В старшей школе целесообразно проводить зачеты по основным темам курса математики. Предложенные мною билеты по теме «Интеграл» в 11 классах (профильном и общеобразовательном) – форма письменного зачета. Не позднее, чем за неделю до зачетного урока учащиеся должны получить вопросы для подготовки в виде перечня основных определений и теорем. По усмотрению учителя в профильном классе можно сформулировать основные типы задач (но не давать сами задачи), а для общеобразовательного класса можно предложить перечень практических заданий в произвольном порядке.
В вариантах зачета в профильном классе первое задание предполагает знание основных определений, второй – доказательство теоретического факта. Остальные задания практического содержания. При этом 5-е задание может быть включено в основной текст зачета, а может идти как задача повышенной сложности на отдельную оценку, это зависит от подготовленности класса.
В билетах для общеобразовательного класса только первое задание носит характер теоретического изложения материала в явном виде. Остальные практические задания подразумевают умения учащихся применять на практике теоретические знания.
По усмотрению учителя можно за зачет поставить две оценки: за теоретические и практические знания по данной теме. Время, отводимое на зачет - один урок. При желании учителя во время письменного опроса можно провести собеседование со слабыми учащимися.
Билеты к зачету «Интеграл» в профильном классе
Билет 1
- Сформулировать определение первообразной.
- Доказать свойство неопределенного интеграла (интеграл суммы двух функций).
- Найти уравнение первообразной F(х) функции f(х) =
, если график первообразной проходит через точку М(1;
).
- Найти площадь фигуры, ограниченной графиками линиями у = х2, у = 8, х = 0.
- Найти
.
Билет 2
- Сформулировать определение неопределенного интеграла.
- Доказать теорему о первообразной функции.
- Найдите уравнение первообразной F(х) функции f(х) = 3sin3х – 3cos3х, если график первообразной проходит через точку М(
;1).
- Найти площадь фигуры, ограниченной графиками линиями у =
, у = 2 - х, у = 0.
- Вычислить
.
Билет 3
- Сформулировать определение определенного интеграла.
- Доказать свойство определенного интеграла (интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов слагаемых).
- Для функции f(х) = sin2х найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;1).
- Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х2 - 2х + 3, у = 3х-1.
- Задана функция F(t)=
. Найти F(π);
(0),
(π).
Билет 4
- Сформулировать определение криволинейной трапеции. Записать формулу Ньютона–Лейбница.
- Доказать свойство неопределенного интеграла (о вынесении множителя за знак интеграла).
- F(х) – первообразная f(х) = 5cosх - cos3х, F(хо) = 0. Решить уравнение F(х) = 0, если хо = π.
- Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у =
, у = 1,5.
- Найти
.
Билет 5
- Сформулировать определение первообразной.
- Доказать свойство определенного интеграла (
+
= …).
- Найдите первообразную функции f(х) =
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(х) = -
х2 + 1 и двумя касательными, проведенными к нему в точках пересечения графика с осью абсцисс.
- Найти
.
Билет 6
- Сформулировать определение неопределенного интеграла.
- Доказать свойство определенного интеграла (константу можно выносить за знак интеграла).
- Докажите, что функция F(х) =
х3 – 5х – одна из первообразных функции f(х) = х2 - 5 на промежутке (-∞;+∞).
- Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая вычисляется по формуле: S =
–
.
- Найти пары чисел а и в, при которых функция f(х) = аsin
+ в,
(4) = 2π,
=
.
Билет 7
- Сформулировать определение криволинейной трапеции.
- Вывод формулы для вычисления площадей фигур с помощью определенного интеграла.
- Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 1 – 2sin22t м/с. Найдите уравнение движения точки, если при t =
с пройденный путь составляет
м.
- Решить уравнение
= cos(
-2х).
- Фигура, ограниченная линиями у = -х2 + 2х + 3, у = 0, делится линией у = х + 1 на две части. Найти площадь каждой части.
Билет 8
- Сформулировать определение определенного интеграла.
- Доказать теорему о первообразной функции.
- Составить таблицу первообразных для функций f(х):
Функция | f(х)=с | f(х)=хр, р≠-1. | f(х) =![]() |
f(х)=sinх | f(х)=cosх | f(х)= ![]() |
f(х)= ![]() |
Первообразная |
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
f(х)= |
f(х)= |
Первообразная |
|
|
- Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая вычисляется по формуле: S =
+
.
- Найти
.
Билет 9
- Сформулировать определение первообразной.
- Вывести формулу для нахождения неопределенного интеграла сложной функции от линейного аргумента.
- Найти первообразную функции f(х) =
, график которой проходит через точку М(1;
).
- Доказать, что если f(х) – четная функция, определенная для всех значений х, то для любого а
= 2
, а если f(х) – нечетная функция, то
=0 (дайте геометрическое доказательство).
- Вычислить
.
Билет 10
- Сформулировать определение криволинейной трапеции. Записать формулу Ньютона – Лейбница.
- Доказать свойство определенного интеграла (
+
= …).
- Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая вычисляется по формуле: –
+
.
- Вычислить интеграл, используя геометрическую интерпретацию:
.
- Доказать, что функция F(х) = 3х + sin23х является первообразной для f(х) = 6cos2(
– 3х).
Билеты к зачету «Интеграл» в общеобразовательном классе
Билет 1
- Сформулировать определение первообразной.
- Записать общий вид первообразной функций у = хn, n ≠ -1, у = cosх.
- Для функции у = sinх укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (
;1).
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции у = -х2 + 3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой хо = 1.
Билет 2
- Сформулировать основное свойство первообразной.
- Записать общий вид первообразной функций у =
, у = sinх + 4.
- Найдите уравнение первообразной F(х) функции f(х) = 3х + 18 - х2, если график первообразной проходит через точку М(6;80).
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции у = х2 - 4х + 5 и касательной к этому графику в точке с абсциссой хо = 2.
Билет 3
- Сформулировать определение интеграла.
- Записать общий вид первообразной функций у =
, у =
.
- Для функции у = 2х4 укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (-1;2).
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 - 4х + 6, у = 4х - х2.
Билет 4
- Сформулировать три правила нахождения первообразной.
- Записать общий вид первообразной функций у = (1+2х)3, у = 3sinх.
- Для функции у = х-4 укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (2;-3).
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3
, х = 4, х = 9.
Билет 5
- Записать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
- Записать общий вид первообразной функций у =
, у = -5.
- Для функции у = cos3х укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (0;
).
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5х2 + 2х + 2 и графиком ее производной.
Билет 6
- Записать формулу для вычисления площади фигуры с помощью интеграла, выполнить рисунок.
- Доказать, что функция F(х) =
х3 – 5х является одной из первообразных функции f(х) = х2 – 5 на промежутке (-∞;+∞).
- Найти первообразные функции у = sin
+ cos
.
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =
, у = х2 + 3, х = -3.
Билет 7
- Сформулировать определение первообразной.
- Вычислить
.
- Для функции f(х) = (х+1)(х-3) найти первообразную, график которой проходит через начало координат.
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 - 6х и прямой, проходящей через ее вершину и начало координат.
Билет 8
- Сформулировать основное свойство первообразной.
- Для функции у = 2cosх укажите первообразную F, график которой проходит через точку М(
;0).
- Вычислить
.
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции
у= -4х - х2 и касательной к этому графику в точке с абсциссой хо = -3.
Билет 9
- Сформулировать определение интеграла.
- Записать общий вид первообразной функций у = х–7, у =
.
- Вычислить
.
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 + 5, у = 4 - х2, х = -1, х = 1.
Билет 10
- Сформулировать три правила нахождения первообразной.
- Укажите первообразную F функции f(х) = 3sinх, если известно, что F(π) = 1.
- Вычислить
.
- По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной биссектрисой первого координатного угла, графиком функции f(х) = -х2 + 4х и касательной, проведенной через его вершину.