла, в четырехбальной системе это выглядит так:

28 - 36 б – „5”, 27 – 20 б. – „4”, 19 – 11 – „3”, меньше 11 б – это „2”

После подсчета баллов каждый консультант сообщает оценки студентов.

2. Анализ: Что получилось? Над чем необходимо поработать, чтобы хорошо написать контрольную работу на следующем занятии?

Студенты перечисляют основные теоретические положения темы и правила их применения.

8. Сообщение домашнего задания. [1]р. IV, повт. § 1, п.п. 1.1 – 1.3, выполнить № 367 (3, 4) с. 249.

Используемая литература.

  1. Афанасьеєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика. Підручник. – К.: Вища школа, 2001.
  2. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Дидактичні матеріали з математики. – К.: Вища школа, 2001.
  3. Савенко Т.П., Паньков В.Г., Попов Ю.Н. Задачи по алгебре и началам анализа. Часть І / Под ред. И.М. Конета. – Каменец-Подольский: Абетка-НОВА, 2004.
  4. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. Алгебра и начала анализа. 11 класс / Под ред. З.И. Слепкань. – Харьков: “Гимназия”, 2007.
  5. Компьютерные программы «Актуализация опорных знаний по теме «Степенная функция», «Задача-софизм» Автор: доц. Е.И.Скафа, Донецкий национальный университет, математический факультет, кафедра высшей математики и МПМ.
  6. Програмний комплекс "GRAN", версія 1.0, Педагогічний програмний засіб "GRAN1", версія 1.0. Графічний аналіз функцій: графіки, обчислення тощо; математична статистика, апроксимація. Автори (c): проф. Жалдак М.І., доц. Горошко Ю.В.