Цели урока:
- Выявление наиболее эффективного метода для решения задачи.
- Развитие словесно-логического мышления, логической памяти.
Задачи:
- Повысить уровень распределения внимания и объем внимания.
- Показать многообразие способов решения задачи.
- Научить выбирать наиболее рациональный способ решения.
- Развивать познавательные и исследовательские умения.
- Воспитывать математическую, графическую культуру.
Описание подготовительного периода: на предыдущем уроке класс был разбит на 9 групп. Каждой группе было дано задание: решить задачу определенным способом. На уроке представитель каждой группы решал задачу своим способом и пытался показать его рациональность.
1.Организационный момент.
Учитель объявляет тему урока, его цели и задачи, ход урока.
Ход урока
Задача. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE в той плоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины a и b.
Решение 1 (по теореме синусов).
Пусть Q – центр построенного квадрата (рис. 1). Так
как угол AQB прямой, то точка Q лежит на описанной
около треугольника АВС окружности. Ее диаметром
служит гипотенуза АВ. Из треугольника AQC по
теореме синусов имеем: 
,
где 
– величина угла
ВАС. Далее получаем:
,
где с=АВ.
Итак, искомое расстояние CQ равно 
.
Решение 2 (по теореме косинусов). Из того же треугольника AQC по теореме косинусов находим:
.
Поскольку 
, то
,
.
Решение 3 (по теореме Птолемея). Во вписанном в окружность четырехугольнике сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей (теорема Птолемея). Поэтому для вписанного четырехугольника AQBC имеем:
.
но 
и, следовательно,
, откуда 
.
Решение 4 (методом площадей). Сумма площадей треугольника ABC и ABQ равна площади четырехугольника AQBC:
,
где 
–
величина угла между прямыми АВ и CQ есть
биссектриса угла АСВ, так как вписанные углы ACQ и
BCQ опираются на равные дуги AQ и BQ. По теореме о
внешнем угле треугольника 
. Подставив в предыдущее равенство
и 
(см. решение 1),
получим:
и 
.
Решение 5 (методом геометрических
преобразований). Выполним поворот около центра
квадрата на 90°: 
>
, 
>
, 
> 
(рис. 2).
Так как 
, то
,
И поэтому точки 
, 
, 
лежат на одной прямой. В
треугольнике 
угол 
прямой (угол поворота), 
, 
.
Следовательно, 
.
Решение 6 (методом координат).
Примем прямые СА и СВ за оси 
и 
прямоугольной декартовой системы
координат. Найдем координаты x, y точки Q. Она
принадлежит биссектрисе угла АСВ (см. решение 4) и
равноудалена от точек А(b, 0) и В(0, а). Имеем систему:
,
Откуда 
.
Если 
,
то имеем решение 
.
При 
четырехугольник AQBC является квадратом и 
, то есть
координаты точки Q удовлетворяют прежнему
решению. По формуле расстояния между двумя
точками:
.
Решение 7 (векторное). Положим 
и 
и выразим через эти векторы
вектор 
(рис. 1):
.
Положив 
, найдем коэффициенты 
и 
этого
разложения, используя условия 
и 
,
которые приводят к системе уравнений:
,
Поскольку 
,
то эта система эквивалентна такой:
,
Откуда 
и 
и,
следовательно,
, 
.
Наконец:
, 
.
Решение 8 (методом комплексных
чисел). Основы метода комплексных чисел изложены
в № 2. Введем прямоугольную декартову систему
координат так же, как при решении 6. Тогда точки
A,B.C будут иметь соответственно комплексные
координаты b, ai, 0, причем 
, 
. При повороте
на 90° вектор 
переходит в вектор 
. Этому повороту соответствует умножение
на комплексное число i. Поэтому имеем равенство: 
, где q – комплексная
координата точки Q. Отсюда 
.
Находим:
.
Решение 9 (чисто геометрическое). Опишем около квадрата другой квадрат со стороной a + b. Тогда искомое расстояние, очевидно равно половине диагонали большего квадрата.
Делаем выводы: учащиеся выясняют, какой способ решения понравился, какой легче, какой эффективнее.
Вывод: (делает учитель)
Суждение о простоте или трудности того или иного решения задачи в значительной мере субъективно. Оно существенно зависит от степени подготовленности, от уровня владения методами решения задач. При недостаточных навыках решений методом геометрических преобразований, векторным или координатным методом можно сказать, что первые четыре решения и решение 9 гораздо проще остальных. Однако решения 5 и 6 для подготовленного человека представляются ничуть не сложнее. Векторный метод для решения данной задачи оказался малоэффективным - решение 7 сложнее остальных. Но такая оценка векторного метода вообще, безусловно, была бы неверна: решения многих других задач этим методом просты. Решение 8 с помощью комплексных чисел выглядит очень простым, однако требует специальной подготовки.
Итог урока:
- Какие способы мы применили при решении задачи?
- Какой из способов Вам лично понравился и кокой более рациональный?
- Твое отношение к уроку?
- Чему еще предстоит научиться?
Домашнее задание: доказать теорему Пифагора разными способами.