Урок-лекция
Цели урока:
- образовательная: познакомить учащихся с геометрической фигурой - пирамида, изучение элементов пирамиды (основание, вершина, боковые ребра, высота, тетраэдр), ввести историческую справку, познакомить учащихся с формулой нахождения объема;
- развивающая: формирование умений и навыков пользоваться математическими инструментами, решение задач на построение пирамиды, ее сечения;
- воспитательная: данная тема способствует воспитанию любознательности, усидчивости, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур.
Ход урока
1. Изучение нового материала
Историческая справка (сообщение учащегося):
Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис» в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.
Основные понятия (учитель показывает на объемной фигуре, или на заранее нарисованной на доске фигуре):
Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Треугольная пирамида называется тетраэдром.
Например, у пирамиды основание – А1А2…An, вершина - S, боковые ребра - SА1,SА2…, боковые грани - ∆SА1А2, SА1An. (рис. 1)
Рисунок 1
Увлекательная задача (сообщение учащимся), оборудование: картон, цветная нить.
Изготовить объемную модель пирамиды можно своими руками. Например, для задачи: Основанием пирамиды служит прямоугольник. Определить высоту пирамиды, если одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а три других равны соответственно a, b, c.
На листке картона учащиеся чертят прямоугольник ABCD и треугольник ADS (рис.а). Лист перегибают по прямой DA. Точки S и C, S и B соединяют цветной нитью или шнуром так, чтобы при взаимной перпендикулярности граней ADCB и DSA они были туго натянуты. Они закрепляются узлами с обратной стороны картона. Получаем пирамиду, о которой говорится в задаче (рис. 2).
Рисунок 2
2. Закрепление - решение познавательных задач (сообщается учителем)
Важным при изучении пирамиды являются задачи на построения их сечений, установление формы этих сечений.
Задача № 1.
Условие задачи. Дан тетраэдр ABCD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной грани ACD и проходящей через точку M ребра DB.
Рисунок 3
Построение:
1. строим MP, MP//DA;
2. MN, MN//CD;
3.∆MNP – искомое сечение.
Рисунок 4
Сечение пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. Треугольниками являются диагональные сечения.
Задача № 2. Исторические задача
Историческая справка.
Согласно Архимеду, еще в V в. До н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и той же высотой. В «началах» Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соответственным высотам.
Для частного случая четырехугольной пирамиды с двумя боковыми гранями, наклоненными под углом 450 к горизонтальному основанию, объем был вычислен еще древними вавилонянами. Демокрит рассматривал пирамиду как сложенную из бесконечно таких и подобных друг другу пластинок (кружков). Доказательство основывалось на метод исчерпывания с применением доказательства от противного.
Условие задачи. Пусть требуется, например, найти объем V пирамиды UABCDE, зная площадь S ее основания и ее высоту UO = h. Пусть F(x) - площадь произвольного сечения A1B1C1D1E1, параллельного основанию и находящегося на расстоянии x от вершины.
Решение.
В силу подобия фигур ABCDE и A1B1C1D1E1, F(x) – связана с переменной x соотношением:
Объем части тела можно представить в виде F(x)dx. Тогда искомый объем V как предел соответствующей интегральной суммы объемов всех частей тела представится:
Ответ: объем пирамиды равняется 1/3 произведения площади ее основания на высоту.
Рисунок 5
Задача № 3 (№ 54 [6])
Условие задачи. Боковое ребро пирамиды разделено на 4 равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
Решение
Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия 1/4, 2/4 и 3/4. Площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей сечения к площади основания пирамиды есть (1/4)2, (2/4)2 и (3/4)2. Следовательно, площади сечений равны:
Решение следующих задач осуществляется по одному плану. Достаточно знать способ решения лишь одной из них, чтобы по аналогии решить другую. Любую из этих двух можно принять за опорную.
Задача № 4.
Условие задачи. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. Доказать, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания пирамиды.
Задача № 5.
Условие задачи. Боковые ребра пирамиды равны между собой. Доказать, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания пирамиды.
Урок-семинар
Цели урока:
- образовательная: провести закрепление материала путем решения задач.
- развивающая: формирование умений и навыков пользоваться математическими инструментами, решение задач на тему «пирамида».
- воспитательная: данная тема способствует воспитанию любознательности, усидчивости, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур.
Урок представлен в виде урока-семинара. На этом уроке учитель разбирает все типы задач и их решения на тему «пирамида».
Ход урока
Задача на вычисление
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 450. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.
Решение.
Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d=10 см.
Ответ: 10 см.
Задача на исследование
Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?
Решение.
Плоские углы при вершине пирамиды равны 600, так как каждая боковая грань – равносторонний треугольник. Следовательно, боковых граней меньше, чем 3600:600=6, т.е. в основании может быть равносторонний треугольник, квадрат или пятиугольник.
Задачи на доказательство
Задача № 1. Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 600. Верно ли это утверждение?
Решение.
Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, α - искомый угол,
Ответ: да
Задача № 2. Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».
Решение.
Основание пирамиды – правильный многоугольник. Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следовательно, пирамида – правильная.
Задача № 3. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
Решение.
Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен
,
а боковое ребро – гипотенуза – равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы.
Задачи на построение
Задача № 1. На рис. изображена пирамида PABC, у которой
.
Верен ли чертеж?
Решение.
По условию
,
т.е. по теореме о трех перпендикулярах
.
Так как, опять же по условию,
,
то отрезок TE либо параллелен плоскости PHK, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен.
Рисунок 6
Задача № 2. На рисунке изображена пирамида KABCD.
Через точку M, 
провести прямую, параллельную BD.
Решение.
Проведем через прямую BD и данную точку M плоскость. Она пересечет грань ABK по прямой
а грань ADK
по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку M прямую
параллельно BD.
Рисунок 7
Задача на нахождения объема
В основании пирамиды SABC лежит треугольник, у которого ∟С=90°, ∟А =α, АВ = с. Боковые рёбра пирамиды одинаково наклонены к плоскости её основания, угол между гранью SBC и плоскостью основания равен β. Найдите объём пирамиды.
Дано: SABC – пирамида,
∆АВС - прямоугольный ,
∟С =90° , ∟А = α,
АВ = с, ∟SRO =β.
Найти: VSABC
Рисунок 8
Решение задачи подробно рассмотрено на схеме:
Урок-зачет
Цели урока:
- образовательная: проверить ранее пройденный материал.
- развивающая: формирование учащихся умений работать в группе.
- воспитательная: данный урок способствует воспитанию усидчивости, сообразительности, внимательности, самостоятельности.
Вопросы к зачету по теме «Пирамида».
(Заранее ученикам раздаются)
Теоретические вопросы:
1. Какой многогранник называют пирамидой, усеченной пирамидой?
2. Приведите среди окружающих вас предметов те, которые имеют форму пирамиды, усеченной пирамиды.
3. Назовите основные элементы пирамиды, дайте им определение. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) n-угольная пирамиды, б) n-угольная усеченная пирамиды?
4. Сколько плоских, двугранных и многогранных углов: а) в тетраэдре, б) в четырехугольной пирамиде, в) в усеченной треугольной пирамиде.
5. Дайте определение правильной пирамиды. Назовите ее основные элементы.
6.Всегда ли правильная пирамида имеет: а) ось симметрии, б) плоскость симметрии?
7. Какой фигурой является ортогональная проекция на плоскость основания а) пирамиды, б) правильной пирамиды?
8. Дана пирамида. На каком расстоянии от ее вершины надо провести сечение, параллельное основанию, чтобы получился многогранник: а) со стороной, в 2 раза меньшей, чем соответствующая сторона основания, б) площадь которого в 2 раза меньше площади основания?
9. В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна площади сечения, проведенного через высоту и боковое ребро. Какой должна быть высота этой пирамиды?
10. Площадь основания пирамиды равна 4. На каком расстоянии от вершины надо провести сечение пирамиды, параллельное основанию, чтобы площадь полученного многоугольника равнялась 1?
11. Докажите, что в правильной пирамиде существует точка, одинаково удаленная от всех вершин, - центр сферы, описанной около пирамиды. Где находится эта точка?
12. Докажите, что в правильной пирамиде существует точка, одинаково удаленная от всех ее граней, - центр вписанной в пирамиду сферы. Где расположена эта точка?
13. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой: а) две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, б) две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию, в) три боковые грани перпендикулярны основанию?
Практические задания:
1. Докажите, что число ребер: а) пирамиды кратно 2, б) усеченной пирамиды кратно 3.
2. Докажите что число плоских углов в пирамиде кратно 4.
3. Дана треугольная пирамида SABC, в основании которой прямоугольный треугольник ABC, SA=SB=SC. Изобразите высоту пирамиды.
4. Будет ли правильной пирамида, если: а) ее боковые ребра равны, б) в ее основании правильной многоугольник, в) плоские углы при ее вершине равны, г) боковые грани равны и в основании правильный многоугольник?
5.Докажите, что в правильной тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны.
6. Докажите, что в сечении тетраэдра плоскостью, параллельной двум противоположным ребрам, получается параллелограмм.
7. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
8. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 450. Найдите высоту пирамиды.
9. Основания пирамиды – параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
Ход урока
В начале урока учитель раздает карточки, рассчитанные на 4 человека. В карточке 5 заданий, сформированные из теоретических и практических заданий (3 устных вопроса, 2 практических задания). Для получения зачета необходимо решить одну задачу и ответить на два устных вопроса. Решив все задания, группа садится к учителю. Учитель просматривает у каждого листики с решенными упражнениями и задает каждому еще по одному устному элементарному вопросу. Если ученик отвечает, то он получает зачет.
Образец карточки № 1 на зачет (4 человека)
1. Какой многогранник называют пирамидой, усеченной пирамидой (сделать чертеж)?
2. Назовите основные элементы пирамиды, дайте им определение. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) n-угольная пирамида, б) n-угольная усеченная пирамида?
3. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две смежные боковые грани перпендикулярны основанию?
4. Докажите, что в правильной тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны.
5. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 14 см, а боковая сторона 8 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 300. Найдите высоту пирамиды.
Литература
1. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.
2. Гастева С.А., Квасникова З.Я., Ляпин С.Е. Методика преподавания математики, часть II. - Л.: Ленинградское отделение Учпедгиза, 1956. - 655 с.
3. Литвиненко В.Н. Решение типовых задач по геометрии: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1999. – 304 с.
4. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса / Б.Г. Зив. - М.: Просвещение, 2001. - 128 с.
5. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве: учеб. пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов. - Висагинас: Alfa, 1998. - 576 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 4-е изд. - М.: просвещение, 1993. – 383 с.
7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. -М.: Дрофа, 1999. – 208 с.
8. http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/geometr/7_2/7_2.htm
9. http://www.fos.ru/matemat/9145.html
10. http://www.pm298.ru/stereom.shtml
11. http://www.college.ru/mathematics/courses/stereometry/
content/chapter6/section/paragraph2/theory.html
12. http://www.math.ru/dic/539