Цель: на историческом материале показать возможность и необходимость проблемы вычисления числа π, раскрыть вездесущность геометрического символа, а также показать огромное трудолюбие и работоспособность ученых, занимавшихся этим вопросом в течение многих столетий, и на примерах воспитывать у учащихся стремление к знаниям, любознательность.
Оборудование:
- Газета «Замечательное число π »
- Высказывания и стихи о числе π
- Кодоскоп
- Эпидеоскоп
- Гербарий
- Рисунок
- Весы
Тип урока: Урок-конференция
План урока:
- История числа π
- О вычислениях числа π на совместных вычислительных машинах
- Случайности и закономерности, связанные с числом π
- Вездесущность числа π (об исследованиях В. Пиотровского)
- В формулах (интересные задачи)
- Итог урока
Знание людей заслуживает имени Наука в зависимости от того, какую роль играет в нем число.
Э. Борель
I. Вводное слово учителя.
- Здравствуйте, садитесь!
Сегодняшний урок – урок-конференция, посвящен числу π. На уроке мы с Вами на историческом материале покажем важность и необходимость проблемы числа π, раскроем вездесущность геометрического символа, а также покажем огромное трудолюбие и работоспособность ученых, занимавшихся этим вопросом в течение многих столетий.
И Вам, участникам конференции, я предлагаю конспектировать по ходу выступлений, придерживаясь этого плана (план урока написан на доске).
А теперь открыли тетради, записали число и тему нашего урока.
- История великих открытий всегда поучительна. Но как часто остаются неизвестными обстоятельства, при которых они сделаны, и ход мысли, приведший к ним ученого. Вместо этого создаются легенды: об Архимеде, открывшем свой закон в ванне или о яблоке Ньютона. Известно, однако, что на вопрос о том, как он пришел к своему открытию, Ньютон отвечал: «Постоянно о нем думал» - но он нигде не описывал своих мыслей, пока не привел их к полной ясности
Число питает мысль
Мысль раскрывает смысл
Таящийся в числе
И спрятанный за ним
Б.Кедров
II. История вычисления числа π.
История числа π длится более 1000 лет. Исследователи древней Греции установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания у пирамиды, выражается числом π.
В знаменитом папирусе Ахмеда (древняя египетская рукопись 200 лет до н.э.) принято такое указание для построения квадрата по площади круга: «отбрось от диаметра его 9 часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу» (рисунок).
Из этого следует, что у Ахмеса π≈3,1605. Так началась письменная история числа π.
В Вавилоне в V веке до н.э. пользовались числом 3 1\8≈ 3,1215, а в древней Греции числом (√2 + √3)≈3,1462643. В индийский сутках (техническое руководство при строительстве VI-V в. до н.э.) имеются правила, из которых вытекает что π ≈ 3,008.
Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Ариахаты (VI-V в).
Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь
Потом еще шестьдесят две тысячи прибавь.
Когда поделишь результат на двадцать тысяч,
Тогда откроется тебе значение длины окружности к двум радиусам отношения, т.е. длина окружности \ диаметр – 62832\20000– 3.1416
Архимед (III век до н.э.) для оценки числа π вычислял периметры вписанных и описанных многоугольников от 6 до 96-ти. Такой метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении почти 2000 лет.
Архимед получил 3 10\71 <π<3 1\7, т.е. π ≈ 3,1418
Долгое время все пользовались значением числа, равным 22\7.
Индусы в V-VI в. пользовались числом √10≈3,1411, а китайцы – числом 355\113≈3,1415927. Это число записывалось в виде наименований числа 3 ЧЖАНА 1 ЧИ ЦУНЯ 1 ФЕНЬ 5 ЛИ 9 ХАО 2 ТЯО 7 ХО.
В XVв. Иранский математик Ал-Каппи нашел значение π с 16-ю верными знаками, рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 80035168 сторонами.
Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI в. с помощью 230угольников получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель – Лудольф Ван Цельнер (1540-1610) вычисляя π, дошел до многоугольников с 602029 сторонами и получил 35 верных знаков для π. Ученый обнаружил большую терпение и выдержку, несколько лет затратив на определение числа π. В его честь современники назвали π – «Лудольфово число». Согласно завещанию на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.
Обозначение π (первая буква в греческом слове (окружность, периферия) впервые встретилась у английского математика Уильяма Джонса (1706г.), а после опубликования работы Леонарда Эйкера (1736г. С.-Петербург), вычислившего значение π с точностью до 153 десятичных знаков, обозначение π становится общепринятым.
Одно из простейших выражений для π открыл (середина XVII в.) Джон Валлис (английский математик).
π-2 (2\1.2\3.4\3.4\5.6\5.6\7.8\7….)
А несколько десятилетий спустя великий немецкий философ Готрид-Вильгельм Лейбниц открыл другую изящную формулу
π=4(1\1-1\3+1\5-1\7=1\9…)
Самым неукротимым вычислителем π был английский математик Уилим Шенкс (конец XIX в.). Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, он ошибся в 502-м знаке и все последующие цифры неверны (ошибку обнаружили лишь в 1945г.)
III. О вычислениях числа π на современных вычислительных машинках.
С появлением ЭВМ значение числа π было вычислено с достаточной большей вероятностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн знаков.
Японские математики обещают вычислить π со 100 млн верных знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займет 30 томов по 400 страниц в каждом.
Вычисление такого знака для π не имеет практического значения, а лишь показывает преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.
Филипп ДЖ. Девис писал в своей книге «Что мы знаем о больших числах».
«Загадочное и чудесное число π стало чем-то вроде покашливания, которым вычислительные машины прочищают горло».
IV. Случайности и закономерности, связанные с числом π.
С числом π связано много случайностей и закономерностей. Анализ единиц измерения длины и изменения ускорения свободного падения g от места к месту на земном шаре выявил удивительное равенство
π 2 ≈
Числа π и t связаны интересным соотношением πt≈5, точнее 5 π≈6t2,отсюда π≈√31≈3,25138. (рисунок)
С цепями мы встречаемся повсюду6 якорная цепь, велосипедная, цепочка на шее девушки и собаки. Хотя эти цепи и не похожи друг на друга, принцип один: каждое звено цепляется за предыдущее. Если поднять цепочку за концы, не натягивая, то она вытянется по некоторой кривой, называемой «ценной линией». (рисунок) Еще Галилей интересовался эой книгой. Из его вычислений (1638г.) получилось, что эта кривая – парабола.
Однако Лейбниц, Бернулли, а также Гюйгенс (портреты) опровергли это утверждение. Оказалось, что эта кривая описывается формулой у=а.е х\а+у. х\а\2, она т называется «цепной линией», а задающая ее функция у=а ch х\а называется «гиперболическим косинусом».
Знание формулы цепной линии необходимо для расчета провисания линий электропередач, т.к. провода между опорами также имеют форму цепной линии. Вспомним, про цепные мосты, настилы которых подвешены на цепях, например, Крымский мост в Москве (рисунок). Вы думаете, что здесь цепи расположены по цепной линии? Оказывается, что – нет, на этот раз это парабола.
Принцип «цепляния» последующего элемента за предыдущий часто встречается в математике, например, в цепных дробях. Всякую положительную дробь можно записывать, и притом единственным образом, в виде p\q=а0+ 1\1, где а0,а2…аn – натуральные числа, а0 – целое неотрицательное число.
Например, 13\7=1+1\1+1\6; 22\7=3+1\7; 355\113=3+1\7+1\16.
Все иррациональные числа также выражаются ценными дробями. Так √2=1\1\+1\2….: 1+√5\2=1+11\1+1\1+…..; π=3+1\7+1\15+1\1+…..
Приведенные цепные дроби для 22\7≈3,1428… и 355.113+3,1415929… получены «обрыванием» цепной дроби для числа π.
Отношением длины окружности π к ее диаметру возникает во многих ситуациях, не имеющих отношениях к окружности. Английский математик Август де Морган (1806-1871г.) назвал π «загадочным числом», которое лезет в окно, в дверь и через крышу.
V. Вездесущность числа π.
Кандидат географических наук В. Пиотровский установил, что в классификациире6льефа выделить 15 порядков. Экспериментальным путем он установил что все структуры земного рельефа от мелких до гигантских связаны между собой через число π (три с небольшим) Пиотровский считает, что Земля и окружающий космос построены на основании одного закона: в основе которого лежат волновые процессы. Этот закон можно назвать законом числа π.
Акустика привлекла внимание ученого благодаря необходимости знаний геометрии. Анализируя контуры знаменитых скрипок Амати, I варнери. Страдивари (рисунок), он установил, что можно выделить некий объем воздуха в корпусе скрипки. Этот «шар» ровно 3 раза укладывается в двух резонаторах инструмента. Это оказалось верно для скрипок всех трех мастеров. Конструкция скрипки, старые мастера делали их не меньше и не больше определенного размера: посредине «эталонный» объем и три таких объема вправо и влево. Опять три! Может быть 3,14?
А вот для рояля, балалайки и гитары присутствие «тройки» не обнаружено. Но они и звучат тихо: это камерные инструменты.
В. Пиотровский обратил внимание на эфы скрипки – отверстие в ее верхней крышке, напоминающие по форме латинскую букву S. Именно это отверстия дают выход звукам, рождающимся во внутркеннем объеме скрипки. Они как бы снимают большую часть звуковой энергии. В гитаре и балалайке эту роль выполняют круглые отверстия.
При изучении архитектуры церкуи В. Поитровский обнаружил, что объем купола храма в 3 раза укладывается во всем объеме храма (рисунок). Самые звучные и певучие колокола отлиты русскими мастерами.Профиль контура русского колокола (рисунок) имеет вид равнобедренного треугольника. Пока по величине предполагают, что углы колокола близки по величине к радиану. А это – окружность, деленная на 2. И опять появляется это магическое число!
Оно и впрямь магическое. Член–корреспондент А.И. Звонков отмечает интересную закономерность у всех растений овальной формы листа (гербарий). Если мысленно разделить лист, по линии его наибольшей ширины, то левая часть составит приблизительно 1\3 всей длины.
«Оставим книгу и посоветуемся с разумом.» Р.Декарт
VI. π в формулах (интересные задачи, связанные с числом π)
- Какова может быть длина консервной банки, диаметр которой 16 см.
- Найти диаметр круга, площадь которого 100 м2.
- Найти длину дуги, равную 3,8 длины окружности, радиус которой 7,2 длины.
- Длина окружности 9,42. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.
- Найти площадь 9\9 круга, радиус которого 8,1 см.
- Простейшие взвешивания (практическая работа со всем классом).
Начертить на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг т обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину I одного полного оборота нити, разделим I на длину диаметра окружности. Получившиеся частное будет приближенным значением числа π, т.е. 1=2πR, π=1\2R.
Данный способ довольно грубо дает в обычных условиях приближенное значение π с точностью до 1.
VII. Измерение с помощью взвешивания.
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим его.
Зная массу квадрата mкр, воспользуемся формулами m=pV, V=Sh, где p и h – плотность
и толщина картона, S – площадь фигуры.
Рассмотрим равенства
mкв=pSквh=p4R2h
mкр=pSкрh=pπR2h
mкр\ mкв --p·π·R2·h\p·4 π·R2·h- π\4, т.е. π-4mлр\ mкр.
Естественно, в данном случае значение π зависит от точности взвешивания.
VIII. Дано вот такое равенство XXII\VII=II, составленное из счетных палочек.
Переложив только одну палочку из левой чести в правую так, чтобы изображенное равенство выполнялось с точностью до 0,002.
VII. Итог урока.
«Куда бы не обратили свой взор, мы видим
проворное и трудолюбное число π: оно
заключено и в самом простом колесике, и в
самой сложной автоматической машине».
Ф. Кымпан