Цели:
1) Научить решать логарифмические неравенства со знаком модуля различными способами.
2) Повторить свойства логарифмической функции и её график.
Оборудование:
1) кодоскоп;
2) кодограммы;
3) координатная плоскость.
Целью данного урока является повторение свойств логарифмической функции при решении логарифмических неравенств, содержащих знак модуля и изучение различных способов решения таких неравенств. Решение названных неравенств относится к задачам повышенной сложности.
Теоретическое обоснование различных способов решения неравенств, содержащих знак модуля, учащиеся изучили самостоятельно в творческих группах. На уроке представители групп применяют изученную теорию к решению неравенства |3 – log2x| < 2 (из учебника А.Н. Колмогорова “Алгебра и начала анализа. 10 - 11” № 528 (б)).
1 способ решения. Решение неравенства |3 - log2x| < 2 .
Рассмотрим 1 случай решения.
По определению модуля числа:
| а | = 
Рассмотрим первый случай, когда 3 - log
x 
0. Это неравенство
равносильно следующему logx 
3. Функция y = logt возрастает на
R+ (2>1), значит,
logx 
3 <=> logx 
log8 <=> 
<=> 0 < x 
8.
При выполнении этого условия данное неравенство примет вид:
3 - logx < 2
<=> logx>1
<=> logx > log2 <=> 
<=> x > 2.
Общее решение x є (2;8]
Рассмотрим 2 случай решения.
| а | = 
Если 3 - logx
< 0 <=> logx
> 3 <=> logx
> log8 <=> 
<=> x > 8.
При выполнении этого условия данное неравенство примет вид:
- 3 + logx < 2
<=> logx < 5
<=> logx < log32 <=>
<=> 0 < x < 32.
Общее решение x є (8;32).
Следовательно, данное неравенство имеет решение – промежуток (2;32).
Ответ. (2;32).
2 способ решения. Геометрическая интерпретация модуля.
Если точка А на числовой оси имеет координату а, то её расстояние от А до О равно | а |.
|3 - log2x | < 2 <=> | log2x - 3 | < 2.
Расстояние от точки с координатой 3 до неизвестной точки с координатой log2x меньше 2, это точки с координатами от 1 до 5, то есть
1< log2x < 5,
log22< log2x < log232,
Функция y = log2t возрастает на R+ (2>1).
2 < x <32.
Ответ. (2;32).
3 способ решения. Алгебраический способ.
Если в> 0, то |x| < в <=> - в < x < в,
|x| > в <=> 
Решение |3 - log2x | < 2 <=> - 2 < 3 - log2x
< 2 <=> - 5 < - log2x < -1<=> 1< log2x <
5 <=>
<=> 2
< x < 32.
4 способ решения. Графический способ.
Построим график функций y = |3 - log2x | и y = 2.
Прямая y = 2 проходит через точку (0;2) и параллельна оси ОХ.
Для построения графика y = |3 - log2x |, построим сначала график y = log2x.
Составляем таблицу и пунктиром строим график.
| X |  |
1 | 2 | 4 | 8 |
| y | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Затем график функции y = log2x отображаем симметрично относительно оси ОХ и переносим вдоль оси ОУ на 3 единицы вверх. Получим график функции y = 3 - log2x . Остаётся часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю.
Так как y = |3 - log2x | < 2,то нас интересуют те значения х, при которых график функции y = |3 - log2x | находится ниже графика функции y = 2 , а это х є (2;32).
Учитель, спрашивает, класс какой из способов им больше понравился и почему?
Самостоятельная работа, каждый решает
понравившимся ему способом неравенство |3 log x - 1|
< 2, ответ (
;10).
Домашнее задание № 528 (г) решить всеми четырьмя способами.