1. Из точки поверхности шара проведены три 
 равные хорды под углом  одна к другой. 
 Найдите их длину, если радиус шара равен R.  
 ДАНО: 
 шар,
 хорды –
 АМ=МС=МВ,
 хорды проведены 
 из одной точки
 под углом  одна 
 к другой, 
 радиус шара=R





 Найти: a

 


Решение:

Проведем из точки М три равные хорды под 
углом   (АМ=МС=МВ).
Соединим точки А, В и С.
Тогда получившийся треугольник АВС – правильный 
(т.к.   равны по двум сторонам и углу 
между ними. АМ=МВ=МС, .
В равных треугольниках против 
равных углов лежат равные стороны. АВ=ВС=АС).

Образовалась правильная пирамида МАВС. Пусть  – высота 
этой пирамиды. Обозначим точку К – середина АМ. 
Проведем серединный перпендикуляр КО. 
Тогда О – центр шара. МО=R.

 подобны, т.к. они 
прямоугольные и имеют общий угол.
Пусть АМ=МВ=МС=a
Проведем  т.к. 
треугольник 
АМС – равнобедренный, а в 
равнобедренном треугольнике 
высота является биссектрисой. 
Тогда   
(треугольник АВС – правильный, вписан в окружность)
 - прямоугольный.
Ответ:


2. Сферы 
  пересекаются. 
Найдите длину линии пересечения этих сфер.   
 
 ДАНО: 
 сферы
  
 пересекаются








 Найти: c  


Решение:

Первая сфера:
 
Вторая сфера:
 
Первая сфера имеет центр в точке ; 
а вторая сфера – .
Расстояние между центрами сфер -   
 

Таким образом , 
значит сферы пересекаются. Пусть А – общая точка 
этих сфер. Соединим точки А,   и  .
Проведем высоту h=AB в .
Тогда h в   - 
радиус окружности, которая образуется при пересечении сфер.
 
Пусть  , тогда  

Тогда длина линии пересечения этих сфер равна Ответ: