Определение. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число
(a + a') + (b + b')i.
Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.
Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i
Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).
Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i
Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 – 3i) = - 4
В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.
Замечание. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.
Вычитание комплексных чисел
Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a') + (b – b')i.
Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i
Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.
Умножение комплексных чисел.
Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством
i
2=
- 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a' + b'i) должно равняться aa' + (ab' + ba')i + bb'i2, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' – bb') + (ab' + ba')i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.
Определение. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное число
(aa' – bb') + (ab' + ba')i.
Замечание 1. Равенство
i2
= -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись
i
2, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1. Имеем aa' – bb' = -1, ab' + ba' = 0, так что произведение есть –1 + 0i, т. е. –1.
Замечание 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что
i2= -1.
Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.
Деление комплексных чисел.
В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.
Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).
Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:
((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.
Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:
Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a '+ b'. Получим a + bi.
Замечание 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления.
Замечание 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a' + b'i)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:
a'x – b'y = a; b'x + a'y = b.
Эта система имеет единственное решение: если a'/b' = -b'/a',
т. е. если
a'2
+ b'
2 = 0.
Остается рассмотреть случай
a'2
+ b'
2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда a' = 0 и b' = 0, т. е. когда делитель a' + b'i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределенно. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).