Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский
Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.
Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.
План урока:
1. Защита проекта:
- из истории интегрального исчисления;
- свойства интеграла;
- применение интеграла в математике;
- применение интеграла в физике;
2. Решение упражнений.
Ход урока
Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.
1 ученик: Из истории интегрального исчисления.
2 ученик: Свойства интеграла
3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).
|
|
Математика |
Физика |
4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры,
рассматриваемая в прямоугольной системе
координат, может быть составлена из площадей
криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и
оси Оу. Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и
двумя прямыми х=а и х=b, где а х
b, f(х)
0 вычисляется по формуле
см. рис. Если криволинейная трапеция
прилегает к оси Оу, то её площадь вычисляется
по формуле
, см. рис. При вычислении площадей
фигур могут представиться следующие случаи:
а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена
осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис.) Площадь этой фигуры
находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена
под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и
двумя прямыми х=а и х=b (см. рис.).
Площадь находится по формуле
. в) Фигура расположена над и под
осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя
прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь
ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и
у =
(х) (рис.)
5 ученик: Решим задачу
х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0
6 ученик: Вычисление объемов тел.
7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
Путь, пройденный точкой при неравномерном
движении по прямой с переменной скоростью за
промежуток времени от
до
вычисляется по формуле
.
Примеры:
1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный
точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
2. Два тела начали двигаться одновременно из
одной точки в одном направлении по прямой. Первое
тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v =
(4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они
окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
Работа, произведенная переменной силой f(х) при
перемещении по оси Ох материальной точки от х
= а до х=b, находится по формуле При решении
задач на вычисление работы силы часто
используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F —
сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м,
вызванное силой F, а k —коэффициент
пропорциональности, Н/м.
Пример:
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную
площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,
где —
плотность жидкости, кг/м3; S — площадь
площадки, м2; х - глубина погружения
площадки, м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
5. ДЛИНА ДУГИ
Пусть плоская кривая АВ (рис. ) задана уравнением у =f(x) (a x
b), причем f(x) и f ?(x)
— непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда
дифференциал dl длины дуги АВ выражается
формулой
или
, а
длина дуги АВ вычисляется по формуле
(4)
где а и b—значения независимой
переменной х в точках А и В. Если кривая
задана уравнением х = (у)(с у
d), то длина дуги АВ вычисляется по
формуле
(5) где с
и д значения независимой переменной у в
точках А и В.
6. ЦЕНТР МАСС
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
1) Координата х? центра масс системы материальных точек А1, А2 ,..., Аn с массами m1, m2, ..., mn, расположенных на прямой в точках с координатами х1, х2, ..., хn, находятся по формуле
(*);
2) При вычислении координаты центра масс можно
любую часть фигуры заменить на материальную
точку, поместив ее в центр масс этой части, и
приписать ей массу, равную массе рассматриваемой
части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка
[а;b] оси Ох - распределена масса плотностью
(х), где
(х) -
непрерывная функция. Покажем, что а)
суммарная масса М стержня равна
; б) координата центра
масс х' равна
.
Разобьем отрезок [а; b] на n равных
частей точками а= х0 < х1 < х2 <
... <хn= b (рис. ). На каждом
из n этих отрезков плотность можно считать при
больших n постоянно и примерно равной (хk - 1)
на k-м отрезке (в силу непрерывности
(х). Тогда масса k-ого
отрезка примерно равна
а масса всего стержня равна
Считая каждый из n маленьких отрезков
материальной точкой массы mk , помещенной в
точке , получим
по формуле (*), что координата центра масс
приближенно находится так
Теперь осталось заметить, что при n —>
числитель стремится к
интегралу
, а знаменатель (выражающий массу всего
стержня) - к интегралу
Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)
Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.
Величины |
Вычисление производной |
Вычисление интеграла |
А – работа; F – сила; N - мощность. |
F(x)=A' (x); N(t)=A' (t). |
A= A= |
m –масса тонкого стержня p – линейная плотность |
P(x)=m' (x). |
m= |
Q –электрический заряд; I – сила тока. |
I(t)=q' (t) |
Q= |
S –перемещение; v –скорость. |
V(t)=S' (t) |
S= |
Q –количество теплоты; с – теплоёмкость. |
C(t)=Q' (t) |
Q= |
Физические приложения интеграла
1. Реши задачи.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
|
|
|
Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.
Сведения из истории интегрального исчисления