Цели и задачи урока:

• вывести формулы: объема пирамиды с использованием основной формулы объема тел и объема усеченной пирамиды.
• систематизировать теоретические знания по теме нахождения объема пирамиды.
• сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной или описанной около осно­вания окружности.
• выработать навыки решения типовых задач на применение формул объемов пирамиды и усеченной пирамиды.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы выполняется с помощью мультимедийного проектора

Докажем теорему: объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.

Рис. 1

Доказательство:

Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ₂ - высота), рассмотрим сечение А₁В₁С₁ пирамиды плоскостью, пер­пендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М₁пересечения этой плоскости с осью ох, а через S{x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S, h и х . Заметим, что

В самом деле , следовательно, .

Прямоугольные треугольники , тоже подобны (они име­ют общий острый угол с вершиной О).

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем

Pис. 2

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пи­рамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель , получим в скобках сумму оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S оснований исходной пирамиды.

Таким образом, объем исходной пирамиды равен . Теорема доказана.

II. решить задачи по готовым чертежам .

Задача 1. (рис. 3)

Дано: АВСD – правильная пирамида, АВ =3; AD= . Найти: а)Sосн; б) АО; в) DO г) V.

Задача 2. (рис. 4)

Дано: АВСDF – правильная пирамида, .

Задача 3. (рис. 5)

Дано : АВСDEKF – правильная пирамида,

Найти: а) S_осн; б) V.

Задача 4. (рис. 6)

Найти: V.

Проверка задач выполняется с помощью мультимедийного проектора с подробным анализом поэтапного решения.

Задача 1. (рис. 3)

Решение:

а) (используется формула для вычисления площади правильного треугольника)
АВ = = 3, имеем

б) (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника) .

Задача 2. (рис. 4)

Решение:

1) Рассмотрим следовательно,
– равнобедренный, ОС = FО = 2.

Задача 3. (рис. 5)

Решение:

Задача 4. (рис. 6)

Решение:

III. Проверка вывода формулы для вычисления объема усеченной пирамиды (сообщение ученика у доски выполняется с помощью мультимедийного проектора)

Ответ ученика:

Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию (рис. 1).

Подставим это выражение для х в первую формулу,

Pабота в форме теста, с проверкой через мультимедийный проектор.

1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.

а) 10 см³, б) 42 см³, в) 60 см³, г) 30 см³.

2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см³. Чему равна высота?

3. Объем пирамиды равен 56 см³, площадь основания 14 см². Чему равна высота?

а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите объем пирамиды.

а) 50 см³, б) 48 см³, в) 16 см³.

6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см³, высота 9 см. найти сторону основания.

а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.

7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см³, площадь нижнего основания 36 см², верхнего 9 см². Найдите высоту пирамиды.

а) 1см, б) 15 см, в) 10см.

8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

Таблица ответов.

Домашняя работа: 1. Решить задачи №695в, №697, №690

2. Рассмотреть базовые задачи

Задача 1.

Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Pис. 2

Задача 2.

Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Pис. 3