Цели урока.
- Познакомить с одним из разделов математики.
- Показать, как полученные на уроках математики знания применяются на практике.
- Развивать логическое мышление, развивать монологическую речь, учить обосновывать свои действия.
4. Развивать навыки работы в группе.
Форма работы: групповая.
I. Знакомство с правилами
Для более продуктивной работы на уроке и дома класс разбит на группы
Предварительная подготовка
Проводится социологический опрос.
- Назовите самый любимый школьный предмет.
- Сколько детей в вашей семье?
- Какие телевизионные передачи нравятся вашим папе и маме?
- Какую музыку вы слушаете?
- Какие телепередачи вы смотрите?
- Оцените все изучаемые предметы.
Критерии оценок:
интересен - 1 балл; неинтересен 0 баллов; необходим - 1 балл; не нужен - 0 баллов; успеваемость 4, 5 - 1 балл; успеваемость 2, 3 0 баллов.
- Ваш вес.
- Ваш рост.
- Ваш размер обуви.
Работа с графиками и диаграммами
После проведения опроса предложите ученикам оформить данные в виде графиков, таблиц, диаграмм.
- Составьте таблицы по данным пунктов 1, 2, 7, 9.
- Начертите график по результатам пункта 8. Необходимо подсчитать средний рост мальчиков и девочек отдельно по этим данным построить графики.
- Постройте столбчатые диаграммы на каждый изучаемый предмет по 6-му пункту опроса.
- Постройте круговые диаграммы по данным пунктов 7-9.
II. Что такое статистика?
Говорят, что на этот вопрос английский премьер-министр Б. Дизраэли ответил так: «Есть три вида лжи: обычная ложь, наглая ложь и статистика». Заглянем в энциклопедический словарь и узнаем толкование слова «статистика», а затем вернемся к шутливому определению Б. Дизраэли.
Статистика (нем. Statistik от итал. Stato - «государство») - получение, обработка, анализ и публикация информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества в неразрывной связи с их качественным содержанием. В естественных науках понятие «статистика» означает анализ массовых явлений, основанный на применении методов теории вероятностей.
Статистика занимается вопросами, связанными с подбором и анализом количественной информации. Однако наибольшую пользу приносит статистика при изучении массовых явлений. Как вы думаете, почему на пачках сигарет написано: «Минздрав предупреждает: курение опасно для вашего здоровья»? К выводу о вреде курения врачи всего мира пришли после анализа множества наблюдений за здоровьем курящих людей. Конечно, обследовалось здоровье не всех курящих людей планеты, но достаточно большое их количество (несколько миллионов).
В статистических исследованиях поступают следующим образом. Рассматривают и изучают многочисленную часть (выборку) объектов какого-то явления. При этом все объекты явлений называют генеральной совокупностью. По результатам наблюдений за массовой выборкой делают выводы обо всей генеральной совокупности. Так, в рассматриваемом примере медики изучили влияние курения на здоровье нескольких миллионов человек (это выборка), сделали вывод о вреде курения для наблюдаемых и распространили его на всех людей планеты (генеральную совокупность). И этот вывод уже равносилен закону, так как имеет массовое подтверждение.
В естественных науках, в технике, в технологии изучение какого-то свойства явления бывает невозможно или абсурдно проводить на всей генеральной совокупности. Представьте себе, что технолог завода хочет удостовериться в отличном качестве подготовленных к отправке потребителю консервов. Разве для этого он будет вскрывать все банки с консервами? (Что достанется тогда потребителю?) В действительности он откроет, например, сто наугад выбранных банок из многочисленной партии и, убедившись в их высоком качестве, даст разрешение на отправку продуктов.
Для объективности вывода о каком-то явлении нужно иметь данные о многих его элементах, выбранных случайно. Грамотно провести статистическое исследование не так уж и просто. Статистика может обернуться особой разновидностью лжи. С ее помощью можно попытаться доказать и красиво обосновать все что угодно. Статистическое исследование считают достоверным лишь в том случае, когда оно проводилось на достаточно большой случайным образом составленной выборке.
III. Способы представления данных
Результаты статистических исследований после обработки обычно представляют в наиболее обозримой, наглядной и компактной форме. Это лучше всего сделать с помощью таблиц, диаграмм, графиков.
Дома вы составляли таблицы, строили диаграммы, чертили графики по данным социологического опроса. Проанализируем результаты. (Каждая группа анализирует результаты своего опроса.)
IV. Среднее арифметическое
Ученик получил в течение четверти следующие отметки по алгебре: 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Какую четвертную оценку ему поставит учитель? Многих волнует эта проблема, и чаще всего ученики решают ее следующим естественным образом: складывают все отметки и делят сумму их на количество. В рассматриваемом случае получаем
(5+2+4+5+5+4+4+5+5+5): 10= 4,4
Полученный результат (число 4,4) называют средним арифметическим.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.
Задание. Подсчитайте средний рост, средний вес, средний размер обуви учащихся класса (работа в группах).
Можно ли теперь, используя полученные данные, заказать школьную форму в ателье на весь класс? Почему нельзя? Попробуйте обосновать свое мнение.
V. Мода
Среднее арифметическое, конечно, важная характеристика ряда чисел, в рассмотренном случае - отметок за четверть, но иногда полезно рассматривать и другие средние. Например, претендуя на оценку «5», ученик наверняка будет использовать такой аргумент: «Чаще всего в четверти я получал пятерки!» Статистик в этом случае сказал бы так: «Модой этого ряда является число 5».
ОПРЕАЕЛЕНИЕ. Модойобычно называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее частое.
В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть. Пусть, например, ученик получил в четверти по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у этого ряда нет моды. А вот среднее арифметическое, конечно, есть: 4+2+3+5=3,5
Числовой ряд может иметь и больше одной моды. Например, если ученик получил следующие оценки: 4, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 4, 3, 5, то этот ряд имеет две моды: 3 и 4.
Такой показатель, как мода, используется не только в числовых рядах. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если опросить большую часть учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется предмет, который назван чаще остальных.
Мода - это показатель, который часто используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Прежде чем выпускать какой-нибудь новый товар, как правило, производители изучают спрос на него.
Задание 1. Используя данные опроса, определите самую любимую телепередачу ваших мам, пап и, конечно, вашу. (Работа в группах.)
Задание 2. По данным опроса определите самый модный предмет, изучаемый в школе, модный цвет глаз в вашей группе.
VI.Размах
Нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет сделать надежный вывод на основе статистических данных.
Например, на планете Меркурий средняя температура + 15°С. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако, на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от - 150 до + 350°С.
Значит, если имеется ряд данных, то для обоснованных выводов и прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой.
Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размах - это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.
Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350°С - (- 150°С) = 500°С. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.
Задание. Используя данные опроса, подсчитайте размах роста вашего класса, размах веса, размах размера обуви.
Итак, мы ввели в рассмотрение три числовых характеристики для описания поведения числового ряда:
- среднее арифметическое;
- мода;
- медиана.
Обсудим теперь особенности каждой из этих величин. Прежде всего, заметим, что далеко не всегда имеет смысл вычислять все три характеристики. И дело здесь не в том, что какая-то из них может не существовать — это, как уже было сказано, касается только моды. Дело в том, что во многих ситуациях какая-то из характеристик может не иметь никакого содержательного смысла.
Пример 2. Гвозди в магазине продают на вес. Чтобы оценить, сколько гвоздей содержится в одном килограмме, дядя Вася решил найти вес одного гвоздя. Для повышения точности измерений он взвесил на лабораторных весах несколько разных гвоздей и получил следующий ряд чисел (вес гвоздя в граммах): 4,47; 4,44; 4,64; 4,32; 4,45; 4,32; 4,54; 4,58.
Какую из характеристик - среднее арифметическое, моду или медиану — этого ряда ему следует взять в качестве оценки для веса одного гвоздя?
Найдем все три характеристики:
х=4,47, Мо = 4,32, Me= 4,46. Самой подходящей по смыслу задачи является среднее арифметическое. Не сильно отличается от него и медиана, которая тоже вполне пригодна для оценки среднего веса. А вот мода здесь вряд ли подойдет, поскольку все значения полученного ряда разные, и совпадение двух чисел 4,32 вряд ли отражает какую-то существенную закономерность в изготовлении гвоздей.
Таким образом, при формальном существовании всех трех характеристик, разумно использовать можно только две из них. Какую именно — все равно, поскольку они в данном случае очень близки друг к другу. А вот пример, в котором,1 наоборот, мода содержит больше полезной информации.
Пример 3. Перед нами ранжированный ряд, представляющий данные о времени дорожно-транспортных происшествий на улицах Москвы в течение одних суток (в виде ч:мин);
0:15, 0:55, 1:20, 3:20, 4:10, 6:10, 6:30, 7:15, 7:45, 8:40, 9:05, 9:20, 9:40,10:15,10:15,11:30, 12:10, 12:15, 13:10, 13:50, 14:10, 14:20, 14:25, 15:20, 15:20, 15:45, 16:20, 16:25, 17:05, 17:30, 17:30, 17:45, 17:55, 18:05, 18:15, 18:45, 18:50, 19:45, 19:55, 20:30, 20:40, 21:30, 21:45, 22:10, 22:35.
Как и для любого ряда в данном случае мы можем найти среднее арифметическое — оно равно 13:33. Однако вряд ли имеет какой-то смысл утверждение типа «аварии на улицах Москвы происходят в среднем в 13 часов 33 минуты*. В то же время, если сгруппировать данные этого ряда в интервалы, можно найти такой временной интервал, когда происходит наибольшее количество ДТП (такую характеристику называют интервальной модой). Получив такую характеристику, соответствующим службам имеет смысл серьезно проанализировать, почему именно в этот временной интервал происходит наибольшее количество происшествий, и попытаться устранить их причины.
И, наконец, пример, где удобнее пользоваться медианой.
Пример 4. На школьной спартакиаде проводится несколько квалификационных забегов на 100 м, из которых в финал выходит ровно половина от числа всех участников. Перед вами результаты всех спортсменов. Какой результат позволяет пройти в финал? 15,5; 16,8; 21,8; 18,4; 16,2; 32,3; 19,9; 15,5; 14,7; 19,8; 20,5; 15,4.
Здесь для ответа на вопрос нужно вычислить медиану: Me= 17,6. Спортсменов, которые имеют результат выше найденного, будет как раз половина от числа всех участников. А вот результат выше среднего арифметического, которое равно здесь г = 18,9, еще не позволяет рассчитывать на выход в финал; в списке есть спортсмен с результатом 18,4, который не попадает в финал. Мода этого ряда равна Мо = 15,5 и дает слишком завышенную оценку для «сред него результата».
Посмотрим теперь более внимательно на некоторые интересные свойства среднего арифметического, моды и медианы, вытекающие из их определений. Среднее арифметическое числового ряда является его наиболее естественным «центром». Если нарисовать все члены ряда на числовой прямой, то среднее арифметическое будет их центром масс. Точнее, представим себе, что в каждой из точек xvx2, ..., ха на числовой оси находятся грузы одинаковой массы. Если теперь
«подвесить» числовую ось в точке х, то вся система будет находиться в равновесии. Вот так, например, это будет выглядеть для числового ряда из последнего примера 4 (рис. 1):
Правда, и в этом случае ряд, как уже говорилось, может быть полимодальным. Особенностью моды является еще и то, что ее можно использовать не только в числовых рядах. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных. Это одна из причин, по которой мода широко используется при изучении спроса и проведении других социологических исследований. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т.п. предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ. И даже выборы президента с точки зрения статистики — не более чем определение моды...
Достоинством медианы является ее большая по сравнению со средним арифметическим «устойчивость к ошибкам». Представим себе, что в таблицу результатов из примера 4 вкралась досадная оплошность: при записи одного из чисел мы пропустили десятичную запятую и вместо 21,8 написали 218. Тогда среднее арифметическое результатов возрастет с 18,9 секунд до 35,25 секунд, а медиана будет по-прежнему 17,6 секунд!
VII. Вопросы и задачи
- Что такое среднее арифметическое, мода и медиана числового ряда? Какая из этих величин может не существовать?
- На стадионе «Локомотив" была зафиксирована следующая посещаемость первых четырех футбольных матчей: 24 000, 18 000, 22 000, 24 000. Какова была средняя посещаемость этих матчей? Сколько зрителей должно посетить следующий матч, чтобы средняя посещаемость выросла?
3. Найдите медиану следующих рядов данных: а) 8, 4, 9, 5, 2; б) 
; 
; 
; 
4. Президент компании получает зарплату 100 000 р., четверо его заместителей получают по 20 000 р, а 20 служащих компании — по 10 000 р. Найдите все средние характеристики среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?
5. На одной из станций метрополитена были замерены интервалы времени между поездами и получены следующие результаты (мин:с):
2:16, 1:59, 2:05, 2:10, 2:05, 2:08, 2:03, 1:58, 1:56, 2:12.
Найдите среднее значение интервала времени между поездами метро. Ответ получите в виде мин:с.
Указание. Помните, что в минуте 60, а не 100 секунд, поэтому с числами данного ряда нельзя оперировать, как с десятичными дробями.
- Каждое число исходного числового ряда увеличили на 10. Что произойдет с его средним арифметическим? модой? медианой?
- Все числа исходного числового ряда увеличили в два раза. Что произойдет с его средним арифметическим? модой? медианой?
- Найдите для числового ряда
1,2,3,4 все возможные значения, при которых:
а) среднее арифметическое ряда равняется 3;
б) мода равняется 3;
в) медиана равняется 3.
Дополнительные задачи
- Приведите пример ряда чисел, среднее арифметическое которых равно нулю. Могут ли в таком ряду быть ненулевые числа? Может ли мода такого ряда быть отличной от нуля?
- Приведите пример числового ряда, размах которого равен нулю. Как связаны в таком ряду мода и среднее арифметическое?
- Приведите пример ряда чисел, мода которого равна нулю, а среднее арифметическое не равно нулю.
- Может ли среднее арифметическое ряда чисел совпадать с его наибольшим числом? Какой при этом будет размах ряда?
Задача 1. В таблице представлены результаты контрольной работы. Найдите моду (наиболее распространенную оценку) и средний результат контрольной.
| ОТМЕТКА | 7А КЛАСС | 7Б КЛАСС | 7В КЛАСС |
| 2 | 3 | 0 | 4 |
| 3 | 7 | 9 | 6 |
| 4 | 5 | 4 | 7 |
| 5 | 6 | 5 | 4 |
Задача 2. Если в числовом ряду все элементы увеличить на одно и то же число, то как изменится среднее арифметическое, мода и размах? Рассмотрите на примерах и сделайте общий вывод.
Задача 3. Вычислите среднее арифметическое ряда: 37, 254, 9, 21, 699. Используя полученный результат, найдите среднее арифметическое ряда:
а) 0,37; 2,54; 0,09; 0,21; 6,99;
б) 37 000; 254 000; 9000; 21 000; 699 000.
Задача 4. Как изменится среднее арифметическое, если
все члены ряда умножить на одно и то же число? Как при этом меняются мода и размах?
VIII. Подведение итогов
Выставляется оценка - за домашнюю работу (построение графиков, диаграмм, таблиц).
Задание на дом
Провести и оформить результаты социологического опроса во всех 7-х классах.
Используемая литература:
Газета «Математика» 1999,2002,2007г