Основная цель:
- На популярном уровне познакомить учащихся с разделом математики, который приобрёл сегодня серьёзное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий.
- Учащиеся должны получить представление о том, что такое комбинаторная задача, познакомиться с комбинаторным правилом умножения.
Ход урока
Первое знакомство с понятием вероятность.
Сценка из жизни.
Андрей и Витя идут в школу на первый урок - математику. Между ними происходит следующий диалог.
Андрей: Вероятно, меня сегодня вызовут к доске.
Витя: Меня тоже, вероятно, сегодня вызовут.
Андрей: Тебя недавно спрашивали, а меня давно не спрашивали, так что более вероятно, что вызовут меня, а не тебя.
Витя: Согласен. Меня тоже могут вызвать отвечать, но это менее вероятно.
Обратите внимание, какие термины использовали ребята: вероятно, более вероятно, менее вероятно. Все мы довольно часто говорим так, когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п.
Задача 1.
Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените событие словами: стопроцентная вероятность, нулевая вероятность, маловероятно, достаточно вероятно.
- Среди ночи выглянуло солнце.
- Дата рождения моего друга – число, меньше, чем 32.
- На уроке математики ученики делали физические упражнения.
- На уроке математики ученики решали математические задачи.
- Сборная России по футболу станет в 2009 году чемпионом мира.
- Сборная России по футболу станет в 2009 году чемпионом Европы.
- Из интервала (1;2) наугад взяли число, оно оказалось натуральным.
- Из отрезка [1;2] наугад взяли число, оно оказалось натуральным.
Но очень часто, такие приблизительные оценки, оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвящённый исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей.
Знакомство с комбинаторикой.
Её основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские учёные 18 века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой. Приведём пример, который иллюстрирует все вышесказанные слова.
Начальник написал 10 различных писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%.
Правило умножения для комбинаторных задач.
Далее рассмотрим задачи, которые решаются на основе часто используемого в комбинаторике правила умножения.
Задача 1.
Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолёте, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир - на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург – Москва - Владимир?
Решение: Сначала следует выбрать один из четырёх возможных способов путешествия из Петербурга в Москву, а затем – один из двух способов путешествия из Москвы во Владимир. Значит всего получается 4•2=8 способов путешествия. (Это рассуждение лучше проводить с опорой на рисунок.)
Соображения, приводимые при решении этой задачи, желательно обобщить в виде простого утверждения, которое носит название комбинаторного правила умножения.
Если некоторое действие можно осуществить m различными способами, после чего другое действие можно осуществить n различными способами, то два эти действия можно осуществить m•n различными способами.
Задача 2.
В розыгрыше чемпионата по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены:
а) золотая медаль;
б) золотая и серебряная медали;
в) золотая, серебряная и бронзовая медали?
Ответ:
а) 12 (золотую медаль, в принципе, может получить любая команда.)
б) 12 х 11=132 (выбор золотого медалиста ограничивает круг претендентов на серебряную медаль – их остаётся только11, в самом деле, если команда получила золотую медаль, то она уже не является претендентом на серебряную медаль.)
в) 12 х 11 х 10=1320 (Это обобщение правила умножения, здесь рассматривается не два, а три действия, выполняемых последовательно)
Задача 3.
Сколько существует вариантов кода для входной двери, состоящего из трёх цифр?
В условии задачи не оговорено, как набирается код: последовательно или одновременно нажимаются все три кнопки? Эта недоговорённость, характерная для ряда комбинаторных задач, даёт возможность учащимся в ходе решения на собственном опыте ощутить те подводные камни, которые часто подстерегают нас в комбинаторных задачах.
Решение:
Если рассмотреть случай последовательного набора, то цифры могут повторяться. Цифр всего 10, поэтому мы имеем 10 х 10 х 10=1000 вариантов кода.
В случае одновременного набора трёх цифр получается 10х 9 х 8=720 вариантов кода. (Первым пальцем может быть нажата любая из 10 цифр, вторым – одна из оставшихся девяти, третьим – одна из оставшихся восьми.)
Домашнее задание:
- Задача 1. Сколько существует четырёхзначных чисел, которые делятся на 5? (Ответ: 9 х 10 х 10 х 2=1800)
- Задача 2. Известно, что у всех жителей селения разные инициалы. Какое максимальное число жителей может быть в селении? (Имя и отчество могут начинаться с любой буквы алфавита, кроме й, ъ, ь, ы.) (Ответ: максимально 29 х 29=841 житель.)