Элективный курс "Исследование корней квадратного уравнения" (9-й класс)

Программа

1. Квадратное уравнение и его корни. (2 ч.)

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

2. Теория Виета. (2 ч.)

Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения. Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.

3. Существование корней квадратного уравнения (2 ч.)

Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта.
Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

4. Расположение корней квадратного уравнения. (4 ч.)

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей. Решение задач. Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.

5. Решение квадратных уравнений с параметром (2 ч.) Что значит решить уравнение с параметром. Решение уравнений.

6. Решение задач. Зачёт. (6 ч.)

I. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, а =/= 0. В зависимости от дискриминанта D = b² – 4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D > 0), один корень (D = 0) и не иметь корней (D < 0).
Квадратное уравнение, у которого а = 1, называют приведенным и записывают в виде х² + рх + q = 0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

а) 3х² + х + 2m – 3 = 0
б) х² – 2х + m – 1 = 0
в) х² + (m + 3)х + m – 3 = 0?

2..При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

а) х² + (3а – 5)х = 2
б) 2х² – (5а – 3)х + 1 = 0
в) 4х² + (5а – 1)х + 3а + а = 0?

3.При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:

а) 3х² + (к – 1)х + 1 – к = 0
б) х² – (3к + 4к)х + 9к – 16 = 0
в) х² + (16 – к)х + к + 8 = 0?

4. Найти корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, если а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.

Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения.

5. При каком значении а уравнения х² + ах + 1 = 0 и х² + х + а = 0 имеют общий корень?

Ответ: а = – 2.

6. Доказать, что при любом значении а уравнение (а – 3) х² + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.

II. Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета.

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, тогда х₁ + х₂ = – b/a, х₁х₂ = c/a. Для приведённого квадратного уравнения х² + рх + q = 0, если х₁ и х₂ – корни этого уравнения, то х₁ + х₂ = – p, х₁х₂ = q.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + рх + q = 0.

1. Не вычисляя корней уравнения 3х² + 8х – 1 = 0, найти:

а) х₁² + х₂²
б) х₁х₂³ + х₂х₁³;
в) х₁/х₂ + х₂/х₁
г) х₁⁴ + х₂⁴.

2. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х² – 7х – 3 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁ – 2 и х₂ – 2
б) 2х₁ + 3 и 2х₂ + 3;
в)1/x₁ и 1/х₂
г) х₁ + 1/х₂ и х₂ + 1/x₁

3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х² – 3,75х + а = 0 является квадратом другого?

Ответ: – 125/8; 27/8.

4. При каком значении параметра а один из корней уравнения х² – (3а + 2)х + а² = 0 в девять раз больше другого?

Ответ: – 6/19; 6.

5 . Корни х1 и х₂ уравнения х² + рх + 12 = 0 обладают свойством х₂ – х₁ = 1. Найти р.

Ответ: ± 7.

6. При каком значении параметра а уравнение х² + (а² + а – 2)х + а = 0 имеет корни, сумма которых равна 0?

Ответ: – 2.

7. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х² + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеет корни одного знака?

Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).

8. При каком значении параметра а корни уравнения ах² + (2а – 1)х + а – 2 = 0 отрицательны и их сумма меньше – 5?

Ответ: [ – 0,25; 0).

9. При каком значении параметра р корни уравнения (р – 2)х² + 2рх + р + 4 = 0 разных знаков и их сумма отрицательна?

Ответ: ( – 4; 0).

III. Существование корней квадратного уравнения

Для того чтобы квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а > 0, то для доказательства того, что уравнение ах² + bx + с = 0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х₀, в которой f(x₀) = ах₀² + bx₀ + c < 0. Чаще всего в качестве х₀ берут 0 (даёт достаточное условие с < 0), 1 (условие а + b + с < 0) или – 1 (условие а – b + c < 0).

1. Доказать, что при любом а уравнение (а³ – 2а²)х² – (а³ – а + 2)х + а² + 1 = 0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0) = a² + 1 > 0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х₁, для которого f(x₁) < 0. Очевидно, что f(1) = – a² + a – 1 < 0 при любом а. Легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение.

2. При каких значениях параметра а уравнение х² – 23(а – 3)х + а² – 3а + 2 = 0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение. Если а² – 3а + 2 < 0, т.е. 1 < а < 2, то уравнение имеет корни разных знаков. В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть те случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х. Значит, для того чтобы было х₁ > 0 и х₂ > 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:

Аналогично рассматриваются другие случаи.

Ответ: если а < 1 или 2 < а < 2,5, то х₁ < 0, х₂ < 0; если а = 1 или а = 2, то х₁ < 0, х₂ = 0;

если 1 < а < 2, то х₁ < 0, х₂ > 0;
если а = 2,5, то х₁ = х₂ < 0; если 2,5 < а < 5, то корней нет;
если а = 5, х₁ = х₂ > 0; если а > 5, х₁ > 0, х₂ > 0.

3. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х² + (2а + 6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?

Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а =/= 0, а =/= 3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4 = (а + 3)² – а(а + 3)( – 3а – 9) > 0
Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а = 0 и а = – 3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а = – 3.

Ответ: { – 3} ( – 1/3;0) (0; + )

4. При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х² + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?

Комментарий к решению. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а =/= 0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D = а² – 7а + 10 = 0 при а = 2 или а = 5. Значение а = 2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

Ответ: а = 5.

5. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х² + (а + 4)х + а + 7 = 0 имеет единственное решение?

Ответ: 1;2; – 22/3.

6. При каком значении параметра а уравнение (2а – 5)х² – 2(а – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Ответ: 5/2;4.

7. При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?

(х² – (3а – 1)х + 2а² – 2)/(х² – 3х – 4) = 0.

Ответ: – 2;0,5.

IV. Расположение корней квадратного уравнения

Для решения задач этого пункта существует таблица (см. Приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.

1. При каком значении параметра а один корень уравнения х² – (3а + 2)х + 2а – 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у = х² – (3а + 2)х + 2а – 1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось X, причем отрезок [х₁; х₂] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х² – (3а + 2) х + 2а – 1 при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х₁ < 1 < х₂.

Ответ: а > – 2.

В общем случае для того, чтобы уравнение f(х) = ах² + вх + с = 0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A) < 0.

2. Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2 – а)х² – 3ах + 2 = 0 больше 1/2.

Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 > 1/2). Если а =/= 2, то уравнение – квадратное. Введем обозначение f(x) = (2 – а)х² – 3ах + 2, хв = 3а/2(2 – а), D = а(17а – 16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D > 0, х_в > 1/2, (2 – а)f(1/2) > 0. Решая эту систему, получим: 16/7 < а < 2.

Ответ: [16/17; 2].

3. При каких значениях параметра а уравнение (а – 2)х² – 2(а + 3)х + 4а = 0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть, а =/= 2. Рассмотрим функцию f(х) = (а – 2)х² – 2(а + 3)х + 4а, (а =/= 2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось ОX один раз на интервале ( – ; 2) и один раз на интервале (3; + ). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:

Ответ: 2 < а < 5.

4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х² – (3а + 1)х – а – 2 = 0 лежат в промежутке ( – 1;2)?

Ответ: ( – 3/2; 12/7).

5. Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х² + 2ах + 3а – 2 = 0 удовлетворяет условию х < – 1.

Ответ: а = 2, а < 1.

6. Найти все значения а, при которых уравнение х² – 6х + а = 0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Ответ: – 7 < a < 5.

7. Найти все значения а, при которых все корни уравнения х² + х + а = 0 больше а.

Ответ: а < – 2.

V. Решение квадратных уравнений с параметром

Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

1. Решить уравнение х² – вх + 4 = 0.

Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D = в² – 16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в < – 4 или в > 4, то х = (в ± в² – 16)/2; если в = ±4, то х = в/2;если – 4 < в < 4, то корней нет.

2. Решить уравнение (а – 2)х² – 2ах + 2а – 3 = 0.

Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а = 2 и а =/= 2. В первом случае исходное уравнение принимает вид – 4х + 1 = 0. Это линейное уравнение с одним корнем х = 0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D = – 4(a – 1)(a – 6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

В результате решения получаем ответ:

если а < 1, то корней нет; если а = 1, то х = – 1;
если 1 < a < 2, то х_1,2 = (а ± (1 – а)(а – 6))/(a – 2); если а = 2, то х = 0,25;
если 2 < a < 6, то х_1,2 = (а ± (1 – а)(а – 6))/(a – 2); если а = 6, то х = 1,5;
если а > 6, то корней нет.

3.. Решить уравнение (2а – 1)х² – (3а + 1)х + а – 1 = 0.

Ответ: если а = 0,5, то х = – 0,2; если – 9 – 84 < a < – 9 + 84, то корней нет; если а < – 9 – 84 или – 9 + 84 < а < 0,5 или а > 0,5 то х = (3а + 1 + а² + 18а – 3)/(2а – 1)

4. Решить уравнение ах² – (1 – 2а)х + 2 – а = 0.

Ответ: если а = 0, то х = – 2; если а < – 0,25, то корней нет; если а = – 0,25, то х = – 3; если – 0,25 < а < 0 или а > 0, то х_1,2 = (1 – 2а ± 4а + 1)/2а.

5. Решить уравнение (х² – 5х + 6)/(х – а) = 0

Ответ: если а = 2, то х = 3; если а = 3, то х = 2; если а =/= 2, а =/= 3, то х = 2 или х = 3.

VI. Разные задачи

1. Найти все значения а, при которых уравнения ах² + (3 + 4а)х + 2а² + 4а + 3 = 0 имеет только целые корни.

Решение. Пусть а = 0, тогда из уравнения следует, что 3х + 3 = 0, х = – 1. Поэтому а = 0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а =/= 0, тогда уравнение равносильно уравнению х² + (4 + 3/а)х + 2а + 4 + 3/а = 0. Если х₁ и х₂ – целые корни нового уравнения, то – 4 – 3/а и 2а + 4 + 3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а = n, где n Z, тогда а = n/2, 3/а = 6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел ±1; ±2; ±3; ±6. Проверка показывает, что только при n = – 1 и n = 3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.

Ответ: 0; – 1/2; 3/2.

2. Найти все значения а, при которых уравнение х² + (а + 2)х + 1 – а = 0 имеет 2 действительных корня х₁ и х₂ такие, что х₁х₂ < 0, |х₁| < 4, |х₂| < 4.

Решение. Обозначим f(х) = х² + (а + 2)х + 1 – а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f( – 4) > 0, f(4) > 0, f(0) > 0. Получили систему:

Решая систему, получаем 1 < а < 9/5.

Ответ: 1 < а < 9/5.

3. Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1 + а)х² – 3ах + 4а = 0 в зависимости от а?

Ответ: если – 1 < а < 0,5, то один корень меньше 1; если – 0,5 < а < 0, то оба корня меньше 1; при других а таких корней нет

4. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение: ах² + | х – 1| = 0

Ответ: если а < – 1/4, то два корня; если а = – 1/4, то три корня; если – 1/4 < а < 0, то четыре корня; если а = 0, то один корень; если а > 0, то корней нет.

5. 2х² + а| х – 2 | = 0

Ответ: если а < – 8, то четыре корня; если а = – 8, то три корня; если – 8 < а < 0, то два корня; если а = 0. то один корень; если а > 0, то корней нет.

6. х² + 2| х – а | = 5

Ответ: если а < – 3 или а > 3, то корней нет; если а = ±3, то один корень; если – 3 < а < 3, то два корня.

VII. Задачи к зачёту

1. При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения 2х² – рх + 2р² – 3р = 0 равен нулю?

Ответ: р = 1,5.

2. При каком значении параметра р корни уравнения 3х² + (р² – 4р)х + р – 1 = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Ответ: р = 0.

3. При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х² + (3а² – | а |)х – а³ – 3а = 0 равны нулю?

Ответ: а = 0.

4. Не вычисляя корней уравнения 2х² – 5х – 4 = 0 найти:

а) 1/х₁² + 1/х₂²;
б) х₁х₂⁴ + х₂х₁⁴;
в) х₁/х₂³ + х₂/x₁³.

5. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х² – 6х – 1 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁х₂² и х₂х₁²;
б) 1/х₁² и 1/х₂²;
в) х₁/х₂ + 1 и х₂/х₁ + 1;

6. В уравнении 5х² – ах + 1 = 0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.

Ответ: ±5.

7. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х² – (а + 3)х + 6 = 0 равно 1,5?

Ответ: – 8; 2.

8. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а + 1)х² + (а + 1)х + а = 0 положительна?

Ответ: [ – 1/7;1/2)

9. При каких значениях параметра а корни уравнения (а + 1)х² + (2 – а)х + а + 6 = 0 положительны?

Ответ: [ – 10 ; – 6)

10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а – 1)х² + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеют одинаковые знаки?

Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).

11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х² + (3а + 4)х – 3 = 0 лежат в промежутке ( – 2 ; 1)?

Ответ: ( – 5/2 ; 5/7).

12. При каких значениях параметра а уравнение (а – 1)х² = (а + 1)х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 < х < 3?

Ответ: (0;12/7); 1 + 23/3.

13. Решить уравнения при всех значениях параметра:

а) ах² – 6х + 1 = 0;
б) ах² = 4;
в) х² – ах = 0;
г) ах² + 8 = 2х² + 4а.

14. Решить уравнение (а – 1)х² + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0.

Ответ: если а < – 4/5, то корней нет; если а = 1, то х = – 7/6, если а > – 4/5 и а =/= 1, то х_1,2 = ( – (2а + 1) ± 5а + 4)/(a – 1).

Литература

1. Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2005.
2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Москва. «Просвещение». 2005.
3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10. Москва. «Просвещение». 2004.
4. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. Москва. «Просвещение». 1998.
5. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. 2003 г. № 7.
6. Шабунин М.И. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Математика в школе. 2003 №3.
7. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. Математика в школе. 2001 г. № 5.
8. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Москва-Харьков. «Илекса», «Гимназия». 2002.