I . Понятие множества.
Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года. Основатель этой теории немецкий математик и философ Георг Кантор (1845–1918). Его заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных? В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.
Что же все-таки представляют собой множества? “Множество есть многое, мыслимое как единое” (Г. Кантор). Понятие множества настолько простое, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров: множество городов, множество государств, множество учащихся. Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. В математике рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов, имеющих некоторые общие свойства.
Есть несколько способов обозначения
множеств. Можно переписать все элементы
множества в фигурные скобки 
.
При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10. В этом случае множество записывается так:
.
Для удобства работы с множествами, их обозначают заглавной буквой.
.
Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается ? . Например, множество крылатых китов, есть пустое множество.
Сами множества так же могут быть элементами множества
Пусть задано множество 
. Элемент 3 принадлежит
множеству В, это обозначается так 
. Элемент 8 не
принадлежит множеству В, это обозначается 
.
Упражнения
- Назовите известные вам названия множеств людей (например, команда).
- Назовите известные вам названия множеств живых существ (например, табун).
- Запишите множества, элементами которого являются: а) планеты солнечной системы; б) столицы государств; в) все двузначные числа; г) числа, делящиеся на 7.
- Пусть А – множество чисел, на которые
делится число 100 без остатка. Верна ли запись:
. - Запишите множество В, элементами которого являются ученики 5 А класса. Выпишите два элемента принадлежащих множеству В и два элемента не принадлежащих множеству В.
- Пусть даны множества
и 
.
Выпишите: а) два элемента принадлежащих
множеству А, но не принадлежащих множеству В;
б) два элемента принадлежащих множеству В,
но не принадлежащих множеству А; в) два
элемента принадлежащих и множеству А и
множеству В; г) два элемента не
принадлежащих ни множеству А ни множеству В. - Придумайте и запишите какое-нибудь множество. Выпишите два элемента принадлежащих этому множеству и два элемента не принадлежащих этому множеству.
- Придумайте и запишите множество, не содержащее ни одного элемента (пустое множество).
II. Равенство множеств.
Очень важной особенностью множества является
то, что в нем нет одинаковых элементов, вернее,
что все они отличны друг от друга. Это значит,
можно записать сколь угодно одинаковых
элементов, но выступать они будут как один. То
есть множество не может содержать одни и те же
элементы в нескольких вариантах. Предположим мы
записали множество 
. В этом множестве элемент 7 повторяется
несколько раз, но мы его будем рассматривать как
один. Поэтому наше множество будет 
.
Рассмотрим два множества 
и 
. Эти множества состоят из одних и тех
же элементов, хотя они и записаны в разном
порядке. Такие множества называются равными.
Итак, два множества равны, если содержат одни
и те же элементы.
Упражнения
- Верна ли запись:
- Запишите все множества, равные множеству
. - Запишите множества, равные данным:
- Придумайте и запишите множество, состоящее из пяти элементов. Выпишите все множества равные придуманному множеству. Сколько множеств получилось?
III. Подмножество.
Рассмотрим множество дней в неделе. Запишем его
.
Теперь отберем только рабочие дни. Они
составляют множество 
.
Посмотрим, в каком соотношении находится
множество R, учитывая его элементы, по
отношению к множеству S. Можно заметить, что
все элементы множества R входят в множество S.
Значит, множество R является частью множества
S или подмножеством. Следовательно, если каждый
элемент какого-то множества R является в то
же время элементом множества S, то можно
сказать, что R – подмножество множества S.
Обозначается это так 
. Само множество S так же является
своим подмножеством. Очень важно отметить, что
пустое множество является подмножеством каждого
множества. Значит, если нам нужно выписать все
подмножества множества 
, то мы запишем: 
.
Упражнения
1. Даны множества:
- множество А учеников 5 класса нашей школы;
- множество В всех учеников нашей школы;
- множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;
- множество Е всех учащихся школ города Новокузнецка;
- множество К учеников 5 математического класса нашей школы.
Верно ли что:
- множество А есть подмножество множества В;
- множество А есть подмножество множества К;
- множество В есть подмножество множества Е;
- множество К есть подмножество множества С;
Запишите с помощью знака I названия множеств в таком порядке, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего множества.
2. Для множества 
выпишите все его подмножества.
IV. Пересечение множеств.
Рассмотрим два множества 
и 
. Составим новое множество С, в
которое запишем общие элементы множеств А и В.
Общими у них являются элементы 5 и 6, значит 
. Множество С
называется пересечением множеств А и В.
Обозначается так: 
Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству А , и множеству В.
Пусть Р – множество учащихся
математических классов нашей школы, К –
множество учащихся пятых классов, тогда 
(пересечением
множеств Р и К) будет множество учащихся
пятого математического класса.
У множеств 
и 
нет ни
одного общего элемента, следовательно, их
пересечение есть пустое множество 
О
Упражнения
1. Даны множества 
.
Найдите: а) 
; б)
; в) 
; г) 
.
2. Найдите 
,
если а) 
; б) 
V. Объединение множеств.
Возьмем те же два множества и . Составим теперь множество Е
следующим образом – запишем в него элементы,
которые принадлежат хотя бы одному из множеств А
и В. Получим множество 
. Множество Е называют
объединением множеств А и В. Обозначается
Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Упражнения
1. Даны множества .
Найдите: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. Найдите 
если
и 
.
3. Даны множества .
Найдите: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
VI. Разность множеств.
Возьмем уже знакомые множества и . Составим новое множество Ф
в которое запишем элементы множества А, не
входящие во множество В. 
. Множество Ф называется
разностью множеств А и В. Обозначается А
\ В = Ф.
Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.
Важно заметить, что при вычитании множеств
нельзя менять их местами. При нахождении
разности В \ А в новое множество мы
запишем элементы множества В, которые не
принадлежат множеству А. Значит В \ А =
.
Упражнения
Даны множества .
Найдите: а) 
; б)
; в) 
; г) 
.
Найдите 
и 
если 
и 
.
Даны множества .
Найдите: а) 
; б)
; в) 
;
г) 
VII. Круги Эйлера.
Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера. С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. На рисунках представлены иллюстрации действий над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры.
Рис. 1 
Рис.2 
Рис. 3 Рис.4 
С помощью кругов Эйлера можно решать задачи. Рассмотрим одну из них.
Задача. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?
Решение. Изобразим эти кружки (рис. 5). Большой
круг будет изображать учащихся класса. В этот
круг поместим два поменьше. Один обозначим
буквой М и он будет изображать математиков
класса. Другой круг обозначим Б – биологи
класса. Очевидно, в общей части кругов,
обозначенной МБ, окажутся те самые биологи –
математики, которые нас интересуют. Теперь
посчитаем: Всего внутри большого круга 35 ребят,
внутри двух меньших 
ребят. Внутри “математического”
круга М находятся 20 ребят, значит, в той части
“биологического” круга, которая расположена
вне круга М, находятся 
биологов, не посещающих
математический кружок. Остальные биологи, их 
человек,
находятся в общей части кругов МБ. Таким
образом, 6 биологов увлекаются математикой.
Ответ. 6 биологов увлекаются математикой.
Упражнения
- В классе 29 учащихся. Каждый из них изучает хотя бы один язык – английский или немецкий. Английский язык изучают 18 человек, немецкий язык изучают 15 человек. Сколько человек изучают два языка и немецкий, и английский?
- В классе 29 учащихся. Из них 16 занимаются музыкой, 21 посещают математический кружок; 4 не занимаются музыкой и не посещают математический кружок. Сколько учащихся посещают только математический кружок? Сколько математиков занимаются и музыкой?
- В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
- В классе 38 человек. Из них 16 человек играют в баскетбол, 17 человек – в хоккей, 18 человек – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем 4 человека, баскетболом и волейболом 3 человека, волейболом и хоккеем 5 человек. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
Вопросы к тематическому зачету по теме
“Элементы теории множеств”
- Кто является основоположником теории множеств?
- Какие два множества являются равными?
- Как называется множество, в котором нет ни одного элемента?
- Составьте множество и запишите два элемента принадлежащие этому множеству и два элемента не принадлежащие ему.
- Какое множество является подмножеством данного множества?
- Для множества
составьте все его подмножества. - Какое множество является пересечением двух множеств? Приведите пример.
- Какое множество является объединением двух множеств? Приведите пример.
- Как вычитаются множества? Приведите пример.
Необходимые умения: показывать пересечение, объединение, разность множеств на кругах Эйлера; находить пересечение, объединение, разность множеств, решать комбинированные примеры; решать простейшие задачи с помощью кругов Эйлера.