Удивительное равенство

Идёт урок. Новая тема, а может быть закрепление, может быть повторение изученного материала. Учитель все время в поиске. Что поможет учащимся собраться, сосредоточиться, не отвлекаться на уроке? Что будет способствовать формированию интереса к математике и постоянно его поддерживать? Ответим на поставленные вопросы некоторыми соображениями, используя уроки геометрии, в которых работает, применяется теорема Пифагора, и желанием найти место в большинстве из них для сообщения элементов историзма в различных формах.

I. РАБОТА С ИСТОРИЧЕСКИМИ СВЕДЕНИЯМИ.

Рассмотрим первоначальное включение элементов историзма:

а) На первом уроке по теме «Теорема Пифагора» (рис. 1).

Рис. 1.

б) После изучения теоремы, обратной теореме Пифагора.

в) Две задачи из «Математики в девяти книгах».

Ниже предлагаем содержание каждого пункта.

а) Самостоятельная работа учащихся по учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия для 7-9 классов» [4].

Ответить на вопросы и составить рассказ.

1. Где задолго до Пифагора было установлено соотношение между гипотенузой и катетами? (Ответ: в Вавилонских текстах за 1200 лет до Пифагора.)

2. Предположительно каким путем до Пифагора было установлено это соотношение? (Ответ: опытным путем на основе измерений.)

3. Что сделал Пифагор? (Ответ: Пифагор, по-видимому, нашел доказательство теоремы «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».)

4. Сколько в настоящее время насчитывается доказательств теоремы Пифагора? (Ответ: более ста.)

Замечание. В энциклопедии для детей читаем: «Со времен Пифагора появилось несколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, так что она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного» [9. С.289].

б) В классе 3 ряда. Это три команды. Соревнования этих команд проводит «египетский треугольник» (со сторонами 3, 4, 5 (рис. 2).

Рис. 2.

Нужно ответить на его вопросы № 1, № 2, № 3 (табл.1).

Таблица 1

Вопросы «египетского треугольника»

№	Вопросы
№ 1	Являются ли треугольники с данными сторонами прямоугольными?
	стороны 12; 5; 13;	стороны 8; 15; 17	стороны 7; 24; 25
№ 2	Можно ли эти треугольники в №1 назвать пифагоровыми?
№ 3	С помощью верёвки постройте прямой угол, как это делали ещё в середине первого тысячелетия до нашей эры египтяне.

Ответы к вопросам таблицы 1.

Вопрос № 1. По обратной теореме Пифагора, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

13²=12²+5²,

17²=8²+15²,

25²=24²+7².

Вопрос № 2. Если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то такой треугольник называют пифагоровым.

Вопрос № 3. Верёвку узлами делили на 12 равных частей. Концы связывали, потом натягивали на три колышка. Получался треугольник. Если стороны относились как 3 : 4 : 5, то он был прямоугольным. Значит, прямой угол был построен.

в) Две задачи из «Математики в девяти книгах» (Древний Китай, II в. до н.э.).

Задача № 6 из девятой книги. «Имеется водоем со стороной в 1 чжан (=10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?» (рис. 3).

Рис. 3.

Решение. В ABC ABC = 90. Пусть BC = x чи, тогда AC = x + 1 (чи); AB = 5 чи. По теореме Пифагора

1) (x + 1)² = 5² + x²;

x² + 2x + 1 = x² + 25;

2x = 24;

x = 12.

2) 12 + 1 = 13 (чи).

Ответ. Глубина воды 12 чи. Длина камыша 13 чи.

Задача № 13 из девятой книги. «Имеется бамбук высотой 1 чжан (= 10 чи). Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня. Спрашивается: какова высота после сгибания?» (рис. 4).

Рис. 4.

Решение. BD – высота бамбука. При сгибании бамбука вершина D перешла в A. СB – высота бамбука после сгибания. Пусть CB = x чи, тогда CD = AC = 10 – x (чи), AB = 3 чи,

AC² = AB² + BC²,

(10 – x)² = 9 + x²,

100 – 20x + x² = 9 + x²,

– 20x = – 91,

II. ДАЛЬШЕ, ДАЛЬШЕ…

При изучении геометрии часто приходится пользоваться теоремой Пифагора. Например, при изучении трапеции, …, окружности вы сделали подборку задач, где работает теорема. Переход к их решению можно осуществлять так.

Название следующего этапа урока предстоит определить. Для этого необходимо заполнить таблицу 2. Последняя колонка даст два слова. Второе слово образуйте из выписанных букв, не меняя их порядка.

Таблица 2

Задумайся и ответь

№	Вопрос	Ответ	Из ответа взять
1	Как называется утверждение, требующее доказательство?		Все слово
2	Как называется сумма всех сторон треугольника?		Первую букву
3	На основании чего было установлено соотношение между гипотенузой и катетами до Пифагора?		Первую букву
4	Как можно назвать запись теоремы Пифагора в буквенной форме?		Первую букву
5	Какое утверждение берется без доказательства?		Первую букву
6	Что принимают за единицу измерения углов?		Первую букву
7	Как называется геометрическая фигура, составленная из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки?		Первую букву
8	Как называется отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности?		Первую и вторую буквы

Колонка «Ответ» должна быть заполнена так:

1.Теорема.

2. Периметр.

3. Измерений.

4. Формула.

5. Аксиома.

6. Градус.

7. Окружность.

8. Радиус.

Итак, вы получили – «Теорема Пифагора», а я (учитель) добавляю: «в задачах».

Можно воспользоваться задачами, предложенными А. Кононовым [7] и М. Галицким [3].

Значение теоремы Пифагора для геометрии и математики в целом.

1. Так как учителю воспользоваться энциклопедией для детей [9. С.289] будет не сложно, то мы берем основное содержание концовки материала «Теорема Пифагора». Из него выделяем фрагменты и указываем, где на уроках геометрии могло быть им место, хотя бы небольшими замечаниями учителя.

1) По теореме Пифагора находим длину отрезка (гипотенузы), не проводя измерений, то она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и далее в многомерные пространства.

2) Расстояние между точками А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂) в декартовых координатах [4. С. 238]:

а) Это теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат. Их длины: |х₂ – х₁| и |у₂ – у₁| [4. С. 192].

б) Если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, то из этой формулы (она определяет расстояния) выводимы понятия, определяемые через расстояния: равенство и подобие фигур. Окружность – множество пар чисел (х; у), для которых

и (х₀; у₀) - заданная точка, центр окружности. [4. С.242].

в) Если добавить еще одну координату z и слагаемое (z₂ – z₁)² в формулу расстояния, то мы уже в трехмерном пространстве.

и так далее.

2. В тригонометрии основное тригонометрическое тождество cos² + sin² = 1 – это теорема Пифагора, записанная в другом виде [4. С.253].

Замечание. Существуют и обобщения теоремы Пифагора на пространственные фигуры. Одно из них было установлено впервые в XVIII столетии и часто встречается в прикладной математике. Оно звучит так: «Сумма квадратов площадей трех прямоугольных треугольников, являющихся боковыми гранями тетраэдра и имеющих общую вершину при прямых углах, равна квадрату площади основания тетраэдра» [2. С.29].

III. РАЗЛИЧЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА.

1. О геометрическом доказательстве теоремы Пифагора.

Греческий историк и философ V в. Прокл пишет: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принёс в жертву быка» [2. С. 30].

Одно из древнейших доказательств, как полагает Прокл, было дано Евклидом в его «Началах». Это чисто геометрическое доказательство можно перевести на наш обыденный язык примерно так: «Квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» (рис. 5).

Рис. 5.

Построения Евклида довольно громоздки, поэтому не случайно в средние века доказательство теоремы Пифагора считалось очень трудным делом.

Задания из книги «Математика после уроков» [1. С. 227].

1. Квадраты, построенные на катетах прямоугольного треугольника, можно разрезать на куски, из которых можно составить квадрат, построенный на гипотенузе. Докажите это, пользуясь рис. 6.

Рис. 6.

2. Докажите теорему Пифагора:

а) пользуясь рисунками 7 и 8, не прибегая к алгебре;

б) пользуясь рисунками 7 и 8, используя алгебру;

Рис. 7.	Рис. 8.

 

в) пользуясь рисунком 9.

Рис. 9.

Решения.

а) Из квадратов с равными площадями удалили по четыре одинаковых треугольника. Оставшиеся фигуры будут иметь тоже одинаковые площади с² и а² + в².

б) Квадраты со стороной (а + в) (рис. 10, 11) имеют одинаковые площади.

Рис. 10.	Рис. 11.

4S + S₁ = 4S + S₂ + S₃ , S₁ = с², S₂ = в², S₃ = а². Следовательно: c²=a²+b² .

2. Доказательство теоремы Пифагора из трактата Бхаскары (XIIв.).

Особенность и необычность доказательства заключается в том, что дан чертеж (рис. 12) и к нему единственное слово «Смотри».

Рис. 12.

Как считают историки, математик, вероятно, пришел к искомому равенству, выражая площадь большого квадрата:

Бхаскара Ачарья (1114-1185) – индийский математики, астроном, автор труда «Венец учения», в котором содержатся решения различных алгебраических задач.

3. Теорема Пифагора в «Трактате об измерительном шесте».

Из «Трактата об измерительном шесте» (Древний Китай II в. до н. э.) мы узнаем, что для треугольника со сторонами 3; 4; 5 теорема Пифагора была известна за 1100 лет до н.э., для общего случая – в VI в. до н.э. Суть доказательства состояла в разбиении квадрата со стороной (a + в) (рис. 13) на восемь треугольников,

Рис. 13.

равных данному (рис. 14) и на квадрат со стороной (в – a) (равной разности катетов).

Рис. 14.

Заметим, что (как указывается в энциклопедии [9. С.32]) следующий вариант реконструкции доказательства принадлежит известному математику Б.Л. Ван-дер-Вардену. Из рисунка 13 выделяем рисунок 15.

Рис. 15.

Имеем: (а + в)² = с² + 2ав (1). Но (а + в)² = а² + в² + 2ав (2). Из (1) и (2) получаем с² = а² + в². Равенство (2) можно проиллюстрировать рисунком 16, которое легко усматривается из рисунка 13.

Рис. 16.

Ван-дер-Варден Бартел Ландерт (1903-1996) – голландец, работал в Германии, автор трудов по алгебре, алгебраической геометрии, истории математики [9. С. 668].

4. Доказательство теоремы Пифагора с использованием понятия косинуса.

Повторение теоремы Пифагора с использованием для обоснования выводов другого материала можно дать после введения понятия косинуса угла [4. С. 252].

Дано: ABC, С = 90, CD перпендикулярно АВ (рис. 17).

Рис. 17.

Доказать: АВ² = АС² + ВС².

Доказательство:

АС ² = АВ · AD (1), СВ² = АВ · DВ (2). Складываем равенства (1) и (2) почленно, получаем:

АС² + СВ² = АВ · (AD + DВ), AD + DB = AB, АС² + СВ² = АВ², ч.т.д. [8. С. 80].

5. Среднее пропорциональное в доказательстве теоремы Пифагора.

После рассмотрения утверждения: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла [4. С. 148], можно рекомендовать доказать теорему Пифагора, используя это утверждение. Для контроля: задача № 578 [4. С. 154], которая дана с решением, т.е. там это доказательство предложено.

6. Доказательство теоремы Пифагора на основе подобия треугольников.

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, разбивает треугольник площади S на два ему подобных треугольника с площадями S₁ и S₂ (рис. 18).

Рис. 18.

Верно соотношение: S₁ : S₂ : S = а2 : в2 : с2. Так как S₁ + S₂ = S, то следует, что а² + в² = с² [9. С 289].

7. Доказательство теоремы Пифагора, данное Леонардо да Винчи.

Восстановите по рисунку 19 доказательство теоремы Пифагора,

Рис. 19.

данное Леонардо да Винчи (рис. 20), основанное на дополнении квадратов до равных фигур равными же фигурами [9. С. 289].

Рис. 20.

8. Доказательство теоремы Пифагора с использованием свойства площадей.

«Пифагоровы штаны» во все стороны равны (рис. 21). Теорему Пифагора можно доказать непосредственно, пользуясь свойством площадей.

Рис. 21.

Идея доказательства заключается в следующем. Проводят прямую АD, перпендикулярную ВС, и сначала доказывают, что площадь BDD₁B₁ равна S₁, а площадь DCC₁D₁ равна S₂ (рис. 22). Откуда, учитывая, что квадрат BCC₁B₁ составлен из двух прямоугольников BDD₁B₁ и DCC₁D₁, вытекает искомый вывод [5. С. 271].

Рис. 22.

Используемая литература:

1. Балк М. Б. Математика после уроков: пособие для учителей / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. – М.: Просвещение, 1971. – 462 с.
2. Бишнякова Н. Теорема Пифагора / Н. Бишнякова // Юный техник. – 1980. – № 9. – С. 29-30.
3. Галицкий М. Л. Курс геометрии 8-го класса в задачах (для классов с углубленным изучением математики, специализированных классов естественно-технического профиля)/М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – Львов: журнал «Квантор», 1991. – 96 с.
4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М: Просвещение, 2002. – 384 с.
5. Геометрия пробный учебник для 6-8 классов средней школы (материалы для ознакомления) /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов С. Б. Кадомцев Э. Г. Поздняк. – М: Просвещение, 1981. – 480 с.
6. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с.
7. Кононов А. Теорема Пифагора / А. Кононов // Математика. – 2005. – № 15. – С. 10-13.
8. Погорелов А. В. Геометрия: учебное пособие для 6-10 классов средней школы /П.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1982. – 288 с.
9. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / глав. ред. М.Д. Аксёнова. – М: Аванта +, 2002. – 688 с.