Преподавание математики (авторская программа) в НОУ "Школа Алеф"

Разделы: Математика

Классы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

С момента создания НОУ “Школа Алеф” (1991), в ней, наряду с преподаванием математики по государственным программам, ведётся также преподавание т.н. “авторской математики”. Ведётся оно в классах с первого по седьмой, по два урока в неделю.
В педагогическом отношении опирается она на теорию поэтапного формирования умственных действий проф. П.Я.Гальперина. В предметном же отношении, она призвана ускорить формирование математических понятий, логического мышления и изменить порядок прохождения материала от исторического к порядку, обусловленному внутренней логикой предмета и зоной ближайшего развития ученика.

В старшей школе (9-11 классы) предметники стараются усилить и без того перегруженные программы, но сопротивление “материала” показывает, что в массовой общеобразовательной школе ученики старших классов не способны “переварить” этот объём информации. Старшая школа итак перегружена, резервы её – при той подготовке, которую школьники к моменту начала учёбы в ней получили, - уже практически исчерпаны. А резервы эти, педагогические и временные, по-прежнему имеются в начальной (1-4 классы) и средней (5-8 классы) школе. Именно в эти годы у детей складывается представление о предмете и отношение к нему (интересный – неинтересный). В частности, к предмету “арифметика”, который позже переименовывается в “математику”, а затем раздваивается на алгебру и геометрию. У младших школьников часто складывается отношение к арифметике как к скучной считалке. Тот лучший математик, полагают они, кто быстрее вычисляет. Такой человек-калькулятор.

Но, поскольку всё равно калькулятор считает быстрее, то зачем нужны такие люди и такой предмет в компьютерный век – непонятно.

В средней школе вдруг, откуда ни возьмись, появляются буквы и формулы.
Ага, соображает шестиклассник, значит, кто больше формул знает – тот и лучший математик. Такой говорящий справочник.

Но, поскольку справочники продаются на бумажных и электронных носителях, то зачем нужны такие люди и такой предмет – непонятно.

Ещё у дракона вырастает вторая голова – Геометрия и требует доказывать очевидные утверждения (вроде признаков равенства треугольников), хотя до этого ничего доказывать не приходилось (в это время другая голова – Алгебра охотно принимает на веру менее очевидные факты, вроде основной теоремы арифметики). Никакой кооперации и координации между двумя головами (а по дороге к ЕГЭ вырастают ещё две – Тригонометрия и Начала Анализа) не наблюдается. От этого голова ученика идёт кругом.

В качестве меры, призванной отладить интерфейс между “началкой” и средней школой, а также подготовить ученика к непрерывному и гладкому переходу в старшую школу и, если понадобится, в технический ВУЗ, нам представляется целесообразными следующие действия:

  1. Планирование программы и преподавание по ней с 1 по 11 класс одним учителем;
  2. Планирование и адаптация программы в зависимости от данной группы учеников, настройка на аудиторию (не только темпа изучения, но и самого содержания изучаемого);
  3. Последовательность изучаемых разделов привести в соответствие с внутренней логикой предмета, возрастными и психологическими параметрами учащихся, наличием у них соответствующего общекультурного опыта и зоны ближайшего развития, запросами смежных предметов, а не в соответствии с исторической последовательностью, в которой происходило развитие математики.

I

Проблема ликвидации скачков между ступенями образовательной лестницы ставит как задачу изменения стиля и предметного содержания преподавания, так и - там, где для этого есть соответствующие кадровые возможности, - со сквозным преподаванием математики одним учителем; “проектом одного архитектора”. Проблема связей между различными этапами школьного и высшего математического образования имеет ещё и другой аспект: к построению определённых математических понятий ведёт длинная цепочка примеров, растянутая во времени, где каждый следующий этап подтверждает и закрепляет предыдущий и подготавливает последующий. И для успешного формирования этого понятия все эти годы преподавание должно вестись единообразно.

Возьмем, к примеру, понятие обратной операции. Впервые оно встречается уже в первом классе. В операции сложения участвуют три действующих лица: двое Слагаемых и Сумма. При этом Слагаемые нам известны, а Сумма – нет. Её мы и находим. Поскольку мы её ищем и вначале не знаем, то и обозначим её знаком вопроса, а слагаемые – римскими цифрами I и II:

Допустим теперь, что нам каким-то образом известна сумма, но неизвестно одно из Слагаемых. Это значит, что знак вопроса переместился с последнего места в уравнении на первое или второе:

Нахождение этого неизвестного слагаемого мы называем операцией вычитания (стоящее в одиночестве в правой части равенства число при этом мы называем Уменьшаемым, известное слагаемое – Вычитаемым, а неизвестное –Разностью). Учимся, учимся и приходим к операции умножения. И опять у нас трое участников: два уважаемых Умножаемых и одно Произведение. И опять мы составляем два уравнения. Переместился знак вопроса (неизвестное) с третьего места в уравнении на первое или второе и вот уже у нас новое действие (нахождение этого неизвестного сомножителя, которое теперь называется Частным) – вычитание. Одиноко стоящее справа от знака равенства число называем мы Делимым, а известный сомножитель – Делителем. У них теперь разные имена, потому что стоят они в разных частях от знака равенства. Учимся, учимся и доучиваемся до степеней. И опять перед нами троица –Основание степени, Показатель степени и сама Степень (справа). У нас три возможности для знака вопроса: занять место справа, вверху или внизу. И соответственно занимаемому им месту, мы получаем три операции.

Начало этой цепочки – в первом классе, конец – в одиннадцатом, но всё изложение проведено по единой схеме.

Другой, более сложный пример, связан с расширением числовых систем. В нём к тому же применяется другое важнейшее понятие, красной нитью пронизывающее математику: понятие изоморфизма. Начнём на этот раз не с самого начала (к нему лучше вернуться в старших классах, на завершающем этапе обучения, после обретения достаточного математического опыта и опыта абстрагирования), не с перехода от натуральных чисел N к целым числам Z, а к переходу от Z к Q – полю рациональных чисел. Пусть, снова мы имеем уравнение а? z=b. Целые числа a и b однозначно определяют величину z. Поэтому мы можем взять точку М на целочисленной декартовой плоскости с координатами a и b и сказать, что она и есть это самое z. Его мы назовём дробным числом (которое может оказаться и целым). Абсциссу а этой дроби мы назовём знаменателем, а ординату b -числителем числа z. Мы знаем, однако, что равенство не меняется, если умножить обе его части на одно и то же число: са? z=сb. То есть, пара (са,сb) определяет ту же самую величину z. Все точки с такими координатами лежат на одной прямой, проходящей (но не содержащей!) через начало координат. На рис. 1 привели пример прямой, проходящей через точку (2,-1), т.е. являющуюся решением уравнения 2х=-1 (а также уравнений 4х=-2, -6х=3 и т. д.). Все пары вида (1,b) являются целыми числами и мы умеем их складывать: (1,b)+(1,c)=(1,b+c). Соответствующая геометрическая картинка сложения двух “прямых” показана на рис.2. Результат сложения выделен жирной линией, слагаемые (1,-2) и (1,1) – пунктирными линиями. Итак, если точки лежат на одной вертикальной прямой, то мы складываем их, как складываем мы обычно целые числа на числовой прямой. А для двух точек M1(a1,b1) и M2(a2,b2) , не лежащих на одной вертикальной прямой мы находим другие точки на прямых, на которых они лежат, которые уже лежат на одной прямой (общий знаменатель d этих точек является общим кратным a1 и a2). Умножение же просто: если а? z=b и с? y=d, то перемножив оба равенства получим а? с? z? y=b? d. Таким образом, zy=(ac,bd) – при умножении дробей числитель умножается с числителем, а знаменатель со знаменателем. Нашими объектами стали числа-прямые, которые состоят из целочисленных точек, кроме начала координат, лежащих на прямых, проходящих через начало координат, кроме вертикальной прямой. Мы научились их складывать и умножать, потом научимся сравнивать по величине, при этом “старые” - целые числа в новых числах соответствуют прямым, проходящим через точки с абсциссой 1.

Что мы здесь увидели? Во-первых, удвоение целых чисел: новые числа – это подмножества Z? Z. Во-вторых, факторизацию – другого, наряду с изоморфизмом, краеугольного понятия в математике, которым необходимо овладеть – по крайней мере, тем, кто планирует в дальнейшем заняться математикой высшей. И, в-третьих, изоморфное вложение старых объектов в объекты новые.

Если мы всё-таки доберёмся до чисел комплексных, то мы с этой конструкцией вновь встретимся: новые числа (комплексные) представляют собой пару вещественных: z=a+bi=(a,b). Здесь, к счастью, дело обходится без факторизации.

Если же мы не хотим доставать кролика из шляпы, то мы поступим следующим образом. Рассмотрим всевозможные линейные преобразования плоскости. Их можно, как и числа складывать (А+В)(Х)=А(Х)+В(Х), где Х, А(Х) и В(Х) – вектора на плоскости и как вектора и складываются. Их можно и перемножать – выполнять последовательно: (А? В)(Х)=А(В(Х)). Роль нейтрального элемента по сложению (нуля) играет А(Х)=0 " Х (всех – в ноль!), роль нейтрального элемента по умножению (единицы) играет А(Х)=Х " Х (всем оставаться на местах!). Роль -1 (минус единицы) тогда играет оператор А(Х)=-Х, который каждый вектор переводит в противоположный. В операторах уравнение Z2=-1 решается легко: повторное применение поворота на 90° против часовой стрелки как раз и приведёт к этому эффекту. Его мы и назовём мнимой единицей i. А “старым”, вещественным числам мы поставим в соответствие операторы гомотетии: числу 3 – растяжение в три раза, числу -0,5 – сжатие в два раза и отражение относительно центра гомотетии. Получили изоморфное отображение старых объектов в новые, в которых, помимо этих образов (гомотетий), имеются и другие объекты (повороты).

В математических школах и классах добираются иногда и до гиперкомплексных чисел. Тогда эта операция (удвоения) повторяется ещё пару раз – при построении тела кватернионов Н из комплексных чисел С и при построении алгебры октав Кэли Са из тела кватернионов Н. Весь процесс расширения понятия числа, начиная от натуральных чисел, можно изобразить в виде диаграммы, где жирными стрелками показаны переходы, связанные с удвоением. Пунктирной линией показан переход от рациональных чисел к вещественным, который не вписывается в эту схему – тут единственный раз в этом процессе меняется мощность множества чисел.

II

Один мой бывший коллега-программист, когда-то преподававший также и в 57-ой школе, говорил, что по окончании учебного года он торжественно сжигал все свои учебные планы и конспекты, потому как ученические коллективы неповторимы, и с новыми учениками всё надо создавать по-новому. Это, возможно, и перебор, но зерно истины (и важное зерно!) в этом есть.

Максимальной эффективности наши преподавательские усилия достигают при соблюдении следующих двух условий.

А) Если класс/группа учеников подобрана из примерно равных по силам, способностям, подготовленности учеников. Нереально требовать от учителя раздвоения, размножения и одновременного обучения в одном и том же классе, в одно и то же время разнородных групп учащихся, тем более, работать в классе, где более 20 учеников, индивидуально с каждым из них.

В) Если программа курса математики специально настроена на именно данную, конкретную группу учеников.

Дело в том, что своей максимальной эффективности обучение достигает в момент, когда учащийся работает на границе своей зоны ближайшего развития, проще говоря, близко к пределу своих текущих возможностей. Происходит эффект, напоминающий явление резонанса в физике при приближении частоты колебаний внешней силы к внутренней частоте колебания механизма. Это означает, что мы в идеале должны были бы иметь под рукой не несколько утвержденных министерством учебников, а тысячи учебников, под каждый уровень каждого класса. Фактически так и происходит обучение сегодня во многих профильных классах, в том числе и, например, в ГОУ “Интеллектуал”, где мои ученики уже третий год занимаются по моим рукописным материалам (так называемым “конспектам”). К издержкам такого ручного изделия можно отнести слабую совместимость различных программ и неизбежные потери ученика при смене им школы или даже перехода в параллельный класс той же школы.

Вообще же, стремление уйти от унифицированных государственных программ в “свободное плавание” характерно для многих школ и учителей, не только работающих в частных школах. Ярким примером может служить хотя бы московская школа “Лига школ”, в которой автономность учителя не только в методах, но и в выборе предметного содержания прямо декларируется как принцип преподавания.

III

Последовательность, в которой в настоящее время школьники проходят математику, следует в основном хронологическому, историческому порядку появления математических понятий, а не их логическому порядку, диктуемому логикой самого предмета.

Так, например, целые отрицательные числа появляются позже дробей. Только потому, что исторически дроби (в связи с потребностями измерений) возникли раньше, чем отрицательные. Но отрицательные числа и проще в обращении (надо всего-навсего запомнить, что минус на минус даёт плюс) и появляться должны прежде дробей, уже хотя бы потому, что сложение предшествует умножению! Дроби же вообще дело тонкое, здесь приходится иметь дело с факторизацией, когда множество элементов являются представителями одного класса (класс дроби ? представляют также числа 2/4, 3/6 и т. д.).
С отрицательными числами в школе Алеф успешно справлялись ученики второго класса, а вот проблемы с дробями наблюдаются иной раз и у старшеклассников. Соответственно, гораздо раньше можно познакомиться с понятием абсолютная величина. Кроме того, само понятие функции должно вводиться гораздо раньше (раньше, чем дроби). Важно постепенно приучаться к мысли, что операции могут быть определены не только с числами, но и с другими объектами, например, с теми же функциями. Желательно познакомиться с операциями над функциями, заданными как таблично (поточечно), так и аналитически. Во всяком случае, уже в начальной школе можно уметь выполнять с ними такие действия как сложение и умножение.

Ещё до появления дробей можно научиться решать системы уравнений – только целые коэффициенты при неизвестных надо подбирать так, чтобы решения тоже были целыми. На целочисленной плоскости можно научиться складывать и умножать на целые числа вектора, а если ещё добавить к ним половинки (полуцелые числа), то можно находить и площади многоугольников. Этими делами занимались (успешно и с воодушевлением) в НОУ “Алеф” малыши 3-4 (а иногда и второго) классов. Всё зависело от состава учеников. Как повезёт - год на год не приходится.

Другой пример. Казалось бы, ну зачем в шестом классе школьникам знать формулу длины окружности и площади круга? Они ещё и дроби-то толком не усвоили, а им уже рассказывают про какое-то таинственное число “p ”, которое не то что не целое, но и даже и не рациональное. А ведь других чисел в это время и попросту нет. Так что и числом-то его называть мы не имеем права. Кое-кто из учителей ещё и добавляет “трансцендентное оно!”. Так какое же оно? Многие школьники, всё-таки убеждены, что оно равно 3,14.
Более “продвинутые” полагают, что деятельность математиков и сводится, главным образом, к нахождению очередных знаков в его десятичном разложении. Ладно бы, шестой класс был последним, выпускным и мы бы рисковали тем, что, не узнав эти формулы в шестом классе, они не узнают их никогда. А так – ну что мешает отложить эти сведения хотя бы до 9-го класса (а лучше бы – до 10-го, когда по программе начинаются “пределы” и “начала анализа”)?

IV

В результате многочисленных экспериментов, все сотрудники кафедры математики НОУ “Школа Алеф”, участники этой программы (С 1991 года, кроме автора, в этот коллектив в разные годы входили Б.Б. Чамов, М.Н. Домбровский и А.А.Привалов) пришли к выводу, что начинать надо (в первом классе) с систем счисления. Сначала двоичной, потом троичной и т.д. Почему именно с систем счисления, и какие преимущества дополнительно к изучению привычной десятичной системы это даёт?

В десятичной системе счисления, для того, чтобы наглядно продемонстрировать хотя бы третий разряд – разряд сотен, надо предъявить связку из 100 палочек (или 10 связок по 10 палочек в каждой). Непростая задача, особенно если учесть, что для лучшего усвоения вязать эти снопы дети должны самостоятельно. А в двоичной системе для изображения даже пятизначного числа не потребуется более 63 кубиков, т.е. можно наглядно составлять и оперировать с многозначными числами. Второе преимущество состоит в том, что, рассматривая разные системы счисления, учащиеся привыкают к способу построения позиционных систем счисления, приходят к пониманию на интуитивном уровне к понятию основания системы счисления, к понятию степени с натуральным показателем.

Десятичная система более не обладает для них статусом уникальной и единственно возможной, а предстаёт всего лишь как одна из альтернатив, которая оказалась удобней из-за того, что у нас на руках 10 пальцев, которые использовались для счёта, и исторический выбор десятичной системы в качестве основной вошёл также и в название чисел. Хотя остались следы и от практиковавшейся в Вавилоне 60-ой системы счисления (60 секунд в минуте, 60 минут в часе, 24 часа в сутках: 60=3? 4? 5; 24=2? 3? 4, полный угол - 360? ). В английских мерах длины, веса и денежных единицах также находит своё отражение двенадцатеричная система счисления. Во французском языке мы находим такие числительные как 80 (в буквальном переводе “четыре двадцатки”).

Дети быстро научаются сначала на материализованном уровне, а затем и отвлечённо складывать и вычитать многозначные числа (без ограничения на число разрядов) с переходом в следующий разряд и с “заниманием” из соседних разрядов. Осваивают они также и перезапись чисел из одной системы счисления в другую (например, из троичной системы в двоичную). Но они на этом этапе выполняют это действие в материализованной форме (перекладывая, например, фишки из групп по три в группы по две). В дальнейшем учащиеся составляют сами таблицы умножения в разных системах счисления и пользуются ими, а также специальными опорными таблицами, для вычисления произведений (вначале) многозначных чисел на однозначные. Прохождение этой темы служит пропедевтикой также для темы “многочлены”. Единственное, что мешает перейти сразу к последней теме, так это наличие буквенной символики, привычка к которой вырабатывается не сразу, и это есть отдельная задача, решаемая в последующие годы.

V

В теории поэтапного формирования умственных действий проф. П.Я.Гальперина выделяются три типа обучения. Первый, самый популярный (в американских школах он в большом фаворе, знаменитый Guess and Check), – это просто метод проб и ошибок.

Словами героя Мольера, “выходит, я всю жизнь говорил прозой?”. Метод сей неэффективен по временным затратам, но единственно признаваем школами Монтессори.

Второй тип обучения – это специально разработанная технология обучения навыкам и умениям по готовым алгоритмам. Своего рода дрессировка, максимально эффективная с точки зрения временных ресурсов и быстрого достижения результата. Есть, однако, основания полагать, что длительное и исключительное пользование этим методом снижает творческий потенциал индивидуума.

Третий тип обучения – это обучение, при котором алгоритм строится самим учеником в процессе обучения. Сложный метод, сочетающий в себе элементы первых двух типов.

В течение первых двух лет обучение в НОУ “Школа Алеф” ведётся почти исключительно по второму типу обучения (то есть, по готовым алгоритмам). Компенсационной мерой при этом, служащей для поддержания творческого начала и эмоциональной вовлечённости в предмет, являлось систематическое включение в занятия “задач на смекалку” и проведение внутришкольных олимпиад (2 раза в год). У детей этого возраста способность к повторению одних и тех же действий гораздо выше, чем в последующие годы, они получают видимое удовольствие от самого факта успешного выполнения алгоритма. Для них это игра, они, кстати, именно поэтому способны к оперированию с совершенно абстрактными понятиями.

По мере взросления учеников центр тяжести постепенно перемещается с вопроса “как” на вопрос “почему” и синтез уступает место анализу. В этот время преподавание по второму типу уступает место преподаванию по третьему типу, учащиеся начинают под руководством учителя сами искать эффективные алгоритмы, ведущие к решению той или иной задачи.

В идеале, на наш взгляд, реализовывать всё это должен один учитель по данному предмету в течение всего времени преподавания этого предмета в школе, даже если этот предмет преподаётся все 11 лет (как, например, русский язык, математика или, как в некоторых школах, также и английский язык). Преимущества такого стиля преподавания, помимо всего прочего, состоят и в том, что ученик привыкает, настраивается на стиль данного учителя, а учитель, в свою очередь, уже досконально знает особенности, сильные и слабые стороны своих учеников. Это можно сравнить с работой семейного доктора, который знает историю болезней, наследственность, противопоказания и аллергии, реакции на различные лекарства наблюдаемого в течение многих лет пациента

В НОУ “Алеф” нами предпринята такая попытка – попытка сквозного обучения детей одним и тем же педагогом по гибким, приспособленным к данному детскому коллективу программам на протяжении 7 лет (хотя не полностью, а частично, ибо государственная программа по математике в начальной школе остаётся по-прежнему, а “авторская” остаётся “довеском” к ней).

Мы постарались также, в рамках этой программы, не дробить преподавание предмета на мелкие темы и подтемы, а дать, по возможности более или менее цельное и связное изложение материала с упором на краеугольные математические концепции, такие как функция, факторизация, гомоморфизм, инвариант и пр.

Рис1.

Рис2.