Урок-зачет по теме "Исследование функции с помощью производной"

Разделы: Математика

Цель урока: проверка умений и навыков исследования функций и построения графиков с помощью производной.

Теоретическая часть зачета.

Вопросы

  1. Определение точки минимума и точки максимума.
  2. Определение критической точки.
  3. Необходимое условие, чтобы точка х0 была точкой экстремума.
  4. Алгоритм нахождения критических точек функции.
  5. Определение стационарных точек.
  6. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).
  7. Достаточные условия существования экстремума функции .
  8. Достаточный признак возрастания, убывания функции.
  9. Точки экстремума ,экстремум функции.
  10. Алгоритм нахождения экстремумов функции.
  11. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Теоретическая часть зачета

Ответы

1) Определение точки минимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х0 , то точка Х0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки Х0 ,что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)>f(х0).

Определение точки максимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х0 , то точка Х0 называется точкой максимума функции f(х),если существует такая окрестность точки Х0 , что для всех х?х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)<f(х0).

2) Определение критических точек.

Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.

3) Необходимое условие, чтобы Х0 была точкой экстремума: эта точка должна быть критической.

4) Алгоритм нахождения критических точек.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти область определения производной данной функции.(Чтобы определить есть ли точки в которых производная не существует. Если такие точки есть, то проверить являются ли они внутренними точками области определения функции.

4. Найти точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение: f '(х)=0.

Проверить являются ли найденные точки внутренними точками области определения функции.

5) Стационарные точки - точки, в которых производная функции равна нулю.

6) Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума функции.)

у=f(х)-функция, которая определена в некоторой окрестности точки Х0, и имеет производную в этой точке.

Теорема: если Х0-точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f '(х)=0.

7) Достаточные условия существования экстремума функции в точке.

y=f(х) определена на (а;в). Х0-критическая точка.

Если функция f непрерывна в точке Х0, а f '(х)>0 на интервале (а;х0) и f '(х)<0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой максимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х0 производная меняет знак с “+” на “ _”, то Х0 есть точка максимума.)

Если функция f непрерывна в точке Х0, а f '(х)<0 на интервале (а;X0) и f '(х)>0 на интервале (X0;в), то точка х0 является точкой минимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х0 производная меняет знак с “_” на “+”, то Х0 есть точка минимума.)

8) Достаточный признак возрастания, убывания функции.

Если f '(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).

Если f '(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)

9) Точки экстремума, экстремум функции.

Х0 - точка максимума, Х0 –точка минимума называются точками экстремума.

f(х0) - максимум функции,

f(х0) - минимум функции называются экстремумами функции.

10) Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1. Находим область определения функции.

2. Находим производную функции.

3. Находим критические точки.

4. Определим знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5. Найдем точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найдем экстремумы функций.

11) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Найти значения функции на концах отрезка [а; в].

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; в).

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Практическая часть зачета

“Исследование функций с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке”

Найти:

а) критические точки функций,

б) экстремумы функций

в) наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

г) построить график.

1. у=(х-3)2(х-2). [1;4] 11. у=2х4-х. [-1;1]
2. у=1/3х3+х2 [-4;1] 12. у=х2-2/х. [-3;-0,5]
3. у=1/3х3-х2-3х [-2;6] 13. у=1/(х2+1). [-1;2]
4. у=-1/4х4+2х2+1. [-3;3] 14. у=3х-х3. [-1,5;1,5]
5. у=х4-8х2-9. [-3;3] 15. у=2х2-х4. [-2;1,5]
6. у=(х-2)(х+1)2. [-1,5;1,5] 16. у=3х2/3-х2. [-8;8]
7. у=-2/3х3+2х-4/3. [-1,5;1,5] 17. у=3х1/3-х. [-8;8]
8. у=3х5-5х4+4. [-1;1] 18. у=х3-1,5х2-6х+4. [-2;3]
9. у=9х2-9х3. [-0,5;1] 19. у=(1-х)/(х2+3). [-2;5]
10. у=1/3х3-4х. [-3;3] 20. у= -х4+2х2+3. [-0,5;2]

Ответы к практической части зачета (Приложение1)