Теория вероятности и комбинаторика

Разделы: Математика

ТИП УРОКА: изучение нового материала.

ЦЕЛЬ: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.

ЗАДАЧИ:

  • Способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности и вычислять перестановки и размещения;
  • Способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни
  • Способствовать воспитанию аккуратности;

НОВЫЕ ПОНЯТИЯ: достоверные события, случайные

ОБОРУДОВАНИЕ: доска, презентация

ПЛАН УРОКА:

  1. Орг.момент – 1 мин.
  2. Актуализация – 5 мин.
  3. Мотивация – 2 мин.
  4. Объяснение нового материала – 5 мин.
  5. Первичное осмысление и закрепление – 15 мин.
  6. Решение задач – 10 мин.
  7. Подведение итогов – 2 мин.

ХОД УРОКА:

1. Вступительное слово учителя.

Вы, наверное, не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случиться”, “это маловероятно”

Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти

Случай , случайность – сними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать до бесконечности. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями

Слово “событие” в быту применяют к значительным явлениям ( день рождение, экзамен, свадьба), а в математике – ко всем возможным исходам рассматриваемой ситуации например при бросание игральной кости событие- это выпадение той или иной грани.

2. Изучение нового материала.

а) Вероятность.

События будем обозначать большими латинским буквами А,В,С. вероятность произвольного события (Х) будем обозначать через Р(Х).

События, которые при данных условиях обязательно происходят, называют достоверными (смена дня и ночи) события, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными события, которые при данных условиях иногда происходят, а иногда не происходят, называются возможными или случайными. События, возможности наступления которых одинаковы называются равновозможными или равновероятными (подкидывание монеты)

Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:

  • черепаха научиться говорит;
  • вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
  • ваш день рождения – 19 октября
  • день рождение вашего друга – 30 февраля;
  • вы выиграете участвуя в лотереи;
  • вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;
  • вы проиграете партию в шахматы;
  • на следующей недели испортиться погода;
  • вы нажали на звонок, а он не зазвонил;
  • после четверга будет пятница;
  • после пятницы будет воскресенье.

Для каждого из перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, возможное, невозможное

  • летом у школьников будут каникулы;
  • 1 июля в Норильске будет солнечно;
  • после уроков дежурные уберут кабинет;
  • в 11-м классе школьники не будут изучать алгебру;
  • зимой выпадает снег;
  • при включении света, лампочка перегорит;
  • вы выходите на улицу, а на встречу вам идет слон

8–10 придумайте и запишите в тетрадь события, чтобы они соответствовали знакам в таблице например, событие 8 должно быть очень вероятным.

Событие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Достоверное

     

   

   

Возможное

  

   

   

 

невозможное

      

   

   

ВПЕРВЫЕ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ В играх вычислили в XVII в. французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма. Они подсчитали число шансов события из общего возможного числа равновероятных исходов. Давайте проследим за их рассуждениями.

Исход какого либо испытания, опыта или игры выражающийся в событии А, назовем шансом события А. Например, при бросании игральной кости возможно 6 равновероятных исходов А1, А2, А3, А4, А5, А6. – выпадение 1,2,3,4,5,6. пусть событие А (выпадение четного числа очков т.е.2,4,6) в этом случае Р(А)=т.е. Р(А)= такое определение называется классическим определением вероятности.

Если при каких –либо условиях имеются m равновероятных исходов и из них m приводят к событию А, то вероятность события А равна отношению m n

Пример 1: хорошо перетусуем колоду карт случайно вынем 1 карту. Событие А(вытянута карта червонной масти) и В (вытянут туз) из 36 исходов имеются соответственно 9 и 4 шансов. Поэтому Р(А)=; Р(В)=

Пример 2: на экзамене -24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень биться его вытянуть. Какова вероятность. Что Андрею достанется несчастный билет?

А - достанется несчастливый билет: Исходов -24; Шансы =1, тогда Р(А)=

Пример 3: в лотереи 10 выигрышных билетов и240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?

А - выиграть: Исходов всего 240+10=250; Шансы=10; Р(А)=

Пример 4: в лотереи 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?

А - проиграть: Исходов 100; Шанс =100-5=95, тогда Р(А)=

Пример5:

В ящике лежат 8 красных,2 синих, 20 зеленых карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это красный карандаш? желтый карандаш? Не зеленый карандаш? Какое количество карандашей нужно вытянуть, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был зеленый карандаш?

А - вытянут красный карандаш: Исходов 20+8+2=30;Шансов 8;Р(А)=

В - желтый карандаш: Исходов 30; Шансов 0; Р(В)=0

С - не зеленый карандаш: Шансов 30; Исходов 30-20=10; Р(С)=

б) Комбинаторика.

А теперь давайте вспомним знаменитую басню Крылова “Квартет” “проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый мишка” устроили любопытный эксперимент: они исследовали влияние взаимного расположения на качество исполнения. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты. Зададим вопрос : сколько существует способов, чтобы рассадить, например в один ряд, четырех музыкантов?

Еще одна ситуация: нас приглашают на некий конкурс с 8 участницами. Одновременно проводиться викторина: нужно угадать, кто займет в конкурсе 1,2,3 место. Сколько всего существует вариантов?

Общее у этих двух задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов “Сколькими способами?

Давайте рассмотрим первую задачу:

Давайте расставим наших участников квартета в ряд, такое упорядоченное положение назовем перестановкой. Попытаемся ответить на вопрос сколько всего возможных перестановок ? число перестановок обозначим Рп, где п - количество объектов( в нашем случае это будет 4) сначала возьмем п=1 ( Мартышку) – имеется 1 способ

П=2 ( мартышка, Осел) – имеется 2 перестановки Р2 = Р1*2 =1*2, добавим теперь Козла, к каждой из перестановок дух объектов можно пристроить третий, тремя различными способами: спереди, сзади, посередине отсюда Р3 = Р2 *3=2*3=6 , и добавим нашего косолапого Мишку Р4= Р3 *4=1*2*3*4=24. значит способов “усесться чинно в ряд” существует 24. давайте запишем общую формулу: Рп =1*2*3*4….*п=п! восклицательным знаком( в математике он называется факториалом) принято обозначать произведение всех натуральных чисел от 1 до п, мы не просто вывили формулу, но одновременно указали способ, как получить все возможные перестановки. Надо отметить, что этот способ далеко не единственный. 0!=1

Давайте попробуем решить задачу про участниц.

Нам в этой задаче нужно отобрать из имеющихся объектов n= 8, произвольное m=3 штук(m<=n) и расположить их в некотором порядке. Каждое такое упорядоченное расположение называется размещением. Сколько существует размещений при заданных n,m. Ответ на этот вопрос мы дадим основываясь на знание перестановок(задача про квартет)

Обозначим искомое число Аnm. Сначала возьмем любую перестановку всех n(8) объектов и рассмотрим первые m(3) из них. Они образуют размещение m(3) объектов из n(8) имеющихся, тогда как последние n-m(8-3=5) объектов могут быть переставлены Р5 способами. Значит каждому способу можно “пришить” Р5, что порождает столько же перестановок всех n объектов Рn= Аnm* Рn-m отсюда Аnm=получается А83=

3.Закрипление материала.

Решение задач

1.У нас есть 9 разных книг из серии “Занимательная математика”. Сколькими способами можно:

  • Расставить их на полке.
  • Подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три места.

Решение.

Р9 =9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880,

2.Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь к билетной кассе.

3.В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места.

Проверочная работа.

1 вариант.

1. В 10-м классе изучается 14 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день 7 уроков и все разные. Как называется такая комбинация в комбинаторике.

2. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута? Как называется такая комбинация в комбинаторике.

2 вариант.

1. На книжную полку влезает только 5 книг из 8. Сколькими способами можно заполнить этими книгами такую полку. Как называется такая комбинация в комбинаторике.

2. В магазине имеется четыре типа диванных подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Сколькими способами можно расставить их в ряд. Как называется такая комбинация в комбинаторике.

Итог урока.

Домашнее задание: Составить по 2 задачи на вероятность, перестановку и размещение.

Презентация