Свойства логарифмов

Цели урока:

1. Повторить определение логарифмов.
2. Сформулировать и доказать свойства логарифмов.
3. Закрепить полученные знания решением задач.

Ход урока

1. Организационный момент;

Сообщить цель урока, тему урока.

2. Проверка домашнего задания;

Устная работа.

Вычислите:

а) ;
б) ;
в) .

Ответы:

а) 4;
б) -1;
в) 18.

При каких значениях неизвестного имеет смысл выражение:

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

Ответы: а) ;

б) ;
в) ;
г) .

Найдите значение х, если:

а) ;
б) ;
в) .

Ответы:

а) ;
б) или ;
в) 0 и .

Найдите значение выражения .

Ответ: ?

Почему вы затрудняетесь ответить? Потому, что знания определения логарифма и основного логарифмического тождества недостаточно для этого. Вам необходимы свойства логарифмов.

3. Изучение нового материала;

“Свойства логарифмов”

Теорема. Верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов:

1) , т.е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей;
2) , т.е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;
3) , т.е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания;

Доказательство.

Свойства логарифмов выводятся из свойств степеней с помощью основного логарифмического тождества, выражающего определение логарифма. Выведем первое свойство.

Обозначим . По основному логарифмическому тождеству имеем:

Перемножим эти равенства: . По свойству степеней . По определению логарифма , т.е. , что и требовалось доказать.

Свойства 2) и 3) выведите самостоятельно.

Теперь дайте ответ 4-му заданию.

4. Решение задач;

Вычислите:

1. ;
2. ;
3. .

Ответы: 1. 2; 2. 1; 3. -1.

5. Самостоятельная работа проверочного характера

Ребята, вам даются задания, которые вы должны выполнить. Получив ответы к каждому заданию, внизу таблицы выберите свои ответы и рядом с заданием, в пустые клеточки впишите соответствующие значения букв.

Вариант 1

Вариант 2

Проверка ответов самостоятельной работы.

У 1 варианта получилось Бюрги, у 2 варианта – Непер. Это фамилии двух известных математиков: шотландца Джона Непера (1550 – 1617) и швейцарца Иобстома Бюрги (1552 – 1632), которыми одновременно и независимо друг от друга были изобретены логарифмы.

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.

Бурное развитие науки, техники и мореплавания в эпоху Возрождения, быстрое развитие астрономии и усложнение арифметических выкладок настоятельно требовали новых способов вычислений, которые позволили бы ускорить вычисления, сделать их доступными более широкому кругу людей.

К концу XVI в. астрономы, например, пользовались 10-ти значными таблицами тригонометрических функций. Значит, им приходилось производить многочисленные выкладки с 10 значными числами. Выкладки эти отнимали очень много времени и не всякому были под силу.

Нужен был способ ускорить вычисления.

Этим способом или, как говорят, вспомогательным вычислительным аппаратом, явились логарифмы.

Почва для развития логарифмов была подготовлена всем предшествующим развитием математики.

У древнегреческого ученого Диофанта в зачаточной форме есть действия над степенями одного и того же основания; французской ученый Оресм (XIV в.) вводит дробные показатели; другой французский ученый Шюке (XV в.) ввел нулевой и отрицательный показатель; фламандский ученый XVI в. Стевин составил таблицы процентных расчетов.

Таким образом, к концу XVI в. были подготовлены условия создания логарифмов.

Идея логарифма, т.е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. (Предвосхищение этой идеи можно видеть у Архимеда.) Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития.

Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским ученым Джоном Непером (1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги (1552-1632).

Первым опубликовал работу Непер в 1614 г. под названием “Описание удивительной таблицы логарифмов”. Теория логарифмов Непером была дана в достаточно полном объеме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги.

Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620 г.

6. Подведение итогов урока;

7. Задание на дом;

§16, 293(2;4), 294(2;4), 295(2;4), 299.