1. Через вершину конуса проведено сечение,
имеющее наибольшую площадь. Плоскость этого сечения
составляет с плоскостью основания угол . Образующая
конуса равна L. Найдите объем меньшей части конуса,
отсеченной этой плоскостью.
|
 |
ДАНО:
конус;
сечение с наибольшей
площадью;
плоскость сечения
составляет с
плоскостью
основания угол
;
AM=L – образующая.
Найти: V
|
Решение:
Рассмотрим три боковых сечения:
Можно увидеть, что площадь бокового сечения
зависит от длины образующей и от угла между
образующими. Во всех трех случаях длина образующих
(L) остается постоянной, а угол меняется. Угол,
который может образовываться в сечении больше ,
но меньше . Чем больше значение синуса угла, тем
больше угол. Значение синуса может быть от 0 до 1;
самое большое значение у синуса – 1. Тогда угол между
образующими равен ( - прямой).
Проведем .
Т. к. , то MABO – двугранный угол линейного угла
MKO= .
- равнобедренный (АМ и МВ – образующие) и прямоугольный.
, т. к. - равнобедренный, то высота является медианой.
- прямоугольный
- прямоугольный.
R – радиус основания конуса
R=OB
- прямоугольный.
- прямоугольный.
Тогда
( - равнобедренный – АО=ОВ=R, ОК – биссектриса).
Продолжим КО.
Т.к.
Т.к.
Соединим точки A и D, B и D, D и M.
Таким образом у нас получилась правильная
треугольная пирамида (т.к. и
AO=OD=OB=R,
то равны по двум сторонам и углу
между ними;
соответственно равны и стороны,
лежащие против этих углов в - AB=BD=АD),
вписанная в конус.
Боковые ребра этой пирамиды взаимно перпендикулярны
(т.к. AB=BD=АD и AM=DM=BM=L, то равны по
трем сторонам; значит равны и углы, лежащие против
равных сторон -
)
OD=OB=R
Тогда объем отсеченной части равен
Ответ:
|
2. Точки А(1;2;-2), В(4;2;-2) и С(3;4;-2)
лежат на окружности основания конуса, высота которого
равна 3. Конус пересекает плоскость z=0. Найдите площадь
сечения конуса этой плоскостью, координаты вершины конуса
и площадь боковой поверхности конуса.
|
 |
ДАНО:
конус; h=3;
А(1;2;-2),
В(4;2;-2)
и С(3;4;-2)
лежат на
окружности
основания
конуса;
конус
пересекает
плоскость z=0.
Найти: ,
,
координаты
точки К.
|
Решение:
Т.к. точка А имеет координаты (1;2;-2), В(4;2;-2) и
С(3;4;-2), то основание конуса лежит в плоскости z=-2.
Пусть M(x;y;-2) – центр окружности основания
(МА=МВ=МС=R)
Таким образом М имеет координаты
Т.к. высота конуса равна 3, то координаты вершины
конуса – К
Конус пересекает плоскость z=0. z=0 – плоскость, проходящая
через оси и и
перпендикулярная . Тогда
 | подобны, т.к. эти треугольники
прямоугольные и они имеют общий угол К.
Тогда

|
Ответ:
|
|
| |