Основные цели:
- Познакомить ученика с классическим определением вероятности, как отношения числа благоприятных исходов к общему числу исходов эксперимента;
- Продемонстрировать границы применимости классического определения, неразрывно связанного с равновозможностью исходов;
- Воспитывать логическое мышление учащихся.
- Развивать логические операции: анализ и синтез.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Математическая разминка.
Вычислите:
а) 3! ;
б) 7! – 5! ;
e) 
.
Упростите выражения:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е)
;
ж)
.
III.Объяснение нового материала.
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Очевидно, что если взять пару чисел, то событие А, состоящее в том, что абонент набрал нужную комбинацию, и событие В, состоящее в том, что она оказалась неверной, не является равновозможными. Событие В более возможно, более вероятно, чем событие А.
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).
Определение: Вероятностью события А равна отношению числа m исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместимых исходов, т.е.
P(A) = 
.
Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместимые исходы испытания,
- подсчитать все возможные несовместимые исходы n,
- выбрать число интересующих нас исходов m
- вычислить отношение m и n.
Так, в приведённом выше примере событие А – абонент набрал нужную комбинацию, событие В - комбинация оказалась неверной.
Благоприятствует событию А (цифры набраны верно) только один исход. Поэтому n=1.
Две последние цифры можно набрать числом
способов, равным числу упорядоченных
двухэлементных подмножеств у десятиэлементного
множества (множества всех цифр). Это число
способов равно 
. Следовательно, всего существует
исходов.
Т.е. m = .
Р(А) = 
= 
= 
, Р(В) = 
.
Из определения вытекают следующие свойства:
Действительно, число m искомых событий
заключено в пределах 0
. Разделив все части неравенства на n,
получим 
.
= 1.
IV. Закрепление.
Пример 1:
Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что: а) выпадает чётное число очков (событие А),б) выпадает число очков, кратное 3 (событие В), выпадает любое число очков, кроме 5 (событие С).
Решение:
а) на гранях игральной кости имеется три чётные цифры (2,4,6), т.е. число искомых исходов m = 3. Число всех возможных исходов равно 6 (выпадает любое число очков от 1 до 6). Значит,
Р(А) = 
.
б) Здесь имеется две цифры, кратные трём: 3 и 6. Следовательно, m = 2, а число всех возможных исходов n = 6, откуда
Р(В) = 
.
в) Искомыми исходами являются цифры 1,2,3,4,6 -
всего их пять.(m = 5). Число всех возможных исходов n
= 6. Поэтому Р(С) = 
.
Задания классу:
1. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определите вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.
2. Найдите вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 60 делится на 60.
Пример 2 .
Даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Найдите вероятность того, что, выбрав наугад две точки, учащиеся получат нужную прямую.
Решение:
Пусть событие А - выбор исходной прямой. Число всех возможных исходов равно количеству прямых, проходящих через заданные пять точек. Так как прямая определяется парой точек и порядок точек внутри этой пары не имеет значения, то каждая пара ложна отличаться хотя бы одной точкой. Следовательно, мы должны найти число сочетаний из пяти элементов по два, т.е.
n = C
.
Значит, число всех возможных пар равна 10, а искомой является только одна пара точек; поэтому
Р(А) = 
.
Задания классу:
- В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определить вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся: а) мальчиками, б) девочками?
- Из коробки, содержащей n пронумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Определить вероятность того, что номера шаров расположатся по порядку.
V. Подведение итогов урока.
VI. Домашнее задание.
Теория – учебник §
- Выбираю наугад число от 1 до 100. Определите вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3.
- В семизначном телефонном номере забыта последняя цифра. Определить вероятность того, что наугад выбранная цифра (от 0 до 9) окажется верной.
- Из букв составлено слово “книга”. Это слово рассыпали и произвольно собрали снова. Какова вероятность того, что снова получится слово “книга”?