1. Через вершину конуса проведено сечение, 
 имеющее наибольшую площадь. Плоскость этого сечения 
 составляет с плоскостью основания угол . Образующая 
 конуса равна L. Найдите объем меньшей части конуса, 
 отсеченной этой плоскостью.
 ДАНО: 
 конус;
 сечение с наибольшей 
 площадью;
 плоскость сечения  
 составляет с 
 плоскостью 
 основания угол 
 ; 
 AM=L – образующая.
 

 Найти: V 


Решение:
Рассмотрим три боковых сечения:
Можно увидеть, что площадь бокового сечения зависит от длины образующей и от угла между образующими. Во всех трех случаях длина образующих (L) остается постоянной, а угол меняется. Угол, который может образовываться в сечении больше , но меньше . Чем больше значение синуса угла, тем больше угол. Значение синуса может быть от 0 до 1; самое большое значение у синуса – 1. Тогда угол между образующими равен ( - прямой). Проведем . Т. к. , то MABO – двугранный угол линейного угла MKO= . - равнобедренный (АМ и МВ – образующие) и прямоугольный. , т. к. - равнобедренный, то высота является медианой. - прямоугольный - прямоугольный. R – радиус основания конуса R=OB - прямоугольный. - прямоугольный. Тогда ( - равнобедренный – АО=ОВ=R, ОК – биссектриса). Продолжим КО. Т.к. Т.к. Соединим точки A и D, B и D, D и M. Таким образом у нас получилась правильная треугольная пирамида (т.к. и AO=OD=OB=R, то равны по двум сторонам и углу между ними; соответственно равны и стороны, лежащие против этих углов в - AB=BD=АD), вписанная в конус. Боковые ребра этой пирамиды взаимно перпендикулярны (т.к. AB=BD=АD и AM=DM=BM=L, то равны по трем сторонам; значит равны и углы, лежащие против равных сторон - ) OD=OB=R Тогда объем отсеченной части равен Ответ:


2. Точки А(1;2;-2), В(4;2;-2) и С(3;4;-2) 
 лежат на окружности основания конуса, высота которого 
 равна 3. Конус пересекает плоскость z=0. Найдите площадь 
 сечения конуса этой плоскостью, координаты вершины конуса 
 и площадь боковой поверхности конуса.
 ДАНО: 
 конус; h=3;
 А(1;2;-2), 
 В(4;2;-2) 
 и С(3;4;-2) 
 лежат на 
 окружности 
 основания 
 конуса;
 конус 
 пересекает 
 плоскость z=0.

 Найти: , 
 , 
 координаты 
 точки К. 


Решение:
Т.к. точка А имеет координаты (1;2;-2), В(4;2;-2) и 
С(3;4;-2), то основание конуса лежит в плоскости z=-2.
Пусть M(x;y;-2) – центр окружности основания 
(МА=МВ=МС=R)


 

Таким образом М имеет координаты   
Т.к. высота конуса равна 3, то координаты вершины 
конуса – К


Конус пересекает плоскость z=0. z=0 – плоскость, проходящая 
через оси  и  и 
перпендикулярная . Тогда  

 подобны, т.к. эти треугольники 
прямоугольные и они имеют общий угол К. 
Тогда

Ответ: