Школьная математика должна включать в себя обе ветви современной математики (теоретическую и прикладную). Под прикладной обычно понимается тот раздел математики, в котором демонстрируется применение математической теории в практических ситуациях. В школьном курсе математики при решении прикладных задач естественным этапом является математическое моделирование реальных процессов. В связи с этим выдвигаются следующие задачи:
– ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального мира и его математическими моделями и
– практическое обучение школьников построению математических моделей для встречающихся жизненных ситуаций.
Сформулируем некоторые требования к прикладным задачам:
в содержании задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;
прикладные задачи должны соответствовать программе курса; содержащийся в задаче прикладной материал должен вводиться в процесс обучения как необходимый компонент, логическое продолжение курса и служить достижению целей обучения;
вводимые в содержании прикладных задач понятия, термины, ситуация, методы решения должны быть доступными для учащихся;
прикладные задачи, рассматриваемые в школьном курсе математики, могут быть эффективно использованы с разными целями: обучение и развитие.
Анализ школьных учебников зарубежных стран (таких как Великобритания, США и Австралия) показывает, что прикладные задачи являются неотъемлемой частью школьного курса математики в этих странах. В этом отношении современные российские учебники заметно проигрывают.
Однако учитель в современной школе может и должен обогатить содержание учебного материала задачами прикладного характера. Ведь решение таких задач показывает практическое применение математического аппарата, изучаемого в школе, тем самым пробуждает интерес у учащихся к изучению предмета. Математика становится “нужной” ученику. Из положительных моментов также стоит отметить, что, решая подобные задачи на уроках математики, мы естественным путем осуществляем функцию интеграции школьных предметов.
В нашей статье в качестве прикладных задач мы рассмотрим задачи с экономическим содержанием: задачами, поставленными в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата. Симонов А.С. отмечает, что “современное российское общество живет в экономизированном мире, а школьная математика (да и другие предметы) на эти особенности никак не реагируют”, именно поэтому ряд современных исследователей в области преподавания математики отмечают необходимость включения прикладных задач с экономическим содержанием в школьный курс математики.
Приведем несколько задач, которые были использованы нами при изучении темы “Решение задач с помощью систем уравнений” в курсе алгебры 7 класса. Эти задачи, на наш взгляд, не только актуализировали знания учащихся, повышали их мотивацию к обучению, но и вызвали у учащихся ярко выраженный познавательный интерес.
Задача 1.
Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 13 млн. р. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75%, а второго – на 140%. В результате суммарная прибыль фирмы должна вырасти в два раза.
Какова величина прибыли каждого из отделений 1) в минувшем году? 2) в текущем году?
Решение.
Обозначим через 
прибыль первого отделения и через 
прибыль
второго отделения в минувшем году. Тогда условие
задачи можно записать следующим образом:
Решая систему из двух уравнений с двумя переменными, получи, что:
Следовательно,
1) прибыль в минувшем году у первого отделения 8 млн. р., у второго – 5 млн. р.,
2) прибыль в этом году у первого отделения 
млн. р., у
второго – 12 млн. р.
Задача 2.
Перед торговым предприятием возникла проблема – в каком соотношении закупить товары А и В: можно закупить 5 единиц товара А и 8 единиц товара В – всего за 92 тыс. р., а можно, наоборот, закупить 8 единиц товара А и 5 единиц товара В.
Торговое предприятие остановилось на первом варианте, так как при этом экономится сумма, достаточная для закупки 2-х единиц товар А.
Какова цена товара А и товара В?
Решение.
Обозначим через и
соответственно стоимость единиц товаров А и В.
тогда условие задачи можно записать так:
Решая эту систему, получаем:
Следовательно, стоимость одной единицы товара А – 12 тыс. р., а цена товара В – 4 тыс. р.
Для решения следующей задачи потребуется объяснить смысл некоторых экономических терминов. А именно, что такое рыночное равновесие. Рыночное равновесие – это ситуация, при которой величина спроса равняется величине предложения.
Задача 3.
Функция предложения на некоторый товар имеет
вид 
, а
функция спроса – q= -p +820
(
–
количество товара (в шт.), а 
– цена товара (в тыс. р.).)
Найдите:
- рыночное равновесие;
- цену, при которой дефицит составит 494 тыс. р.
Решение.
1) Рыночное равновесие найдем, решив систему уравнений
Отсюда получаем 
, или 
. Следовательно, 
, тогда 
. Итак, равновесная цена составляет 120
тыс. р. По этой цене будет приобретено 700 шт.
продукции.
2) Поскольку при дефиците объем спроса
превышает объем предложения на 494 тыс. р., то
следует найти такую цену 
, при которой выполняется
равенство:
. Отсюда 
.
Приведем еще две задачи без решения, которые можно использовать при изучении данной темы.
Задача 4.
Фирма приобрела на 30 тыс. у.д.ед. 30 предметов для оборудования своего офиса: некоторое количество офисных телефонов по 9,5 тыс. за телефон, компьютерных столов по 500 у.д.ед. за стол, офисных кресел по 250 у.д.ед. за кресло.
Какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено?
Задача 5.
Функция спроса на рынке некоторого товара
имеет вид 
, а
функция предложения 
.
Найдите:
- рыночное равновесие;
- выручку продавца при продаже товара в момент рыночного равновесия;
- цену, при которой избыточное предложение составляет 420 усл. ед.
Можно также предложить вниманию учащихся задачи финансового характера, как пример прикладных задач, использующих аппарат простых и сложных процентов при построении математической модели.
Задача 6.
Вкладчик открыл счет и положил на него сумму в 25000 р. сроком на 4 года под простые (без капитализации) проценты по ставке 11,5 % годовых. Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращения (то есть на сколько процентов вырастет сумма вклада)?
Решение.
Обозначим через 
– первоначальный капитал, 
– процентная
ставка, 
–
количество полных лет, 
– сумма капитала с начисленными
процентами на конец 
-го года.
Тогда модель функционирования вклада путем начисления простых процентов будет выглядеть следующим образом:
.
Данная формула и будет выражать математическую модель данной экономической задачи.
Проведем расчеты, используя данные задачи. Так
как 
, 
, а 
, получаем
.
Сумма вклада через 4 года будет равна 36500 р., то есть вклад вырастет на 11500 р.
Коэффициентом наращения простых процентов
называют отношение 
. Он показывает, во сколько раз вырос
первоначальный вклад 
за 
лет хранения этой суммы в банке по схеме простых
процентов с годовой ставкой 
%.
В данном случае коэффициент наращения равен 
.
Задача 7.
Вкладчик внес на счет в банке 2700 долл. США. Банк выплачивает простые проценты по ставке 5,6 % годовых. Определите, какая сумма будет через 2 года 5 месяцев и 15 дней. На сколько процентов увеличится вклад?
Задача 8.
В банке получена ссуда в размере 40 тыс. долл. США на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год она увеличивается на 2%, и на последующие годы еще на 2,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.
(Сложный процент (или по-другому “процент на процент”) – это такое увеличение капитала, когда накопленная за первый период сумма прибавляется к первоначальной, то есть, говоря экономическим языком, первоначальная сумма капитализируется, и в новом периоде процент будет начисляться уже на новую, увеличенную сумму.)
Решение.
Разобьем весь срок на периоды равной годовой
процентной ставки. В первый период идет
начисление 
% годовых,
длина периода – 
лет, потом 
лет идет начисление 
годовых, и в третий период
продолжительностью 
года идет начисление 
и т.д. Тогда за первый
период будет начислена следующая сумма:
,
за второй и третий соответственно:
и 
и т.д.
Значит, по прошествии 
лет наращенная сумма 
равна
.
В нашей задаче три периода. В первый период идет начисление 28% годовых, длина периода – 3 года, потом 1 год идет начисление 30%, и в третий период – 4 года – идет начисление 32,5%. Тогда за первый период будет начислена следующая сумма:
.
Сумма возврата равна 336,122 тыс. долл. США с точностью до доллара.
Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес школьников к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.
Литература.
1. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций, СПб.: Союз, 1999.
2. Симонов А.С. Экономика на уроках математики, М.: Школа-Пресс, 1999.
3. Mal Coad, Glen Whiffen, John Owen, Robert Haese. Mathematics for international student. Mathematical Studies SL. Haese & Harris Publications, Adelaide, Australia, 2004.