Цели урока:
Образовательная цель:
- научить учащихся применять теорему Виета при нахождении корней квадратного уравнения.
Развивающие цель:
- содействовать развитию познавательного интереса, творческих способностей, волевых качеств, памяти,
- обобщать и систематизировать полученные знания.
Воспитательная цель:
- воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении корней квадратного уравнения.
Оборудование:
компьютер,
- карточки для индивидуальных и групповых работ,
- чертежные инструменты,
- мультимедийный проектор.
Тип урока: Урок объяснения нового материала.
Ход урока
1. Организационный этап.
- приветствие;
- проверка готовности учащихся к уроку;
- организация внимания учащихся.
2. Этап проверки домашнего задания.
- выявление факта выполнения домашнего задания;
- выявление причин невыполнения задания.
Проверяем домашнюю работу следующим образом:
Замените целые корни уравнений 1) 5х2-18х+16=0, 2)8х2+х-75==0, 3) 4х2+7х+3=0, 4) х2-х-56+0, 5) х2-х-1=0 на соответствующие буквы и отгадайте фамилию ученого, французского математика.
и н в е т 3 1 2 -1 8
(Виет).
Историческая справка. “Франсуа Виет - французский математик”. (Можно вывести на экран с помощью проектора.)
3. Этап актуализации знаний.
-Что значит решить уравнение?
-Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
-Заметили ли вы зависимость между корнями квадратного уравнения?
4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
- постановка целей и задач изучения нового материала;
- мотивация учащихся к его усвоению;
- постановки перед учащимися учебной проблемы.
- Мы с вами на уроке постараемся ответить на вопрос о зависимости между корнями квадратного уравнения и решении квадратного уравнения другими способами.
5. Этап формирования новых знаний.
Решите уравнение х2+5х+6=0. Найдите сумму и произведение корней уравнения.
Решение: D=25-24=1, х1=-2, х2=-3.
х1+х2=-5, х1х2=6.
- Какое квадратное уравнение вы решили? (Приведенное.)
- Какую зависимость между корнями и коэффициентами вы заметили?
- Да, действительно, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену. Вы сами сделали открытие! Вот в этом и заключается теорема Виета. Сформулируйте эту теорему.
Теорема. (Ребята формулируют самостоятельно.)
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
1) Докажем теорему Виета для приведенных уравнений:
Дано: х2+рх+q=0
Доказать: х1+х2=-р, х1х2=q.
Доказательство: (На доске написана схема доказательства. Ученики выполняют данную схему шаг за шагом.)
D 0 |
D=0 | |
| Найти D | ||
| Найти корни х1 и х2; | ||
| Найти сумму х1 и х2; | ||
| Найти произведение х1и х2. |
Выводы: (Повторяем еще раз формулировку теоремы.)
2) Докажем теорему Виета для квадратных
уравнений общего вида ax2+bx+c=0. Равносильное
ему приведенное квадратное уравнение имеет вид: x2+
х+ с=0 .
По теореме Виета: х1+х2=-
, х1х2=
.
3) Справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируйте эту теорему.
Теорема.
Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+bх+с=0.
(Доказательство разобрать дома.)
6. Этап формирования умений и навыков.
1.(Устно). Выберите среди данных уравнений приведенные:
a) 2х2+3х-1=0,
б) х2-х-6=0,
в) 3х2+5=0,
г) х2+7х+6=0.
2. (Устно). Чему равна сумма и произведение корней уравнений:
a) х2+7х+6=0,
б) х2-8х+12=0,
в) х2-х-6=0.
3. (Письменно). Определите корни квадратного уравнения методом подбора:
| х1 | х2 | |
| a) х2+7х+6=0, | ||
| б) х2-8х+12=0, | ||
| в) х2-х-6=0, | ||
| г) х2-15х-16=0, | ||
| д) х2=11х-12=0. |
(Самопроверка проводится с помощью вынесения решений на экран.)
4) Зная, что х1 и х2- корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета, составьте квадратные уравнения:
а) х1=4, х2=-3,
б) х1=5, х2=2.
(х2-х-12-0) (х2-7х+10=0)
| х1 | х2 | х1+х2 | х1 х2 | уравнение |
| а) х1=4, | х2=-3, | |||
| б) х1=5, | х2=2, | |||
| в) х1=-3, | х2=-6, | |||
| г) х1=8, | х2=12. |
(Самопроверка проводится с помощью вынесения решений на экран.)
7. Этап первичной проверки.
1) Учащиеся выполняют самостоятельно по группам. Класс разбит на 4 группы. Каждая группа решает задания своего варианта по карточкам. Дана инструкция с алгоритмом решения.
1 группа.
Пусть х1 и х2- корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в указанном порядке.
| 1) х2-25=0, | (х1,х2) |
| 2) х2-3х=0, | (х1,х2) |
| 3) х2-5х+6=0, | (х2,х1) |
| 4) х2-12х+35=0, | (х2,х1) |
| 5) х2-6х=0, | (х2,х1) |
| 6) х2-2х-35=0, | (х2,х1) |
| 7) х2-х-6=0, | (х2,х1) |
| 8) х2+3х=0, | (х2,х1) |
| 9) х2+10х+100=0, | (х1,х2) |
| 10) х2+10х=0. | (х1,х2) |
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную плоскость, и последовательно соедините все точки отрезками. При правильном выполнении вы получите рисунок.
2-я группа.
Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в указанном порядке.
| 1) х2-4х-21=0, | (х1,х2) |
| 2) х2-10х+21=0, | (х1,х2) |
| 3) х2-7х+12=0, | (х1,х2) |
| 4) х2-6х=0, | (х2,х1) |
| 5) х2+4х-32=0, | (х2,х1) |
| 6) х2+6х-55=0, | (х2,х1) |
| 7) х2+16х+55=0, | (х2,х1) |
| 8) х2+12х+32=0, | (х2,х1) |
| 9) х2+6х=0, | (х1,х2) |
| 10) х2-х-12=0. | (х1,х2) |
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном выполнении вы получите рисунок.
3-я группа.
Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения.
Решите уравнения и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в указанном порядке.
| 1) х2-5х+4=0, | (х1,х2) |
| 2) х2-5х+6=0, | (х2,х1) |
| 3) х2-8х+15=0, | (х2,х1) |
| 4) х2-9х=0, | (х2,х1) |
| 5) х2-6х+5=0, | (х2,х1) |
| 6) х2+х-2=0, | (х2,х1) |
| 7) х2+2х-3=0, | (х1,х2) |
| 8) х2+7х=0, | (х1,х2) |
| 9)- 9х+х2=0, | (х1,х2) |
| 10) х2-х-2=0. | (х1,х2) |
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном выполнении вы получите рисунок.
4-я группа.
Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в указанном порядке.
| 1) х2-13х+22=0, | (х1,х2) |
| 2) х2-12х+35=0, | (х1,х2) |
| 3) х2-10х+100=0, | (х1,х2) |
| 4) х2-7х+12=0, | (х2,х1) |
| 5) х2-11х+24=0, | (х2,х1) |
| 6) х2-2х-8=0, | (х2,х1) |
| 7) х2+6х+8=0, | (х1,х2) |
| 8) х2+5х-24=0, | (х1,х2) |
| 9) х2-5х+6=0. | (х1,х2) |
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном выполнении вы получите рисунок.
Рисунки проектируются на экран. И учитель, и ученики сразу увидят ошибки.
(Физкультпауза.)
2) 1-е три группы выполняют следующие задания:
1-я группа.
В уравнении х2+pх-35=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.
2-я группа.
Один из корней уравнения х2-13х+q=0 равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент q.
3-я группа.
Один из корней уравнения 10х2-33х+с=0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
4-я группа (группа сильных учащихся).
Не решая уравнение х2-2х-8=0, применяя теорему Виета, вычислите сумму квадратов и сумму кубов его корней.
8. Этап информирования о домашнем задании.
п.23 ( разобрать доказательство теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета),
№№585 ( а-в), 586 ( а-в), 588;
Творческое задание: придумать рисунок на координатной плоскости и составить квадратные уравнения, приняв координаты точек за корни квадратного уравнения. (Необязательное задание.)
Дополнительно для сильных учащихся № 660.
9. Подведение итогов. Рефлексия.
1) Ответьте на вопросы.
1) Какие уравнения мы сегодня рассматривали?
2) Чему равна сумма корней квадратного уравнения?
3) Чему равно произведение корней квадратного уравнения?
2) Отгадай кроссворд.
| 1. По горизонтали: | 2. По вертикали. |
| 1. Как называется уравнение вида ах2+вх+с=0? | 5. Математик, именем которого названа одна из важнейших теорем. |
| 2. Как называется выражение в2-4ас? | |
| 3. Равенство с переменной. | |
| 4. Как называется а в уравнении ах2+вх+с=0? |
3) Рефлексия урока.
Продолжите фразу:
“Сегодня на уроке я узнал...”;
“Сегодня на уроке я научился...”
“Сегодня на уроке я познакомился...”
“Сегодня на уроке я повторил ...”
“Сегодня на уроке я закрепил...”
Учащиеся сдают тетради, каждый получает оценку.