Зачет по теме "Интеграл"

В старшей школе целесообразно проводить зачеты по основным темам курса математики. Предложенные мною билеты  по теме «Интеграл» в 11 классах (профильном и общеобразовательном) –  форма письменного зачета. Не позднее, чем за неделю до зачетного урока учащиеся должны получить вопросы для подготовки в виде перечня основных определений и теорем. По усмотрению учителя в профильном классе можно сформулировать  основные типы задач (но не давать сами задачи), а для общеобразовательного класса можно предложить перечень  практических заданий в произвольном порядке.

В вариантах зачета в профильном классе первое задание предполагает знание основных определений, второй – доказательство теоретического факта. Остальные задания практического содержания. При этом 5-е задание может быть включено в основной текст зачета, а может идти как задача  повышенной сложности на отдельную оценку, это зависит от подготовленности класса.

В билетах для общеобразовательного класса только первое задание носит характер теоретического изложения материала в явном виде. Остальные практические задания подразумевают умения учащихся применять на практике теоретические знания.

По усмотрению учителя можно за зачет поставить две оценки: за теоретические и практические знания по данной теме. Время, отводимое на зачет  - один урок. При желании учителя во время письменного опроса можно провести собеседование со слабыми учащимися.

Билеты к зачету «Интеграл» в профильном классе

Билет 1

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Доказать свойство неопределенного интеграла (интеграл суммы двух функций).
3. Найти уравнение первообразной F(х) функции f(х) = , если график первообразной проходит через точку М(1;).
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками линиями у = х², у = 8, х = 0.
5. Найти .

Билет 2

1. Сформулировать определение неопределенного интеграла.
2. Доказать теорему о первообразной функции.
3. Найдите уравнение первообразной F(х) функции f(х) = 3sin3х – 3cos3х, если график первообразной проходит через точку М(;1).
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками линиями у = , у = 2 - х, у = 0.
5. Вычислить .

Билет 3

1. Сформулировать определение определенного интеграла.
2. Доказать свойство определенного интеграла (интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов слагаемых).
3. Для функции f(х) = sin2х найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;1).
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х² - 2х + 3, у = 3х-1.
5.  Задана функция F(t)=. Найти F(π); (0), (π).

Билет 4

1. Сформулировать определение криволинейной трапеции. Записать формулу Ньютона–Лейбница.
2. Доказать свойство неопределенного интеграла (о вынесении множителя за знак интеграла).
3. F(х) – первообразная f(х) = 5cosх - cos3х, F(х_о) = 0. Решить уравнение F(х) = 0, если х_о = π.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = , у = 1,5.
5. Найти .

Билет 5

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Доказать свойство определенного интеграла ( +  = …).
3. Найдите первообразную функции f(х) = .
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(х) = - х² + 1 и двумя касательными, проведенными к нему в точках пересечения графика с осью абсцисс.
5. Найти .

Билет 6

1. Сформулировать определение неопределенного интеграла.
2. Доказать свойство определенного интеграла (константу можно выносить за знак интеграла).
3. Докажите, что функция F(х) = х³ – 5х – одна из первообразных функции f(х) = х² - 5  на промежутке (-∞;+∞).

4. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая вычисляется по формуле:  S =  – .
5. Найти пары чисел а и в, при которых функция f(х) = аsin + в, (4) = 2π,   = .

Билет 7

1. Сформулировать определение криволинейной трапеции.
2. Вывод формулы для вычисления площадей фигур с помощью определенного интеграла.
3. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 1 – 2sin²2t м/с. Найдите уравнение движения точки, если при t =  с пройденный путь составляет  м.
4. Решить уравнение  = cos( -2х).
5. Фигура, ограниченная линиями у = -х² + 2х + 3, у = 0, делится линией у = х + 1 на две части. Найти площадь каждой части.

Билет 8

1. Сформулировать определение определенного интеграла.
2. Доказать теорему о первообразной функции.
3. Составить таблицу первообразных для функций f(х):

Функция	f(х)=с	f(х)=хр, р≠-1.	f(х) =	f(х)=sinх	f(х)=cosх	f(х)=	f(х)=
Первообразная

4. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая   вычисляется по формуле:  S =  + .
5. Найти .

Билет 9

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Вывести формулу для нахождения неопределенного интеграла сложной функции от линейного аргумента.
3. Найти первообразную функции f(х) = , график которой проходит через точку М(1;).
4. Доказать, что если f(х) – четная функция, определенная для всех значений х, то для любого а  = 2 , а если f(х) – нечетная функция, то =0 (дайте геометрическое доказательство).
5. Вычислить .

Билет 10

1. Сформулировать определение криволинейной трапеции. Записать формулу Ньютона – Лейбница.
2. Доказать свойство определенного интеграла ( +  = …).
3. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая   вычисляется по формуле: – + .
4. Вычислить интеграл, используя геометрическую интерпретацию: .
5. Доказать, что функция F(х) = 3х + sin²3х является первообразной для f(х) = 6cos²( – 3х).

Билеты к зачету «Интеграл» в общеобразовательном классе

 Билет 1

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Записать общий вид первообразной функций у = хⁿ, n ≠ -1, у = cosх.
3. Для функции у = sinх укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (;1).
4. По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции у = -х² + 3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой х_о = 1.

Билет 2

1. Сформулировать основное свойство первообразной.
2. Записать общий вид первообразной функций у = , у = sinх + 4.
3. Найдите уравнение первообразной F(х) функции f(х) = 3х + 18 - х², если график первообразной проходит через точку М(6;80).
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции у = х² - 4х + 5 и касательной  к этому графику в точке с абсциссой х_о = 2.

Билет 3

1.  Сформулировать определение интеграла.
2. Записать общий вид первообразной функций у = , у = .
3. Для функции у = 2х⁴ укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (-1;2).
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² - 4х + 6, у = 4х - х².

Билет 4

1.  Сформулировать три правила нахождения первообразной.
2. Записать общий вид первообразной функций у = (1+2х)³,  у = 3sinх.
3. Для функции у = х^-4 укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (2;-3).
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3, х = 4, х = 9.

Билет 5

1. Записать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
2. Записать общий вид первообразной функций у = , у = -5.
3. Для функции у = cos3х укажите ту первообразную, график которой проходит через точку с координатами (0;).
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5х² + 2х + 2 и графиком ее производной.

Билет 6

1. Записать формулу для вычисления площади фигуры с помощью интеграла, выполнить рисунок.
2. Доказать, что функция F(х) = х³ – 5х является одной из первообразных функции f(х) = х² – 5 на промежутке (-∞;+∞).
3. Найти первообразные функции у = sin  + cos .
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х² + 3, х = -3.

Билет 7

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Вычислить .
3. Для функции f(х) = (х+1)(х-3) найти первообразную, график которой проходит через начало координат.
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² - 6х и прямой,   проходящей через ее вершину и начало координат.

Билет 8

1. Сформулировать основное свойство первообразной.
2. Для функции у =  2cosх укажите первообразную F, график которой проходит через точку М(;0).
3. Вычислить .
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции

      у= -4х - х² и касательной  к этому графику в точке с абсциссой х_о = -3.

Билет 9

1. Сформулировать определение интеграла.
2. Записать общий вид первообразной функций у = х^–7, у = .
3. Вычислить .
4. По рисунку записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² + 5, у = 4 - х², х = -1, х = 1.

Билет 10

1. Сформулировать три правила нахождения первообразной.
2. Укажите первообразную F функции f(х) = 3sinх, если известно, что F(π) = 1.
3. Вычислить .
4. По рисунку  записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной биссектрисой первого координатного угла, графиком функции f(х) = -х² + 4х и касательной, проведенной через его вершину.