1. ABCD и EFKL - два взаимно 
 перпендикулярных  осевых сечения цилиндра, причем AD и EL - 
 диаметры одного основания, М -   середина образующей АВ,
 . Площадь   осевого сечения равна 4. 
 Найдите площадь поверхности цилиндра. 
 ДАНО: 
 цилиндр;
 ABCD – осевое сечение;
 EFKL – осевое сечение;
 осевые сечения 
 перпендикулярны;
 AD и EL – диаметры 
 одного основания;
 M – середина 
 образующей АВ;
 ; 

 Найти:  


Решение:

Поместим цилиндр в прямоугольную систему координат. 
Пусть r – радиус основания цилиндра, а h – высота цилиндра. 
h=AB=x.
Тогда A(r;0;0), C(-r;0;x), M(r;0;), L(0;r;0). 
 
Т. к. , то   
 	
Тогда  
 
r=1   или  r=-1 
r=-1 не удовлетворяет решению задачи.
 
x=2  или  x=-2
x=-2 не удовлетворяет решению задачи.
 
 

Ответ:  


2. Две образующие цилиндра с квадратным 
 осевым сечением лежат на основаниях другого цилиндра, 
 а окружности его оснований касаются боковой поверхности 
 другого цилиндра. Найдите отношение объемов 
 этих цилиндров. 
 ДАНО: 
 два цилиндра;
 MEKN - осевое сечение
 вписанного цилиндра –  
 квадрат; EK и MN
 лежат на основаниях
 внешнего цилиндра;
 окружности оснований 
 вписанного цилиндра 
 касаются боковой 
 поверхности внешнего 
 цилиндра.

 Найти: 



 


Решение:
Пусть диаметр основания и образующая вписанного цилиндра 
равны x (AB=AD=x, т. к. сечение – квадрат). Радиус 
основания внешнего цилиндра – RO=R. Высота этого 
цилиндра равна x. 
- объем внешнего цилиндра.
- объем вписанного цилиндра 
(т.к.диаметр основания 
вписанного цилиндра равен x, то r=).
Проведем AC – диаметр внешнего цилиндра.
- прямоугольный (т.к. образующая 
перпендикулярна 
основанию цилиндра, а следовательно и всем прямым, 
принадлежащим основанию, ).
 
Тогда  
 
Значит 

 

Ответ: